数学选择性必修 第三册第五章 数列5.3 等比数列5.3.1 等比数列课堂检测

第五章5.3　等比数列

5.3.1　等比数列

A级 必备知识基础练

1.[探究点一]对等比数列{an},下列说法一定正确的是(　　)

A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列

C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列

2.[探究点二]设等比数列{an}满足a1+a3=3,a1-a5=-3,则a7=(　　)

A.8 B.-8 C.6 D.-6

3.[探究点三]在下面所示的表格中,每格填上一个数字后,使每一行成等差数列,每一列成等比数列,则a+b+c的值为(　　)

A.1 B.2 C. D.4

4.[探究点二·2023黑龙江鹤岗一中高三期末]在各项均为正数的等比数列{an}中,若2a3,a5,a4成等差数列,则=(　　)

A. B.1 C.2 D.4

5.[探究点三·2023广东高二期末]已知双曲线=1(a>0,b>0),焦距为2c,若a,b,c成等比数列,则该双曲线的离心率为(　　)

A. B.2 C.+1 D.

6.[探究点二](多选题)[2023福建宁德高二期末]已知等比数列{an}的公比q=-,等差数列{bn}的首项b1=9,若a7>b7且a8>b8,则以下结论正确的有(　　)

A.a8>0 B.b8<0

C.a7>a8 D.b7>b8

7.[探究点三]在2和30之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的两数是　　　　　. 

8.[探究点三]已知数列{an}的各项都为正数,对任意的m,n∈N+,aman=am+n恒成立,且a3a5+a4=72,则log2a1+log2a2+…+log2a7=　　　　. 

9.[探究点一、二·北师大版教材例题]在各项均为负数的数列{an}中,已知2an=3an+1,且a2a5=.

(1)求证:数列{an}是等比数列,并求出它的通项公式.

(2)试问-是数列{an}中的项吗?如果是,指出是{an}中的第几项;如果不是,请说明理由.

B级 关键能力提升练

10.(多选题)数列{an}满足an=qn(q>0),则以下结论正确的是(　　)

A.数列{a2n}是等比数列

B.数列{}是等比数列

C.当q≠1时,数列{lg an}是等比数列

D.数列{lg }是等差数列

11.(多选题)[2023安徽安庆一中高二阶段练习]已知三角形的三边长组成公比为q的等比数列,则q的值可以为(　　)

A. B. C. D.

12.如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就称为“和差等比数列”.已知{an}是“和差等比数列”,a1=2,a2=3,则满足使不等式an>10的n的最小值是(　　)

A.8 B.7 C.6 D.5

13.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制,各相邻两律之间的频率之比完全相等,亦称“十二等程律”.即一个八度13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为f1,第七个音的频率为f2,则=(　　)

A.4 B. C. D.

14.已知等比数列{an}的公比是q,则“q>1”是“an+1>an”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

15.(多选题)已知等比数列{an}的各项均为正数,公比为q,且a1>1,a8+a9>a8a9+1>2,记{an}的前n项积为Tn,则下列选项中正确的是(　　)

A.q>1 B.a8>1

C.T16>1 D.T17>1

16.已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.若数列{an}是唯一的,则a的值为　　　　　. 

17.已知等比数列{an}满足a1-a3=-,a2-a4=-,则使得a1a2…an取得最小值的n为　　　　. 

18.[2023海南模拟预测]已知数列{an}满足an+1-an=0(an≠0,且n∈N+),且a2,a3+2,a4成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若bn=log2an(n∈N+),求数列{bn}的前n项和Tn.

19.已知数列{an}是递增的等比数列,a1=1,且2a2,a3,a4成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=,n∈N+,求数列{bn}的前n项和Sn.

C级 学科素养创新练

20.[2023重庆高二期末]已知数列{an}满足a1=4,nan+1=2(n+1)an,则a4=　　　　　,若数列的前n项和为Sn,则满足不等式Sn≥14的n的最小值为　　　　　. 

5.3.1　等比数列

1.D　因为在等比数列中,an,a2n,a3n,…也成等比数列,所以a3,a6,a9成等比数列.

2.A　设等比数列{an}的公比为q,

a1+a3=3,即a1(1+q2)=3, ①

a1-a5=-3,即a1(1-q4)=-3, ②

由②÷①得1-q2=-1,即q2=2,a1=1.

则an=a1qn-1=qn-1,所以a7=q6=(q2)3=8.

3.C　根据题意填写表格,得

所以a+b+c=.

4.D　设等比数列{an}的公比为q,由题可知q>0.

由2a3,a5,a4成等差数列,可得a5=2a3+a4,

即a1q4=2a1q2+a1q3,

可得q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),

则=q2=4.

故选D.

5.C　由题可知a2+b2=c2.

∵a,b,c成等比数列,∴ac=b2,

∴2ac=c2-a2.方程两边同时除以a2,得e2-2e-1=0.

又e>1,∴e=+1.

故选C.

6.BD　因为等比数列{an}的公比q=-,则a7=a1,a8=-a1,而a1的正负不确定,因此不能确定a7和a8的正负及大小关系,AC错误;

显然a7和a8异号,又a7>b7且a8>b8,则b7,b8中至少有一个是负数,而b1=9>0,

于是等差数列{bn}的公差d<0,即数列{bn}为递减数列,因此b7>b8,且b8<0,BD正确.

