新教材2023_2024学年高中数学第4章概率与统计测评一新人教B版选择性必修第二册

第四章测评(一)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.[2023天津西青高二期中]已知随机变量X服从二项分布X~B4,,则P(X=2)=(　　)

A. B. C. D.

2.某产品的零售价x(单位:元)与每天的销售量y(单位:个)统计如下表所示.

据表可得回归直线方程为=-6.4x+151,则表中m的值为(　　)

A.38 B.39 C.40 D.41

3.如图是某国在60天内感染某病毒的累计病例人数y(单位:万人)与时间t(单位:天)的散点图,则下列最适宜作为此模型的回归方程的类型是(　　)

A.y=a+bx B.y=a+b

C.y=a+bex D.y=a+bln x

4.某机构通过抽样调查,利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺病是否与吸烟有关,计算得χ2=3.305,经查对临界值表知P(χ2≥2.706)≈0.10,P(χ2≥3.841)≈0.05,现给出四个结论,其中正确的是(　　)

A.因为χ2>2.706,故有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关”

B.因为χ2<3.841,故有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”

C.因为χ2>2.706,故有90%的把握认为“患肺病与吸烟无关”

D.因为χ2<3.841,故有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”

5.已知盒子里有10个球(除颜色外其他属性都相同),其中4个红球,6个白球,甲、乙两人依次不放回地摸取1个球,在甲摸到红球的情况下,乙摸到红球的概率为(　　)

A. B. C. D.

6.已知某种药物对某种疾病的治愈率为,现有3位患有该病的患者服用了这种药物,3位患者是否会被治愈是相互独立的,则恰有1位患者被治愈的概率为(　　)

A. B. C. D.

7.已知X分布列如图所示,设Y=2X+1,则Y的数学期望E(Y)的值是(　　)

A.- B. C.1 D.

8.小明参加某项测试,该测试一共有3道试题,每道试题做对得5分,做错得0分,没有中间分,小明答对第1,2题的概率都是,答对第3题的概率是,则小明答完这3道题的得分期望为(　　)

A. B. C. D.

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.小华为了研究数学名次和物理名次的相关关系,记录了本班五名同学的数学和物理的名次,如图.后来发现D同学数据记录有误,那么去掉数据D(3,10)

后,下列说法正确的是(　　)

A.样本线性相关系数r变大

B.残差平方和变大

C.变量x,y的相关程度变强

D.线性相关系数r越趋近于1

10.在一次恶劣气候的飞行航程中,调查男女乘客在飞机上晕机的情况,结果如表所示:

则下列说法正确的是(　　)

A. 

B.χ2<2.706

C.有90%的把握认为,在恶劣气候的飞行中,晕机与否跟男女性别有关

D.没有90%的把握认为,在恶劣气候的飞行中,晕机与否跟男女性别有关

11.在一个袋中装有6个黑球,4个白球,现从中任取4个小球.设取出的4个小球中白球的个数为X,则下列结论正确的是(　　)

A.P(X=1)=

B.随机变量X服从二项分布

C.随机变量X服从超几何分布

D.E(X)=

12.有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的30%,30%,40%,则下列选项正确的有(　　)

A.任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06

B.任取一个零件是次品的概率为0.053

C.如果取到的零件是次品,且是第2台车床加工的概率为

D.如果取到的零件是次品,且是第3台车床加工的概率为

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.[2023广东新会高二期中]若X~B80,,则D(X)=　　　　. 

14.在一次期末考试中,某学校高三全部学生的数学成绩X服从正态分布N(μ,σ2),若P(X>90)=0.5,且P(X>110)=0.2,则P(70≤X≤90)=　　　　. 

15.设随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3,4),则P<X<=　　　　. 

16.在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中,立德中学高三某小组的学生表现优异,发现的正确结论获得老师和同学的一致好评.设随机变量X~B(n,p),记pk=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.在研究pk的最大值时,小组同学发现:若(n+1)p为正整数,则k=(n+1)p时,pk=pk-1,此时这两项概率均为最大值;若(n+1)p为非整数,当k取(n+1)p的整数部分,则pk是唯一的最大值.以此为理论基础,有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时,记录到此时点数1出现5次,若继续再进行80次投掷试验,则当投掷到第100次时,点数1总共出现的次数为　　　　的概率最大. 

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)某市某生物疫苗研究所对某病毒疫苗进行实验,并将某一型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床实验,得到如下2×2列联表:

现从所有试验小白鼠中任取一只,取到“注射疫苗”小白鼠的概率为.

(1)求2×2列联表中x,y,A,B的值;

(2)是否有99.9%的把握认为注射此种疫苗对预防该病毒有效?

