高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.4 点到直线的距离课时训练

第二章2.2.4　点到直线的距离

A级 必备知识基础练

1.[探究点一]在平面直角坐标系中,原点(0,0)到直线x+y-2=0的距离等于(　　)

A.1 B. C. D.3

2.[探究点一]已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则a=(　　)

A.-或- B.-

C.- D.-或-

3.[探究点二]已知两平行直线x+2y+m=0与2x-ny-4=0之间的距离是,若m>0,则m+n=(　　)

A.0 B.-1 C.1 D.-2

4.[探究点一](多选题)已知直线l过点(3,4),点A(-2,2),B(4,-2)到l的距离相等,则直线l的方程可能是(　　)

A.x-2y+2=0 B.2x-y-2=0

C.2x+3y-18=0 D.2x-3y+6=0

5.[探究点一](多选题)与直线3x-4y+1=0垂直,且与点(-1,-1)距离为2的直线方程为(　　)

A.4x+3y-3=0 B.4x+3y+17=0

C.4x-3y-3=0 D.4x-3y+17=0

6.[探究点二]直线4x-3y+5=0与直线8x-6y+5=0之间的距离为　　　　　. 

7.[探究点一]已知直线l:3x+4y-1=0,则过坐标原点且与l垂直的直线方程是　　　　　　　　,点(2,0)到l的距离是　　　　　　　　. 

8.[探究点一]平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(-3,4),C(0,6).

(1)求BC边上的高所在的直线方程;

(2)求△ABC的面积.

9.[探究点一]已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点P(4,3)到直线l的距离为3,求直线l的方程.

B级 关键能力提升练

10.已知直线l:kx-y-3k+1=0,当k变化时,O(0,0)到直线l的最大距离为(　　)

A.2 B. C. D.2

11.(多选题)若点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离是,则点P的坐标为(　　)

A.(1,2) B.(2,1) C.(2,-1) D.(-1,2)

12.(多选题)已知点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ的距离为d,则d的可能取值是(　　)

A.0 B.1 C. D.4

13.若直线m经过直线x-y-1=0与直线2x+y-2=0的交点,且点(2,2)到直线m的距离为1,则直线m的方程为　　　　　　　　　　. 

14.已知直线方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,其中m∈R.

(1)当m变化时,求点Q(3,4)到直线的距离的最大值;

(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A,B两点,求△AOB面积的最小值及此时的直线方程.

2.2.4　点到直线的距离

1.B　原点(0,0)到直线x+y-2=0的距离为.故选B.

2.D　∵A和B到直线l的距离相等,

∴,化简得|3a+3|=|6a+4|,3a+3=±(6a+4),解得a=-或-.故选D.

3.B　∵两条直线平行,∴=-,解得n=-4,

∴直线2x-ny-4=0⇒2x+4y-4=0⇒x+2y-2=0.

又直线x+2y+m=0与直线x+2y-2=0之间的距离是,则,解得m=3或m=-7(舍去),

∴m+n=3-4=-1.

4.BC　当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,此时点A到直线l的距离为5,点B到直线l的距离为1,此时不成立;

当直线l的斜率k存在时,设直线l的方程为y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0.

∵点A(-2,2),B(4,-2)到直线的距离相等,

∴解得k=-或k=2.

当k=-时,直线l的方程为y-4=-(x-3),整理得2x+3y-18=0;

当k=2时,直线l的方程为y-4=2(x-3),整理得2x-y-2=0.

综上,直线l的方程为2x+3y-18=0或2x-y-2=0.故选BC.

5.AB　设所求直线方程为4x+3y+C=0,

则=2,

即|C-7|=10,解得C=-3或C=17,

故所求直线方程为4x+3y-3=0或4x+3y+17=0.

6.　直线8x-6y+5=0化简为4x-3y+=0,则由两条平行直线之间的距离公式得.

7.4x-3y=0　1　直线l:3x+4y-1=0的斜率为-,故与直线l垂直的直线的方程的斜率k=,故经过原点的直线的方程为y=x,整理得4x-3y=0.

点(2,0)到直线3x+4y-1=0的距离d==1.

8.解(1)直线BC的斜率kBC=,

则BC边上高所在直线斜率k=-,

则BC边上的高所在的直线方程为y-2=-(x+1),即3x+2y-1=0.

(2)BC的方程为y=x+6,即2x-3y+18=0.

点A到直线BC的距离d=,|BC|=,

则△ABC的面积S=|BC|d==5.

9.解由题意知,若直线l过原点,可设直线l的方程为y=kx,由题意知=3,解得k=,直线l的方程为y=x或y=x;

若直线l不过原点,设所求直线l的方程为x+y-a=0(a≠0),由题意知=3,解得a=1或a=13,直线l的方程为x+y-1=0或x+y-13=0.

综上所述,所求直线l的方程为y=x,

y=x,x+y-1=0或x+y-13=0.

10.C　直线l:kx-y-3k+1=0,即k(x-3)-y+1=0,

令解得即直线l恒过定点(3,1),

故当k变化时,O(0,0)到直线l的最大距离为.故选C.

11.AC　设P点坐标为(a,5-3a),

由题意知,解得a=1或a=2,

∴P点坐标为(1,2)或(2,-1).故选AC.

12.AB　直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ,整理得(x+y-2)+λ(3x+2y-5)=0,所以解得即Q(1,1),故直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ表示过点Q(1,1)除直线3x+2y-5=0的所有直线.

因为P(-2,-1),所以|PQ|=,且kPQ=,则直线PQ与直线3x+2y-5=0垂直,所以点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ的距离的取值范围为{d|0≤d<},故d的可能取值为0,1.

故选AB.

13.3x-4y-3=0或x=1　由得两直线的交点坐标为(1,0).

当直线m的斜率存在时,设直线m的方程为y=k(x-1),则=1,解得k=,

此时直线m的方程为3x-4y-3=0;

当直线m的斜率不存在时,x=1,点(2,2)到直线m的距离等于1,满足条件.

综上,直线m的方程为3x-4y-3=0或x=1.

14.解(1)直线方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0即为m(2y-x+3)+(2x+y+4)=0,

由可得

则已知直线恒过定点P(-1,-2),kPQ=,所以直线PQ不与直线2y-x+3=0垂直,可得Q(3,4)到直线的最大距离为|QP|==2.

(2)设直线的斜率为k(k<0),则其方程为y+2=k(x+1),可得|OA|=,|OB|=|k-2|,则S△AOB=|OA||OB|==.

由k<0,可得-k>0,所以S△AOB=[-]=[4+(-)+(-k)]≥4,当且仅当-=-k,即k=-2时取等号,则△AOB的面积最小值是4,直线的方程为y+2=-2(x+1),即2x+y+4=0.