故选BD.

7.6,18　设两数依次为a,b(a,b>0),∴a2=2b,2b=a+30,∴a2-a-30=0,∴a=6,∴b=18.

8.21　∵对任意的m,n∈N+,aman=am+n恒成立,

令m=1,则a1an=a1+n对任意的n∈N+恒成立,

∴数列{an}为等比数列,公比为a1.

由等比数列的性质有a3a5=,

∵a3a5+a4=72,

则+a4=72,

∵a4>0,∴a4=8,

∴log2a1+log2a2+…+log2a7=log2(a1a2…a7)=log2=log287=21.

9.(1)证明因为2an=3an+1,且an≠0,所以,

故数列{an}是公比为q=的等比数列.

又a2a5=,则a1q·a1q4=,

即=2,

又数列各项均为负数,则a1=-,

所以{an}的通项公式为an=-×n-1=-n-2.

(2)解设an=-,由等比数列的通项公式得-=-n-2,即4=n-2.

根据指数函数的性质,得4=n-2,即n=6.

因此,-是数列{an}的第6项.

10.ABD　因为an=qn(q>0,n∈N+),所以=q2(n≥2),故A正确;

(n≥2),故B正确;

lgan=lgqn=nlgq(q≠1),故lgan≠0,(n≥2),故C错误;

lg=lgq2n=2nlgq,故lg-lg=2nlgq-2(n-1)lgq=2lgq(n≥2),故D正确.

故选ABD.

11.BC　由题意可设三角形的三边长分别为,a,aq(a,q>0).

因为三角形的两边之和大于第三边,

①当q>1时,+a>aq,即q2-q-1<0,解得1<q<;

②当q=1时,=a=aq,满足题意;

③当0<q<1时,a+aq>,即q2+q-1>0,解得<q<1.

综上,q的取值范围是.

故选BC.

12.D　依题意,=5,得,

则数列{an}是首项为2,公比为的等比数列,

所以an=2·n-1,

验证知,当n≥5时,2·n-1>10成立,

所以n的最小值是5.

故选D.

13.D　设13个音的频率组成等比数列{an},其公比为q,那么an=a1qn-1,根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍,得a13=2a1=a1q12,解得q=,所以=q4=.故选D.

14.D　当a1=-1时,an=-qn-1,an+1=-qn.

因为q>1,所以qn>qn-1,

所以-qn<-qn-1,故an+1<an,

所以q>1不能推出an+1>an.

由an+1>an,得-qn>-qn-1,则qn<qn-1,所以0<q<1,

所以an+1>an不能推出q>1,

所以“q>1”是“an+1>an”的既不充分也不必要条件.

故选D.

15.BC　由题意知(a8-1)(1-a9)=a8+a9-a8a9-1>0,

则a8,a9中一个大于1,另一个小于1.

∵等比数列{an}的各项均为正数,∴q>0.

又a1>1,∴a8>1>a9,且1>q>0.

由题意知a8a9>1.

∵T16=a1a2…a16=,

∴T16>1.T17=<1.

故选BC.

16.　设数列{an}的公比为q,则b1=1+a,b2=2+aq,b3=3+aq2,

由b1,b2,b3成等比数列,得(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0. (*)

由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根.由数列{an}唯一知方程(*)必有一根为0,将q=0代入(*)得a=.

17.3或4　设数列{an}的公比为q,则q==3,

∴a1-a3=-8a1=-,

∴a1=,a2=,a3=,a4=1,……,

∴n=3或n=4时,a1a2…an取得最小值.

18.解(1)在数列{an}中,由an+1-an=0,得an+1=2an,而an≠0,则数列{an}是公比为2的等比数列.

因为a2,a3+2,a4成等差数列,即2(a3+2)=a2+a4,所以8a1+4=2a1+8a1,解得a1=2,

所以数列{an}的通项公式为an=2×2n-1=2n.

(2)由(1)得bn=log22n=n,有b1=1,bn+1-bn=(n+1)-n=1,即数列{bn}是首项为1,公差为1的等差数列,

所以Tn=·n=n2+n.

19.解(1)设数列{an}的公比为q,由题意,知q>1.

∵2a2,a3,a4成等差数列,

∴3a3=a4+2a2,∴3q2=q3+2q,

即q2-3q+2=0,解得q=2或q=1(舍去),∴q=2,

∴数列{an}的通项公式为an=a1qn-1=2n-1.

(2)∵bn=,

∴Sn=1-+++…++===.

20.128　5　在数列{an}中,由a1=4,nan+1=2(n+1)an可知=2·,且≠0,=4,所以数列是以4为首项,2为公比的等比数列,

则=4×2n-1,即an=n·2n+1,

所以数列{an}的通项公式为an=n·2n+1,

则a4=4×25=128.

=,

则Sn=+++…++=-2.

由Sn≥14,得-2≥14,即≥16.

令bn=,则bn>0,=2->1,即数列{bn}是递增数列.

而b4=<16,b5==16,

因此当n≥5时bn≥16,所以满足不等式Sn≥14的n的最小值为5.