人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.1 等差数列同步练习题

第五章培优课❶　等差数列习题课

A级 必备知识基础练

1.[探究点一]在等差数列{an}中,已知a1=,a1+a6=4,an=37,则n的值为(　　)

A.50 B.49 C.56 D.51

2.[探究点一·2023河南郑州高三阶段练习]已知数列{an}是各项均为正数的等差数列,a5=10,且a4a6=96,则其公差为(　　)

A.-2 B.2 C.-2或2 D.4

3.[探究点四]设数列{an}是公差为d的等差数列,Sn是其前n项和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是(　　)

A.d<0

B.a7=0

C.S9>S6

D.S6与S7均为Sn的最大值

4.[探究点一]有一位善于步行的人,第一天行走了100千米,以后每天比前一天多走d千米,九天他一共行走了1 260千米,求d的值.关于该问题,下列结论错误的是(　　)

A.d=15

B.此人第二天行走了110千米

C.此人前七天共行走了910千米

D.此人前八天共行走了1 080千米

5.[探究点一]记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=　　　　　. 

6.[探究点四]在等差数列{an}中,若a1<0,Sn为其前n项之和,且S7=S17,则当Sn为最小时,n的值为　　　　. 

7.[探究点四·2023福建福州第一中学高二期末]设等差数列{an}的前n项和为Sn,S35<0,S36>0,若对任意正整数n,都有Sn≥Sk,则整数k=　　　　　. 

8.[探究点三]“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列称为等和数列,这个常数称为该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,则a18的值为　　　　. 

9.[探究点一]将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为　　　　　. 

10.[探究点四]数列{an}是首项为23,公差为-4的等差数列.

(1)当an>0时,求n的取值范围;

(2)求数列{an}的前n项和Sn的最大值.

11.[探究点二·2023安徽师范大学附属中学高二阶段练习]已知数列{an}前n项和Sn满足Sn=n2(n+1)+1.求:

(1)a1,a2;

(2)数列{an}的通项公式.

B级 关键能力提升练

12.(多选题)[2023山东菏泽高二阶段练习]已知数列{an}是公差为d的等差数列,则下列说法正确的是(　　)

A.an+1=an+d

B.数列{-an}是等差数列

C.数列是等差数列

D.2an+1=an+an+2

13.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n+3(n∈N+),则下列结论正确的是(　　)

A.数列{an}是等差数列

B.数列{an}是递增数列

C.a1,a5,a9成等差数列

D.S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列

14. [2023江苏南通高二期末]如图的形状被称为“三角垛”.已知某“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球……设各层(从上往下)球数组成一个数列{an},则a5=　　　　　;+…+=　　　　　. 

15.已知在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-18,其前n项和为Sn.

(1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值时n的值;

(2)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.

16.已知各项都不相等的等差数列{an}的前6项和为60,且满足=a1a21.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足bn+1-bn=an,且b1=3,求数列的前n项和Tn.

C级 学科素养创新练

17.[2023江苏南京外国语学校高二期末]设Sn是数列{an}的前n项和,Sn=an-3n+1,则an=　　　　　;若不等式an≥对任意n∈N+恒成立,则正数k的最小值为　　　　　. 

培优课❶　等差数列习题课

1.C　设数列{an}的公差为d.因为a1+a6=2a1+5d=4,a1=,所以d=,所以an=+(n-1)×=37,所以n=56.

2.B　设等差数列{an}的公差为d,由题可知d>0.

∵a4a6=(a5-d)(a5+d)=(10-d)(10+d)=96,∴d=2或d=-2(舍去),

∴等差数列{an}的公差为2.

故选B.

3.C　由于S5<S6,S6=S7>S8,所以S6-S5=a6>0,S7-S6=a7=0,S8-S7=a8<0,所以d<0,S6与S7均为Sn的最大值.而S9-S6=a7+a8+a9=3a8<0,所以S9<S6,所以C选项错误.故选C.

4.A　设此人第n(n∈N+)天走an千米,则数列{an}是公差为d的等差数列,记数列{an}的前n项和为Sn,

由题意可得解得d=10,A错;

a2=a1+d=110,B对;

S7=7a1+d=910,C对;

S8=8a1+d=1080,D对.

故选A.

5.25　设等差数列{an}的公差为d.

∵a1=-2,∴a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1,

∴S10=10a1+d=-20+45=25.

