高中数学第一章　空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.2 空间向量基本定理一课一练

第一章1.1.2　空间向量基本定理

A级 必备知识基础练

1. [探究点三(角度2)]如图,在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在上,且OM=2MA,点N为BC中点,则=(　　)

A.a-b+c 

B.-a+b +c

C.a+b-c 

D.a+b-c

2.[探究点三(角度1)]已知{a,b,c}是空间向量的一组基底,若p=a+b,q=a-b,则(　　)

A.a,p,q是空间向量的一组基底

B.b,p,q是空间向量的一组基底

C.c,p,q是空间向量的一组基底

D.p,q与a,b,c中的任何一个都不能构成空间向量的一组基底

3.[探究点三(角度3)](多选题)已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有=x,则x的值不可能为(　　)

A.1 B.0 C.3 D.

4.[探究点二]若{a,b,c}构成空间向量的一组基底,则下列向量不共面的是(　　)

A.b+c,b,b-c B.a,a+b,a-b

C.a+b,a-b,c D.a+b,a+b+c,c

5.[探究点三(角度3)] (多选题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱BA,BC,BB1上的点,且满足

=3=4=5,则(　　)

A.

B.=3+4+5

C.=0

D.

6.[探究点三(角度3)]已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点F是侧面CD1的中心,且+m-n,则m=　　　　　. 

7. [探究点三(角度1、角度2)·人教A版教材习题]如图,已知平行六面体OABC-O'A'B'C',点G是侧面BB'C'C的中心,且=a,=b,=c.

 (1){a,b,c}是否构成空间向量的一组基底?

(2)如果{a,b,c}构成空间向量的一组基底,那么用它表示下列向量:.

8.[探究点二]已知三个向量a,b,c不共面,并且p=a+b-c,q=2a-3b-5c,r=-7a+18b+22c,向量p,q,r是否共面?

B级 关键能力提升练

9. 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间内任意一点,=a,=b,=c,向量=xa+yb+zc,则x,y,z分别是(　　)

A.1,-1,2 B.-,1

C.,-,1 D.,-,-1

10. [2023山西运城景胜中学高二阶段练习]如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1,其中,以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是(　　)

A.AC1=6

B.AC1⊥BD

C.向量的夹角是60°

D.BD1与AC所成角的余弦值为

11.[2023辽宁沈阳二十中高二阶段练习](多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是60°,M为A1C1与B1D1的交点,若=a,=b,=c,则下列说法正确的是(　　)

A.a-b+c

B.=a+b+c

C.AC1的长为

D.cos<>=

12.已知空间单位向量e1,e2,e3,e1⊥e2,e2⊥e3,e1·e3=,若空间向量m=xe1+ye2+ze3满足:m·e1=4,m·e2=3,m·e3=5,则x+y+z=　　　　　,|m|=. 

13. 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=3,AA1=7,∠BAD=,∠BAA1=∠DAA1=,则AC1的长为　　　　　. 

14.如图,设O为▱ABCD所在平面外任意一点,E为OC的中点,若+x+y,求x,y的值.

15.已知非零向量e1,e2不共线,如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2,求证:A,B,C,D四点共面.

C级 学科素养创新练

16. [人教A版教材例题]如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=4,AA1=5,∠DAB=60°,∠BAA1=60°,∠DAA1=60°,M,N分别为D1C1,C1B1的中点.求证:MN⊥AC1.

17. 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在A1D1上,且=2,点F在对角线A1C上,且.

求证:E,F,B三点共线.

1.1.2　空间向量基本定理

1.B　)-=-a+b+c.故选B.

2.C　假设c=k1p+k2q,即c=k1(a+b)+k2(a-b),得(k1+k2)a+(k1-k2)b-c=0,这与{a,b,c}是空间的一个基底矛盾,故c,p,q是空间的一组基底.故选C.

3.ABC　∵=x,

且M,A,B,C四点共面,∴x+=1,∴x=.

