数学选择性必修 第一册2.2.1 直线的倾斜角与斜率当堂检测题

第二章2.2　直线及其方程

2.2.1　直线的倾斜角与斜率

A级 必备知识基础练

1.[探究点二]下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是(　　)

A.(4,2)与(-4,1) B.(0,3)与(3,0)

C.(3,-1)与(2,-1) D.(-2,2)与(-2,5)

2.[探究点二](多选题)下列说法中,不正确的有(　　)

A.任何一条直线都有唯一的斜率

B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大

C.任何一条直线都有唯一的倾斜角

D.任何一条直线都能找出方向向量

3.[探究点一](多选题)若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角可能为(　　)

A.30° B.60° C.120° D.150°

4.[探究点二]在平面直角坐标系中,正三角形ABC的BC边所在直线的斜率是0,则AC,AB边所在直线的斜率之和为(　　)

A.-2 B.0 C. D.2

5. [探究点二]如图所示,下列四条直线中,斜率最大的是(　　)

A.l1 B.l2

C.l3 D.l4

6.[探究点一]已知直线l的倾斜角为2α-20°,则α的范围是　　　　. 

7.[探究点一]已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45°,则点P的坐标为　　　　. 

8.[探究点一]已知A(-1,-2),B(2,1),C(x,2)三点共线,则x=　　　　　,直线AB的倾斜角为　　　　　. 

9.[探究点二]已知点A(1,2),B(-3,-4),C(2,),D(x,-2).

(1)证明:A,B,C三点共线;

(2)若∠DAB=,求x的值.

10.[探究点二·人教A版教材例题] 如图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.

B级 关键能力提升练

11.(多选题)若直线l与x轴交于点A,其倾斜角为α,直线l绕点A顺时针旋转后得到直线l1,则直线l1的倾斜角可能为(　　)

A.α+ B.α+ C.α- D.-α

12.直线l1经过两点A(0,0),B(,1),直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍,则直线l2的斜率为(　　)

A. B. C.1 D.

13.直线xsin α-y+1=0的倾斜角的取值范围为(　　)

A.[0,] B.[]

C.[0,]∪[,π) D.[0,]∪[,π)

14.若直线l的一个法向量为n=(2,1),则直线l的斜率k=　　　　. 

15.已知坐标平面内三点A(-1,1),B(1,1),C(2,+1).

(1)求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角;

(2)若D为△ABC的边AB上一动点,求直线CD的斜率的取值范围.

C级 学科素养创新练

16.一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后,经过点B(5,7),则点P的坐标为　　　　　. 

17.将一块直角三角形木板ABO置于平面直角坐标系中,已知AB=OB=1,AB⊥OB,点P()是三角形木板内一点.现因三角形木板中阴影部分受到损坏,要把损坏部分钻掉,可用经过点P的任一直线MN将三角形木板钻成△AMN.设直线MN的斜率为k.

(1)求点M,N的坐标(用k表示)及直线MN的斜率k的取值范围;

(2)令△AMN的面积为S,试求出S的取值范围.

2.2.1　直线的倾斜角与斜率

1.D　D项,因为x1=x2=-2,所以直线垂直于x轴,倾斜角为90°,斜率不存在.

2.AB　A错,因为倾斜角为90°的直线没有斜率;B错,因为当0°<α<90°时,k>0,当90°<α<180°时,k<0;C对,D对.

3.BC　y轴正方向对应的直线的倾斜角为90°,因此所求直线的倾斜角为60°或120°.故选BC.

4.B　由BC边所在直线的斜率是0知,直线BC与x轴平行或重合,所以直线AC,AB的倾斜角互为补角,根据直线斜率的定义知,直线AC,AB的斜率之和为0.故选B.

5.D　由图可知,l3斜率为负,l2斜率为0,l1,l4的斜率为正.

又l4的倾斜程度大于l1,所以l4的斜率最大.故选D.

6.10°≤α<100°　由0°≤2α-20°<180°,得10°≤α<100°.

7.(3,0)或(0,-3)　若设点P的坐标为P(x,0),

则k==tan45°=1,∴x=3,即P(3,0).

若设点P的坐标为P(0,y),则k==tan45°=1,

∴y=-3,即P(0,-3).

8.3　　直线AB斜率为kAB==1,直线BC斜率为kBC=,因为A(-1,-2),B(2,1),C(x,2)三点共线,所以kAB=kBC,则x=3,由tanθ=1得θ=,所以直线AB的倾斜角为.

9.(1)证明A(1,2),B(-3,-4),C(2,),

∴kAB=,kAC=,

∴kAB=kAC,∴A,B,C三点共线.

(2)解由=(-4,-6),=(x-1,-4),

若∠DAB=,则=0,

即-4(x-1)+24=0,解得x=7,∴x的值为7.

10.解直线AB的斜率kAB=,直线BC的斜率kBC==-,直线CA的斜率kCA==1.

由kAB>0及kCA>0可知,直线AB与CA的倾斜角均为锐角;由kBC<0可知,直线BC的倾斜角为钝角.

11.BC　因为直线的倾斜角的取值范围为[0,π),

所以当≤α<π时,直线l1的倾斜角为α-.

当0≤α<时,直线l1的倾斜角为π-(-α)=+α.

故选BC.

12.D　因为直线l1的斜率为,

所以直线l1的倾斜角为.

又因为直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍,

所以直线l2的倾斜角为,

所以直线l2的斜率为tan.故选D.

13.D　设直线xsinα-y+1=0的倾斜角为θ,可得tanθ=sinα∈[-1,1],

所以θ的取值范围为[0,]∪[,π).故选D.

14.-2　根据题意,设直线l的斜率为k,则其方向向量为a=(1,k),若直线l的一个法向量为n=(2,1),则有a·n=2+k=0,解得k=-2.

15.解(1)由斜率公式,得kAB==0,kBC=,kAC=,

所以直线AB的倾斜角为0°,直线BC的倾斜角为60°,直线AC的倾斜角为30°.

(2)如图,当直线CD由CA绕点C逆时针转到CB时,直线CD与线段AB恒有交点,即D在线段AB上,此时k由kAC增大到kBC,所以k的取值范围为[].

16.　(方法一)设P(x,0),由光的反射原理知,入射角等于反射角,即α=β,如图①.

所以反射光线PB的倾斜角β与入射光线AP的倾斜角(π-α)互补,因此,kAP=-kBP,即=-,解得x=,即P.

图①

图②

(方法二)由题意知,x轴是镜面,易知入射点A(-2,3)关于x轴的对称点为A'(-2,-3).

由光学知识知点A'应在反射光线所在的直线上,即A',P,B三点共线,如图②.

从而有kA'P=kPB,即,解得x=,即P.

17.解(1)设直线MN:y=kx+b.

∵直线MN过点P(),

∴=k·+b,b=,

∴直线MN:y=kx+,直线OA:y=x,直线AB:x=1,∴M(),N(1,).

易知kOP=,kBP=-,∴-≤k≤.

(2)设△AMN中,AN边上的高为d.

∵|AN|=1-,d=1-,

∴S=|AN|·d=+(1-k)+1]≥,当且仅当1-k=,即k=时等号成立.

∵-≤k≤,∴≤1-k≤,∴≤S≤,

∴S的取值范围为[].