高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.3 两条直线的位置关系综合训练题

第二章2.2.3　两条直线的位置关系

A级 必备知识基础练

1.[探究点三](多选题)已知直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则l2的斜率可以为(　　)

A. B.- C.a D.不存在

2.[探究点一]下列四组直线中,互相垂直的一组是(　　)

A.2x+y-1=0与2x-y-1=0

B.2x+y-1=0与x-2y+1=0

C.x+2y-1=0与x-y-1=0

D.x+y=0与x+y-3=0

3.[探究点三]已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是(　　)

A.4x+2y=5 B.4x-2y=5

C.x+2y=5 D.x-2y=5

4.[探究点一](多选题)下列说法中,正确的是(　　)

A.直线2x+y+3=0在y轴上的截距是3

B.直线x+y+1=0的倾斜角为135°

C.A(1,4),B(2,7),C(-3,-8)三点共线

D.直线3x+4y+1=0与4x+3y+2=0垂直

5.[探究点一](多选题)设平面内四点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),下面四个结论正确的是(　　)

A.PQ∥SR B.PQ⊥PS C.PS∥QS D.PR⊥QS

6.[探究点二]经过两条直线2x+3y+1=0和2x-3y+3=0的交点,并且平行于直线y=x的直线的一般式方程为　　　　　　　　. 

7.[探究点二、三]设直线l1:(a+1)x+3y+2-a=0,直线l2:2x+(a+2)y+1=0,若l1⊥l2,则实数a的值为　　　　　;若l1∥l2,则实数a的值为　　　　　. 

8.[探究点三]已知△ABC的三个顶点A(1,1),B(4,0),C(3,2),求BC边上的高所在的直线方程及高的长度.

9.[探究点一·北师大版教材例题]已知A(1,4),B(-2,-1),C(4,1)是△ABC的三个顶点,求证:△ABC的三条中线交于一点.

B级 关键能力提升练

10.已知直线l1:xsin α+y-1=0,直线l2:x-3ycos α+1=0.若l1⊥l2,则sin 2α=(　　)

A. B.- C. D.-

11.“m=2”是“直线2x+(m+1)y+4=0与直线3x-my-2=0垂直”的(　　)

A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

12.已知直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+a2-1=0互相平行,则实数a的值为(　　)

A.-2 B.2或-1 C.2 D.-1

13.直线2ax+y-2=0与直线x-(a2-3)y+2=0互相垂直,且两直线交点位于第三象限,则实数a的值为(　　)

A.1 B.3 C.-1 D.-3

14.若点P(a,b)与点Q(b-1,a+1)关于直线l对称,则直线l的倾斜角α为　　　　　. 

15.若三条直线2x-y+4=0,x-y+5=0和2mx-3y+12=0围成直角三角形,则m=　　　　　　. 

16.已知集合A={(x,y)|2x-(a+1)y-1=0},B={(x,y)|ax-y+1=0},且A∩B=⌀,则实数a的值为　　　　　. 

17.求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0垂直的直线方程.

18.已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0).

(1)求点Q的坐标,满足PQ⊥MN,PN∥MQ;

(2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.

19. 如图所示,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园长|AD|=5 m,宽|AB|=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,如何在BC上找到一点M,使得AC与DM两条小路互相垂直?

C级 学科素养创新练

20.直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),则m=　　　　　. 

21.已知点A(4,-1)和点B(8,2)均在直线l:x-y-1=0的同侧,动点P(x,y)在直线l上,求|PA|+|PB|的最小值.

2.2.3　两条直线的位置关系

1.BD　当a≠0时,由k1k2=-1知,k2=-,

当a=0时,l2的斜率不存在.

2.B　对于A,2x+y-1=0与2x-y-1=0,有2×2+1×(-1)≠0,两直线不垂直,不符合题意;

对于B,2x+y-1=0与x-2y+1=0,有2×1+1×(-2)=0,两直线垂直,符合题意;

对于C,x+2y-1=0与x-y-1=0,有1×1+2×(-1)≠0,两直线不垂直,不符合题意;

对于D,x+y=0与x+y-3=0,两直线平行,不符合题意.故选B.

3.B　可以先求出AB的中点坐标为,又直线AB的斜率k==-,则线段AB的垂直平分线的斜率为2.由点斜式方程,可得所求垂直平分线的方程为y-=2(x-2),即4x-2y=5.

4.BC　直线2x+y+3=0在y轴上的截距是-3,故A错误;

直线x+y+1=0的斜率为-1,倾斜角为135°,故B正确;

由A(1,4),B(2,7),C(-3,-8)得kAB==3,kAC==3=kAB,所以A,B,C三点共线,故C正确;

直线3x+4y+1=0与4x+3y+2=0的斜率分别为-,-,乘积为1,不垂直,故D错误.故选BC.

5.ABD　由斜率公式知,kPQ==-,kSR==-,kPS=,kQS==-4,kPR=,∴PQ∥SR,PQ⊥PS,PR⊥QS.而kPS≠kQS,

∴PS与QS不平行.故ABD正确.

