高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系一课一练

第一章1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系

A级 必备知识基础练

1.[探究点一]已知向量a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则向量b等于(　　)

A.(2,-4,2) 

B.(-2,4,-2)

C.(-2,0,-2) 

D.(2,1,-3)

2.[探究点一、二]已知a=(1,2,y),b=(x,1,2),且a∥b,则x·y=(　　)

A.1 B.-1 C.-2 D.2

3.[探究点二](多选题)已知向量a=(1,1,0),则与a共线的单位向量e=(　　)

A. 

B.(0,1,0)

C. 

D.(-1,-1,0)

4.[探究点一]若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是(　　)

A.锐角三角形 

B.直角三角形

C.钝角三角形 

D.等边三角形

5.[探究点二、三](多选题)对于任意非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),以下说法错误的有(　　)

A.若a⊥b,则x1x2+y1y2+z1z2=0

B.若a∥b,则

C.cos<a,b>=

D.若x1=y1=z1=1,则a为单位向量

6.[探究点二、三]已知向量a=(1,0,m),b=(2,0,-2),若a∥b,则|a|=(　　)

A.-1 B.0 

C.1 D.2

7.[探究点三]已知向量a=(5,3,1),b=(-2,t,-),若a与b的夹角为钝角,则实数t的取值范围为　　　　　　　. 

8.[探究点二、三·北师大版教材习题]已知A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=,

(1)设|c|=3,c∥,求c的坐标;

(2)求a与b的夹角;

(3)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.

B级 关键能力提升练

9.(多选题)已知点P是△ABC所在的平面外一点,若=(-2,1,4),=(1,-2,1),=(4,2,0),则 (　　)

A.AP⊥AB B.AP⊥BP

C.BC= D.AP∥BC

10.[2023山西浑源高二阶段练习]已知向量{a,b,c}是空间向量的一组单位正交基底,向量{a+b,a-b,a+c}是空间向量的另一组基底,若向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,3,4),则p在{a+b,a-b,a+c}下的坐标为(　　)

A.(-,4) B.(,4) 

C.(,-,4) D.(,-,4)

11.已知点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则上的投影的数量为　　　　. 

12.已知空间向量a=(1,-2,3),则向量a在坐标平面xOy上的投影向量是　　　　　. 

13. [2023湖北高二阶段练习]如图,已知点P在正方体ABCD-A'B'C'D'的对角线BD'上,∠PDC=60°.设=λ,则λ的值为　　　　　. 

14. 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E为PD的中点.

 (1)求cos<>;

(2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面PAC,求N点的坐标.

15.已知点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).

(1)求以AB,AC为邻边的平行四边形的面积;

(2)若|a|=,且向量a分别与向量垂直,求向量a.

C级 学科素养创新练

16. 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,△PBC为等腰直角三角形,且∠CPB=90°,四边形ABCD为直角梯形,满足AD∥BC,CD⊥AD,BC=CD=2AD=4,PD=2.

 (1)若点F为DC的中点,求cos<>;

(2)若点E为PB的中点,点M为AB上一点,当时,求的值.

1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系

1.B

2.D　因为a∥b,所以所以

所以x·y=2.

3.AC　对A,存在实数λ=-,使(1,1,0)=-(-,-,0),且==1,故A正确;

对B,不存在实数λ,使(1,1,0)=λ(0,1,0),故B错误;

对C,存在实数λ=,使(1,1,0)=,0),且==1,故C正确;

对D,|(-1,-1,0)|=,不是单位向量,故D错误.故选AC.

4.A　=(3,4,2),=(5,1,3),=(2,-3,1).

由>0,得A为锐角;由>0,得C为锐角;由>0,得B为锐角.所以△ABC为锐角三角形.

5.BD　对于A选项,因为a⊥b,

则a·b=x1x2+y1y2+z1z2=0,A选项正确;

对于B选项,若x2=0,且y2≠0,z2≠0,若a∥b,分式无意义,B选项错误;

对于C选项,由空间向量数量积的坐标运算可知cos<a,b>=,C选项正确;

对于D选项,若x1=y1=z1=1,则|a|=,此时,a不是单位向量,D选项错误.故选BD.