4.C　对于A选项,因为b=(b+c)+(b-c),所以b+c,b,b-c共面,A选项不满足条件;

对于B选项,因为a=(a+b)+(a-b),所以a,a+b,a-b共面,B选项不满足条件;

对于C选项,假设a+b,a-b,c共面,则c=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,从而可知a,b,c共面,矛盾,C选项满足条件;

对于D选项,因为a+b+c=(a+b)+c,所以a+b,a+b+c,c共面,D选项不满足条件.故选C.

5.AB　对于A选项,,A对;

对于B选项,=3+4+5,B对;

对于C选项,由图可知不共线,则≠0,C错;

对于D选项,,D错.

故选AB.

6.　如图所示,可得)=.

因为+m-n,

所以m=,n=-.

7.解(1)∵=a,=b,=c不共面,

∴{a,b,c}构成空间向量的一组基底.

(2)=a+b+c,

=-=-=-b+c,

=-=a-b+c,

)=a+b+c.

8.解假设存在实数λ,μ,使p=λq+μr,则

a+b-c=(2λ-7μ)a+(-3λ+18μ)b+(-5λ+22μ)c.

∵a,b,c不共面,∴解得

即存在实数λ=,μ=,使p=λq+μr,∴p,q,r共面.

9.C　)=a-b+c,因此,x=,y=-,z=1.故选C.

10.B　对于A选项,由题意可知,则+2+2+2=62+62+62+2×6×6×cos60°+2×6×6×cos60°+2×6×6×cos60°=63,

∴||=6,故选项A不正确;

对于B选项,,

∴=()·()==6×6×cos60°+62+6×6×cos60°-62-6×6×cos60°-6×6×cos60°=0.

∴AC1⊥BD,故选项B正确;

对于C选项,,∴cos<>==-.

又0°≤cos<>≤180°,

∴向量的夹角是120°,故选项C不正确;

对于D选项,.

设BD1与AC所成角的平面角为θ,

则cosθ=|cos<>|==,故选项D不正确.故选B.

11.BD　对于A选项,)=b-a+c,故A错误;

对于B选项,=a+b+c,故B正确;

对于C选项,=a+b+c,则=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=6,

则||=,故C错误;

对于D选项,=a·(a+b+c)=a2+a·b+a·c=2,则cos<>=,故D正确.

故选BD.

12.8　　因为e1⊥e2,e2⊥e3,e1·e3=,空间向量m=xe1+ye2+ze3满足:m·e1=4,m·e2=3,m·e3=5,所以

解得所以x+y+z=8,|m|=.

13.　∵,

∴||2==()2=||2+||2++2||||cos+2||||cos+2||||cos=25+9+49+2×5×3×+2×3×7×+2×5×7×=98+56,

∴AC1=||=.

14.解因为=-=-)=-)=-)=-,所以x=,y=-.

15.证明(证法一)令λ(e1+e2)+μ(2e1+8e2)+v(3e1-3e2)=0,则(λ+2μ+3v)e1+(λ+8μ-3v)e2=0.

∵e1,e2不共线,∴

易知是其中一组解,则-5=0.

∴A,B,C,D四点共面.

(证法二)观察易得=(2e1+8e2)+(3e1-3e2)=5e1+5e2=5(e1+e2)=5.∴.

由共面向量定理知,共面.

又它们有公共点A,∴A,B,C,D四点共面.

16.证明设=a,=b,=c,这三个向量不共面,{a,b,c}构成空间的一组基底,我们用它们表示,则a-b,

=a+b+c,

所以=(a-b)·(a+b+c)=a·a+a·b+a·c-b·a-b·b-b·c=×42+×42×cos60°+×4×5×cos60°-×42×cos60°-×42-×4×5×cos60°=0,所以MN⊥AC1.

17.证明设=a,=b,=c.

∵=2,∴b,

)=a+b-c.

∴a-b-c=(a-b-c).

又=-b-c+a=a-b-c,

∴.

又EF∩EB=E,

∴E,F,B三点共线.