附:χ2=,n=a+b+c+d.

18.(12分)为发展业务,某调研组对A,B两个公司的扫码支付情况进行调查,准备从国内n(n∈N,n>0)个人口超过1 000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市,全是小城市的概率为.

(1)求n的值;

(2)若一次抽取4个城市,

①假设抽取出的小城市的个数为X,求X的可能值及相应的概率;

②若抽取的4个城市是同一类城市,求全为超大城市的概率.

19.(12分)某机构调查了某道路的各种类别的机动车共1 000辆,对行车速度进行统计后,得到如图所示的频率分布直方图.

(1)试根据频率分布直方图,求样本中的这1 000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替).

(2)设该道路上机动车的行车速度v~N(μ,σ2),其中μ,σ2分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差(经计算σ2=210.25).

①请估计该道路上10 000辆机动车中车速高于85千米/时的车辆数(精确到个位);

②现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆,设车速不高于85千米/时的车辆数为X,求X的数学期望.

附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.

20.(12分)[北师大版教材例题]甲、乙、丙三人同时对某物体进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.物体被一人击中且击落的概率为0.2,被两人击中且击落的概率为0.6,若三人都击中,该物体必定被击落,求该物体被击落的概率.

21.(12分)中国茶文化博大精深,已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关.经验表明,某种绿茶用85 ℃的水泡制,再等到茶水温度降至60 ℃时饮用,可以产生最佳口感.某学习研究小组通过测量,得到了下面表格中的数据(室温是20 ℃).

 (1)小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图,并根据散点图分布情况,考虑到茶水温度降到室温(即20 ℃)就不能再降的事实,决定选择函数模型y=kcx+20(x≥0)来刻画.

①令z=ln(y-20),求出z关于x的回归直线方程;

②利用①的结论,求出y=kcx+20(x≥0,c>0)中的k与c.

(2)你认为该品种绿茶用85 ℃的水大约泡制多久后饮用,可以产生最佳口感?

参考数据:log0.90.6≈4.8,e-0.1≈0.9,e4.2≈66.7,≈0.6;参考公式:.

22.(12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.当检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p).

(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,若p=0.1,已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X);

②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?

参考答案

第四章测评(一)

1.C　P(X=2)=·2·1-2=.故选C.

2.D　=17.5,

.

回归直线方程必过点17.5,,

所以=-6.4×17.5+151,解得m=41.

故选D.

3.C　根据散点图,可以看出,散点大致分布在一条“指数”函数曲线附近,选项C对应“指数型”的拟合函数.故选C.

4.A　因为χ2=3.305,且3.305>2.706,则P(χ2≥2.706)≈0.10,所以有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关”,则A正确,C不正确;因为3.841>3.305,则不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”,也不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”,即BD都不正确.故选A.

5.A　甲先摸到1个红球,乙再从剩下的9个球中摸1个球,共有4×9=36(种)情况,其中甲先摸到1个红球,乙再从剩下的3个红球中摸1个球,共有4×3=12(种)情况,所以在甲摸到红球的情况下,乙摸到红球的概率为.故选A.

6.B　由题可得恰有1位患者被治愈的概率为×1-2=.故选B.

7.B　由已知得+a=1,∴a=,

∴E(X)=-=-.

∵E(Y)=2E(X)+1,∴E(Y)=.

故选B.

8.C　设小明的得分为ξ,则ξ的可能取值为0,5,10,15,所以P(ξ=0)=1-×1-×1-=,P(ξ=5)=×1-×1-+1-2×,P(ξ=10)=2×1-+×1-×,P(ξ=15)=2×,

所以小明得分ξ的分布列为

所以小明答完这3道题的得分期望为0×+5×+10×+15×,故选C.

9.ACD　由散点图知,去掉D(3,10)后,y与x的线性相关程度变强,且为正相关,所以r变大,且线性相关系数r越趋近于1,去掉D(3,10)后,散点分布更均匀,残差平方和变小.故ACD正确,B错误.

10.ABD　由2×2列联表可得n+1+28=46,得n+1=18.

由n11+6=18,得n11=12.

由15+n22=28,得n22=13,

故n1+=12+15=27,n2+=6+13=19.

所以.

因为,故选项A正确;

由题可知χ2=≈0.775<2.706,故没有90%的把握认为在恶劣气候的飞行中,晕机与否跟男女的性别有关,

故选项B,D正确,选项C错误.故选ABD.

11.ACD　由题意知随机变量X服从超几何分布,故B错误,C正确;

P(X=1)=,

所以E(X)=4×,故A,D正确.故选ACD.