6.D　由a∥b,得a=λb,即(1,0,m)=λ(2,0,-2),

所以1=2λ,m=-2λ,

所以λ=,m=-2=-,

所以a=(1,0,-),所以|a|==2.

故选D.

7.(-∞,-)∪(-)　由已知得a·b=5×(-2)+3t+1×(-)=3t-,因为a与b的夹角为钝角,所以a·b<0,即3t-<0,所以t<.

若a与b的夹角为180°,则存在λ<0,使a=λb(λ<0),

即(5,3,1)=λ(-2,t,-),

所以解得

故t的取值范围是(-∞,-)∪(-).

8.解(1)=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2).

因为c∥,所以c=λ,所以c=λ(-2,-1,2)=(-2λ,-λ,2λ).

又|c|=3,所以|c|==3|λ|=3,所以λ=±1,所以c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).

(2)a==(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),

b==(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2),

所以a·b=1×(-1)+1×0+0×2=-1,

|a|=,|b|=,

所以cos<a,b>==-.

因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=π-arccos.

(3)由(ka+b)⊥(ka-2b)得(ka+b)·(ka-2b)=0,所以k2a2-2ka·b+ka·b-2b2=0,所以2k2-k·(-1)-2×5=0,所以2k2+k-10=0,

所以k=2或k=-.

9.AC　=-2-2+4=0,∴,即AP⊥AB,故A正确;

=(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),=3+6-3=6≠0,∴AP与BP不垂直,故B不正确;=(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),

∴||=,故C正确;

假设=k(k∈R),则无解,因此假设不成立,即AP与BC不平行,故D不正确.

10.C　不妨设向量a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(0,0,1),则向量a+b=(1,1,0),a-b=(1,-1,0),a+c=(1,0,1).

设p=x(a+b)+y(a-b)+z(a+c),

即(2,3,4)=x(1,1,0)+y(1,-1,0)+z(1,0,1),

∴解得

即p在{a+b,a-b,a+c}下的坐标为(,-,4).

故选C.

11.-4　∵=(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0),

=(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3),

∴cos<>==-=-上的投影的数量为||cos<>=×(-)=-4.

12.(1,-2,0)

13.-1　以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD'为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

设正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,则A(1,0,0),C(0,1,0),D'(0,0,1),B(1,1,0),则P(λ,λ,1-λ)(0<λ<1),∴=(λ,λ,1-λ),=(0,1,0),

∴cos<>==cos60°=.

由0<λ<1,解得λ=-1.

14.解(1)由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,0,0),B(,0,0),C(,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E(0,,1),从而=(,1,0),=(,0,-2).

则cos<>=.

(2)由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,0,z),则=(-x,,1-z),由NE⊥平面PAC可得,

化简得

即N点的坐标为(,0,1).

15.解(1)=(-2,-1,3),=(1,-3,2),

设θ为的夹角,

则cosθ=,

∴sinθ=.∴以AB,AC为邻边的平行四边形的面积S=||||sinθ=7.

(2)设a=(x,y,z),

由题意,得解得

∴a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).

16.解(1)因为△PBC为等腰直角三角形,∠CPB=90°,BC=CD=4,所以PC=PB=2.又PD2==24,PC2+CD2=+42=24,所以DC⊥PC.因为PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PBC,所以CD⊥平面PBC.

以点C为原点,CP,CD所在直线分别为x轴、z轴,过点C作PB的平行线,以此为y轴,建立空间直角坐标系Cxyz,如图所示.则P(2,0,0),B(2,2,0),F(0,0,2),A(,4),

则=(,-,-4),=(-2,-2,2),

所以cos<>=

==-.

(2)由(1)知E(2,0),设=t.

因为=(,-4),所以=(t,t,-4t),

所以M(t,t,4-4t),所以=(t-t,4-4t).

又因为=(-2,-2,2),,

所以=0,

所以-2×(t-)-2t+8-8t=0,解得t=,所以.