6.3x-3y+4=0　由解得故交点坐标为(-1,),由平行于直线y=x可得斜率为1,故方程为y-=x+1,化为一般方程为3x-3y+4=0.

7.-　-4　若l1⊥l2,则2(a+1)+3(a+2)=0,整理可得5a+8=0,求解关于实数a的方程可得a=-.

若l1∥l2,则,据此可得a=-4.

8.解设BC边上的高为AD,因为kBC==-2,AD⊥BC,所以直线AD的斜率kAD=.

所以BC边上的高AD所在的直线方程为y-1=(x-1),即x-2y+1=0.又直线BC的方程为,即2x+y-8=0.

联立直线AD与BC的方程得

解得即点D的坐标为(3,2).

因此,高AD的长|AD|=,

所以BC边上的高的长度为.

9. 证明根据已知条件将A,B,C三点画在平面直角坐标系中,如图.

设点E,F,G分别为AB,BC,AC的中点,则易求得三边的中点坐标分别为E(-),F(1,0),G().

所以中线AF所在直线的方程为x=1,中线BG所在直线的方程为,即y+1=(x+2),中线CE所在直线的方程为,即y-1=-(x-4).

由解得即交点P的坐标为(1,).

因为-1=-×(1-4),所以点P(1,)满足中线CE所在直线的方程,即点P(1,)在中线CE所在直线上.

所以△ABC的三条中线交于一点.

10.A　∵l1⊥l2,∴sinα-3cosα=0,即tanα=3.

∴sin2α=2sinαcosα=.

11.B　直线2x+(m+1)y+4=0与直线3x-my-2=0垂直,则2×3+(m+1)×(-m)=0,解得m=2或m=-3,所以“m=2”是“直线2x+(m+1)y+4=0与直线3x-my-2=0垂直”的充分不必要条件.故选B.

12.D　直线ax+2y+6=0斜率必存在,故两直线平行,则-=-,即a2-a-2=0,解得a=2或-1,

当a=2时,两直线重合,故a=-1.故选D.

13.C　由直线2ax+y-2=0与直线x-(a2-3)y+2=0互相垂直,可得2a-(a2-3)=0,解得a=-1或3.

当a=3时,联立解得交点坐标为(),不符合题意;

当a=-1时,联立解得交点坐标为(-,-),符合题意,故实数a的值为-1.故选C.

14.45°　由kPQ==-1,

由题意知PQ⊥l,则kPQ·kl=-1,得kl=1,

∴直线l的倾斜角为45°.

15.-或-　设l1:2x-y+4=0,l2:x-y+5=0,l3:2mx-3y+12=0,l1不垂直于l2,要使围成的三角形为直角三角形,则l3⊥l1或l3⊥l2.

由l3⊥l1,得2×m=-1,∴m=-;

由l3⊥l2,得1×m=-1,∴m=-.

故m=-或-.

16.1　∵集合A={(x,y)|2x-(a+1)y-1=0},B={(x,y)|ax-y+1=0},且A∩B=⌀,

∴直线2x-(a+1)y-1=0与直线ax-y+1=0平行,即-2=-a(a+1),且2≠-a,解得a=1.

17.解由方程组

因为所求直线和直线3x+y-1=0垂直,所以所求直线的斜率k=,所以有y-,

即所求的直线方程为5x-15y-18=0.

18.解(1)设Q(x,y).

由已知得kMN=3,又PQ⊥MN,可得kMN×kPQ=-1,即×3=-1(x≠3).①

由已知得kPN=-2,又PN∥MQ,可得kPN=kMQ,即=-2(x≠1).②

联立①②解得x=0,y=1,∴Q(0,1).

(2)设Q(x,0).∵∠NQP=∠NPQ,∴kNQ=-kNP.

又kNQ=,kNP=-2,

∴=2,解得x=1,∴Q(1,0).

又M(1,-1),∴MQ⊥x轴,故直线MQ的倾斜角为90°.

19. 解如图所示,以点B为原点,分别以BC,BA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,单位:m.

由|AD|=5m,|AB|=3m得C(5,0),D(5,3),A(0,3).

设点M的坐标为(x,0),∵AC⊥DM,

∴kAC·kDM=-1,即=-1,解得x=.

故当|BM|=3.2m时,两条小路AC与DM互相垂直.

20. 4+　如图,直线l1的倾斜角为30°+30°=60°,

∴直线l1的斜率k1=tan60°=.

由l1∥l2知,直线l2的斜率k2=k1=,

∴直线AB的斜率存在,且kAB=-=-,

∴=-,解得m=4+.

21.解如图所示,设点A1与A关于直线l对称,P0为A1B与直线l的交点,所以|P0A1|=|P0A|,|PA1|=|PA|.

所以|PA1|+|PB|≥|A1B|=|A1P0|+|P0B|=|P0A|+|P0B|,因此当P点运动到P0点处时,|PA|+|PB|取到最小值|A1B|.

设A关于直线l的对称点A1(x1,y1),

则解得所以A1(0,3).

所以(|PA|+|PB|)min=|A1B|=.