6.12　由S7=S17,知a8+a9+…+a17=0,根据等差数列的性质,a8+a17=a9+a16=…=a12+a13,因此a12+a13=0,又a1<0,从而a12<0,a13>0,故Sn的最小值为S12.

7.18　在等差数列{an}中,S35==35a18<0,则a18<0.

又S36==18(a18+a19)>0,则a18+a19>0,即有a19>-a18,

于是数列{an}的公差d=a19-a18>0,即{an}是递增数列,其前18项均为负数,从第19项起为正数,

因此Sn的最小值为S18,所以对任意正整数n,都有Sn≥S18,所以k=18.

8.3　由题意可得an+an+1=5,∴an+1+an+2=5,

∴an+2-an=0.∵a1=2,∴a2=5-a1=3,∴当n为偶数时,an=3;当n为奇数时,an=2,∴a18=3.

9.3n2-2n　数列{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数.显然{3n-2}中的所有奇数项均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项,这些项从小到大排列组成的新数列{an}为以1为首项,6为公差的等差数列,所以{an}的前n项和为n×1+×6=3n2-2n.

10.解(1)由题可知an=23+(n-1)×(-4)=27-4n>0,

∴n<6.

又n是正整数,∴n的取值范围是{1,2,3,4,5,6}.

(2)由(1)知n≤6时an为正数,n≥7时an为负数,所以Sn的最大值为S6=6×23+×(-4)=78.

11.解(1)因为Sn=n2(n+1)+1,

令n=1,可得a1=S1=1×2+1=3,

令n=2,可得a1+a2=S2=22×(2+1)+1,解得a2=10.

(2)因为Sn=n2(n+1)+1,

则当n≥2时,an=Sn-Sn-1=[n2(n+1)+1]-[(n-1)2n+1]=3n2-n,

且由(1)知,a1=3不满足上式,

所以an=

12.ABD　因为数列{an}是公差为d的等差数列,所以an+1-an=d,即an+1=an+d,所以A正确;

因为an+1-an=d,所以(-an+1)-(-an)=-d,所以数列{-an}是等差数列,故B正确;

,不是常数,所以数列不是等差数列,故C不正确;

由题可知an+1是an与an+2的等差中项,所以2an+1=an+an+2,故D正确.

故选ABD.

13.D　当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n+3-(n-1)2+(n-1)+3=n+;

当n=1时,a1=S1=,不满足上式,

∴数列{an}不是等差数列.

∵a2=<a1=,

∴数列{an}不是递增数列.

2a5-a1-a9=2××5+--×9+=-3≠0,

∴a1,a5,a9不成等差数列.

S6-S3=×(4+5+6)+×3=,

S9-S6=×(7+8+9)+×3=,

S12-S9=×(10+11+12)+×3=,

∴=0,

∴S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列.

故选D.

14.15　　因为a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n,

以上n个式子累加,得an=1+2+3+…+n=,

则a5==15.

因为=2,所以+…+=2=2-.

15.解(1)设数列{an}的公差为d.

∵a16+a17+a18=a9=-18,

∴a17=-6,∴d=,

∴a1=a9-8d=-30,

∴an=n-,Sn=n2-n.

设前n项和的最小值为Sk(k∈N+),则

即∴k=20或k=21.

故当n=20或21时,Sn取最小值,最小值为S20=S21=-315.

(2)由an=n-≤0,得n≤21.

∴当n≤21时,Tn=-Sn=(41n-n2).

当n>21时,

Tn=-a1-a2-…-a21+a22+…+an=Sn-2S21=(n2-41n)+630.

16.解(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),

则解得

则an=2n+3.

(2)由bn+1-bn=an,得bn-bn-1=an-1(n≥2),

∴bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+…+a1+b1=(n-1)(n+3)+3=n(n+2)(n≥2),b1=3满足上式,

∴bn=n(n+2),

∴,

∴Tn=.

17.(4n+2)×3n　　当n=1时,a1=S1=a1-32,得a1=18.

当n≥2时,Sn-1=an-1-3n,

所以an=Sn-Sn-1=an-an-1-2×3n,得an=3an-1+4×3n,

所以=4(n≥2).

又因为=6,所以是以6为首项,4为公差的等差数列,

所以=4n+2,即an=(4n+2)×3n.

因为an≥,所以(4n+2)×3n≥,即(k>0).

记bn=,则bn>0,>1,所以{bn}为递增数列,所以bn≥b1=6.

所以≤6,所以k≥,

则k的最小值为.