新教材2023_2024学年高中数学第六章导数及其应用综合训练新人教B版选择性必修第三册

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第六章综合训练
一、单项选择题
1.下列导数运算正确的是(　　)
A.()'= B.(log2x)'=
C.(sin 2x)'=cos 2x D.(2x)'=x·2x-1
2.[2023北京海淀校级期末]函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,则m=(　　)
A. B.1 C.2 D.
3.[2023湖北期中]已知直线l是曲线f(x)=ex的切线,切点的横坐标为-1,直线l与x轴和y轴分别相交于A,B两点,则△OAB的面积为(　　)
A. B.1 C. D.
4.函数f(x)=exsin x在区间上的值域为(　　)
A.[0,] B.(0,) C.[0,) D.(0,]
5.[2023江苏南京鼓楼期中]已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0,则a+b=(　　)
A.11或4 B.-4或-11
C.11 D.4
6.[2023河南洛阳月考]若函数f(x)=ln x-ax在区间(3,4)内有极值点,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,) B.(,+∞) C.[] D.()
7.设函数f(x)=x-ln x(x>0),则y=f(x)(　　)
A.在区间,(1,e)内均有零点
B.在区间,(1,e)内均无零点
C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点
D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点
8.f(x)是定义在R上的偶函数,当x0,
∴f(x)在上单调递增,
∴f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f.
5.C　根据题意,f'(x)=3x2+6ax+b.
∵函数f(x)在x=-1处有极值0,
∴f'(-1)=3-6a+b=0且f(-1)=-1+3a-b+a2=0,
∴a=1,b=3或a=2,b=9,当a=1,b=3时f'(x)=3x2+6x+3≥0恒成立,函数f(x)在R上单调递增,此时函数无极值点,不符合题意.
当a=2,b=9时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).
当x-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当-30),故f'(x)=-.
故f(x)在点(1,0)处的切线的斜率为f'(1)=0,而f(1)=1-1+ln1=0,
故f(x)在点(1,0)处的切线方程为y-0=0(x-1),即y=0,
所以f(x)在点(1,0)处的切线为x轴,A正确;
当00,
故f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,B错误;
由此可得x=1为f(x)的极小值点,C正确;
由于在(0,+∞)上f(x)只有一个极小值点,故函数的极小值也为函数的最小值,最小值为f(1)=0,D正确,
故选ACD.
12.ACD　f(x)=的定义域为(0,+∞),
f'(x)=.
令f'(x)=0得x=e,
所以在(0,e)内,f'(x)>0,f(x)单调递增,
在(e,+∞)内,f'(x)0恒成立,
所以函数f(x)在[e,+∞)内没有零点.
所以函数f(x)只有一个零点.
选项B也可以直接令f(x)=0,即=0,解得x=1,所以函数f(x)只有一个零点.故B错误;
对于C,因为f(x)=,
所以f(2)=f(4)=.
因为f(x)在(e,+∞)内单调递减,
所以f(3)>f(π)>f(4),
所以f(2)0,此时函数f(x)单调递增.
∴1是函数f(x)的极小值点.
14.　因为f(x)=asinx+cosx在区间上单调递减,
所以f'(x)=acosx-sinx≤0在区间上恒成立,
故a≥tanx在区间上恒成立.
因为y=tanx在区间上单调递增,
所以y=tanx的最大值为tan=-,
故a≥-,
即实数a的取值范围是.
15.2 cm,1 cm, cm　设长、宽、高分别为2x,x,h,则4(2x+x+h)=18,h=-3x,
∴V=2x·x·h=2x2=-6x3+9x2,由V'=0,得x=1或x=0(舍去).
∴x=1是函数V在(0,+∞)内唯一的极大值点,也是最大值点,
故当长、宽、高分别为2cm,1cm,cm时,体积最大.
16.(-∞,20]　∵f(x)=mlnx-x3+x2-4x+4(x>0),∴f'(x)=-3x2+3x-4.
由于f(x)在(2,+∞)内单调递减,
即f'(x)≤0在(2,+∞)内恒成立,
即-3x2+3x-4≤0在(2,+∞)内恒成立,
设g(x)=3x3-3x2+4x(x>2),
则m≤3x3-3x2+4x在(2,+∞)内恒成立,
即m≤g(x)min在(2,+∞)内恒成立,
g'(x)=9x2-6x+4,知Δ=36-4×9×41时,f'(x)>0,当xg(2)=4-2ln2-6+4=2-2ln2>0,
∴当x>2时,x2-2lnx>3x-4,
即当x>2时,f(x)>3x-4.得证.
20.解(1)Q=P·=v4-v3+15v·=v3-v2+15·400=v2+6000(00,当00.
所以f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增.
(2)f'(x)=ex-a.
当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)内单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意.
当a>0时,由f'(x)=0可得x=lna.当x∈(-∞,lna)时,f'(x)