12.BCD　记事件A:车床加工的零件为次品,记事件Bi:第i台车床加工的零件,则P(A|B1)=6%,P(A|B2)=P(A|B3)=5%,P(B1)=30%,P(B2)=30%,P(B3)=40%,对于选项A,任取一个零件是第1台生产出来的次品的概率为P(AB1)=6%×30%=0.018,故错误;对于选项B,任取一个零件是次品的概率为P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)=6%×30%+5%×30%+5%×40%=0.053,故正确;对于选项C,如果取到的零件是次品,且是第2台车床加工的概率为P(B2|A)=,故正确;对于选项D,如果取到的零件是次品,且是第3台车床加工的概率为P(B3|A)=,故正确.故选BCD.

13.15　∵X~B80,,因此D(X)=80×=15.

14.0.3　由P(X>90)=0.5可知μ=90;∵P(X<70)=P(X>110)=0.2,∴P(70≤X≤90)==0.3.

15.　由题意,P(X=i)=(i=1,2,3,4),所以P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)==1,得a=10,所以P<X<=1-P(X=4)=1-.

16.18　继续再进行80次投掷试验,出现点数为1的次数X服从二项分布X~B80,,由k=(n+1)p=81×=13.5,结合题中结论可知,k=13时概率最大,即后面80次中出现13次点数1的概率最大,加上前面20次中的5次,所以出现18次的概率最大.

17.解 (1)由题意知,2×2列联表中的数据B=×100=40,A=100-B=60,x=60-20=40,y=40-30=10.

(2)计算χ2=>10.828,

所以有99.9%的把握认为注射此种疫苗对预防该病毒有效.

18.解 (1)从(n+8)个城市中一次抽取2个城市,有种情况,

其中全是小城市的有种情况,则全是小城市的概率为,

解得n=7(负值舍去).

(2)①由题意可知,X的可能取值为0,1,2,3,4,

相应的概率分别记为P(X=k)(k=0,1,2,3,4),

P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=,

P(X=4)=.

②若抽取的4个城市全是超大城市,共有=35(种)情况;

若抽取的4个城市全是小城市,共有=70(种)情况,

所以若抽取的4个城市是同一类城市,则全为超大城市的概率为.

19.解 (1)由图知=(45×0.01+55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.015+95×0.01)×10=70.5(千米/时).

所以这1000辆机动车的平均车速为70.5千米/时.

(2)由(1)及题设知v~N(70.5,210.25),则μ=70.5,σ=14.5,

①P(v>85)=P(v>μ+σ)=≈0.1585,

所以10000辆机动车中车速高于85千米/时的车辆数约为10000×0.1585=1585.

②由①知车速不高于85千米/时的概率约为1-0.1585=0.8415,故X~B(10,0.8415).

所以E(X)=10×0.8415=8.415.

20.解 设事件A表示“物体被击落”,事件Bi表示“物体被i人击中”(i=0,1,2,3),则B0,B1,B2,B3构成样本空间的一个划分,且依题意,P(A|B0)=0,P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,P(A|B3)=1.再设事件Hi表示“物体被第i人击中”(i=1,2,3).

则P(B1)=P[(H1)∪(H2)∪(H3)]=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36.

同理P(B2)=P[(H2H3)∪(H1H3)∪(H1H2)]=0.41,

P(B3)=P(H1H2H3)=0.14,

P(B0)=P()=0.09.

由全概率公式,可知P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)·P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.09×0+0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458.

因此,物体被击落的概率为0.458.

21.解 (1)①由已知得出x与z的关系,如下表,

设回归直线方程为x+,

由题意,得=2,

=4,

(xi-)(zi-)=(-2)×0.2+(-1)×0.1+1×(-0.1)+2×(-0.2)=-1,

(xi-)2=(-2)2+(-1)2+12+22=10,

则=-0.1,

=4+0.1×2=4.2,

则z关于x的回归直线方程为=-0.1x+4.2.

②由y=kcx+20(x≥0),得y-20=kcx(x≥0,c>0),

两边取对数得ln(y-20)=ln k+xln c,

利用①的结论得ln c=-0.1,ln k=4.2,

所以c=e-0.1≈0.9,k=e4.2≈66.7.

(2)由(1)得,=66.7×0.9x+20(x≥0),

令=60,得x≈log0.90.6≈4.8.

所以该品种绿茶用85 ℃的水泡制4.8 min后饮用,口感最佳.

22.解 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=p2(1-p)18.

(2)由p=0.1.

①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),

X=20×2+25Y,即X=40+25Y.

所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490.

②如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于E(X)>400,故应该对余下的产品作检验.