人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.5 数学归纳法同步训练题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.5 数学归纳法同步训练题，共8页。试卷主要包含了[探究点一]用数学归纳法证明，已知n为正偶数,用数学归纳法证等内容，欢迎下载使用。
第五章5.5　数学归纳法A级 必备知识基础练1.[探究点二·2023北京高二阶段练习]用数学归纳法证明1++…+<n(n∈N+,n>1)时,第一步应验证不等式(　　)A.1+<2B.1+<2C.1+<3D.1+<32.[探究点二]用数学归纳法证明n3>3n2+3n+1这一不等式时,应注意n必须为(　　)A.n∈N+ B.n∈N+,n≥2C.n∈N+,n≥3 D.n∈N+,n≥43.[探究点二]用数学归纳法证明+…+时,从n=k到n=k+1,不等式左边需添加的项是(　　)A.B.C.D.4.[探究点二]用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N+)”时,第一步的验证为　　　　　　　　　　　. 5.[探究点一]用数学归纳法证明:1+5+9+13+…+(4n-3)=2n2-n(n∈N+).         6.[探究点三]数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=Sn+-2(n∈N+).(1)求S1,S2,S3,S4的值;(2)猜想数列{Sn}的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.         B级 关键能力提升练7.利用数学归纳法证明+…+<1(n∈N+,且n≥2)时,由k到k+1时不等式左端的变化是(　　)A.增加了这一项B.增加了两项C.增加了两项,同时减少了这一项D.无变化8.已知关于自然数n的命题P(n),由P(k)成立可以推出P(k+1)成立,若P(6)不成立,则下面结论正确的是(　　)A.P(7)一定不成立 B.P(5)可能成立C.P(2)一定不成立 D.P(4)不一定成立9.已知n为正偶数,用数学归纳法证:1-+…+=2(+…+)时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时等式成立,则还需要再证(　　)A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2时等式成立10.(多选题)[2023江苏高二专题练习]下列结论能用数学归纳法证明的是(　　)A.ex≥x+1(x∈R)B.1+2+3+…+(n+3)=(n∈N+)C.1++…+=2-(n∈N+)D.sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β(α,β∈R)11.若f(n)=1++…+(n∈N+),用数学归纳法验证关于f(n)的命题时,第一步计算f(1)=　　　　;第二步“从n=k到n=k+1时”,f(k+1)=f(k)+　　　　　　　. 12.平面上有n条直线,它们任何两条不平行,任何三条不共点,设k条这样的直线把平面分成f(k)个区域,则k+1条直线把平面分成的区域数f(k+1)=f(k)+　　　　. 13.[2023浙江高二单元测试]f=1++…+(n∈N+),则f(2k+1)-f(2k)=　　　　　. 14.已知数列{an}满足a1=,前n项和Sn=(2n2-n)an.(1)求a2,a3,a4的值并猜想an的表达式;(2)用数学归纳法证明(1)的猜想.        C级 学科素养创新练15.(多选题)用数学归纳法证明对任意n≥k(n,k∈N+)都成立,则k的值可以为(　　)A.1 B.2 C.3 D.416.[人教A版教材习题]若数列{Fn}满足F1=1,F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n≥3,n∈N+),则{Fn}称为斐波那契数列.试用数学归纳法证明其通项公式为Fn=[()n-()n].
5.5　数学归纳法1.B　由题意得,第一步应验证当n=2时,1+<2.故选B.2.D　当n=1,n=2,n=3时,显然不等式不成立,当n=4时,不等式成立,故用数学归纳法证明n3>3n2+3n+1这一不等式时,应注意n必须为n∈N+,n≥4.故选D.3.B　当n=k时,左边为+…+,当n=k+1时,左边为+…+,所以左边需添加的项是.故选B.4.当n=1时,左边=4,右边=4,不等式成立5.证明(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立.(2)假设n=k(k∈N+)时,等式成立,即1+5+9+13+…+(4k-3)=2k2-k.则当n=k+1时,1+5+9+13+…+(4k-3)+(4k+1)=2k2-k+(4k+1)=2k2+3k+1=2(k+1)2-(k+1).所以当n=k+1时,等式成立.综合(1)(2)可知,等式对任意n∈N+恒成立.6.解(1)当n=1时,a1=S1=S1+-2,∴S1=.又a2=S2-S1=S2+-2,∴S2=,同理S3=,S4=.(2)猜想Sn=(n∈N+).下面用数学归纳法证明这个结论.①当n=1时,结论成立.②假设n=k(k∈N+)时结论成立,即Sk=,当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=Sk+1+-2,∴=2-Sk=2-.∴Sk+1=,即当n=k+1时结论成立.由①②,知Sn=对任意的正整数n都成立.7.C　当n=k时,左端为+…+;当n=k+1时,左端为+…+,对比两式,可得结论.8.C　∵P(n)对n=6不成立,无法判断当n>6时,P(n)是否成立,故A错误;假设P(n)对n=5成立,则根据推理关系,得P(n)对n=6成立,与条件P(n)对n=6不成立矛盾,∴假设不成立,故B错误;同理可得,当n<6时,P(n)一定不成立,故D错误,C正确.故选C.9.B　若已假设n=k(k>2,k为偶数)时命题为真,因为n只能取偶数,所以还需要证明n=k+2成立.故选B.10.BC　数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法,由此可知BC能用数学归纳法证明.故选BC.11.　f(1)=1+;当n=k时,f(k)=1++…+,当n=k+1时,f(k+1)=1++…+,所以f(k+1)=f(k)+.12.k+1　当n=k+1时,第k+1条直线被前k条直线分成(k+1)段,而每一段将它们所在区域一分为二,故增加了k+1个区域.13.+…+　因为f(n)=1++…+,所以f(2k+1)=1++…++…+,f(2k)=1++…+,所以f(2k+1)-f(2k)=+…++…+.14.(1)解∵a1=,前n项和Sn=(2n2-n)an,∴令n=2,得a1+a2=6a2,∴a2=.令n=3,得a1+a2+a3=15a3,∴a3=.令n=4,得a1+a2+a3+a4=28a4,∴a4=.猜想an=.(2)证明证明如下:①当n=1时,结论成立;②假设当n=k(k∈N+)时,结论成立,即ak=,则当n=k+1时,Sk+1=Sk+ak+1=(2k2-k)ak+ak+1=+ak+1=[2(k+1)2-(k+1)]·ak+1,∴k(2k+3)·ak+1=,∴ak+1=,∴当n=k+1时结论成立.由①②可知,对一切n∈N+都有an=成立.15.CD　取n=1,则不成立;取n=2,则不成立;取n=3,则成立;取n=4,则成立;下面证明:当n≥3时,成立.当n=3,则成立;假设当n=k(k≥3)时,有成立,则当n=k+1时,有,令t=,则=3-,因为t>,故>3-,因为>0,所以,所以当n=k+1时,不等式也成立,由数学归纳法可知,对任意的n≥3都成立.故k≥3.故选CD.16.证明(1)当n=1时,F1=1-1=1,命题成立;当n=2时,F2=2-2=1,命题成立.(2)假设当2≤n≤k(k∈N+,k≥2)时命题成立,则Fk=k-k,Fk-1=k-1-k-1,那么当n=k+1时,Fk+1=Fk+Fk-1=k-k+k-1-k-1=k-1+1-k-1·+1=k-1·-k-1·=k-12-k-1·2=k+1-k+1,所以当n=k+1时命题也成立.由(1)(2)可知,Fn=n-n对任意n∈N+都成立.