高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.2 圆的一般方程随堂练习题

第二章2.3.2　圆的一般方程

A级 必备知识基础练

1.[探究点一]方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,则该圆的圆心在(　　)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.[探究点一]圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为(　　)

A.2 B. C.1 D.

3.[探究点一]方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0表示(　　)

A.以(a,b)为圆心的圆

B.以(-a,-b)为圆心的圆

C.点(a,b)

D.点(-a,-b)

4.[探究点二](多选题)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0),B(-2,3),C(-1,-2),则下列说法正确的有(　　)

A.AC边上的高所在直线的方程为x+y-1=0

B.△ABC的外接圆的方程为x2+y2+3x-y-4=0

C.△ABC的面积为12

D.直线BC在y轴上的截距为7

5.[探究点一](多选题)圆x2+y2-4x-1=0(　　)

A.关于点(2,0)对称

B.关于直线y=0对称

C.关于直线x+3y-2=0对称

D.关于直线x-y+2=0对称

6.[探究点一]已知圆C:x2+y2-4y=0,则圆C的坐标为　　　　　,圆C的半径为　　　　　. 

7.[探究点二]已知直线与圆P:x2+y2+2x-4y+a=0(a<5)相交于A,B两点,且弦AB的中点Q的坐标为(0,1),则直线AB的方程为　　　　　　　　　　. 

8.[探究点二]求圆C:x2+y2-8x+2y-8=0关于点(2,-1)对称的圆的方程为　　　　　　　　　　. 

9.[探究点二]求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点A(5,2)和点B(3,-2)的圆的一般方程.

10.[探究点二·人教A版教材习题] 如图,在四边形ABCD中,AB=6,CD=3,且AB∥CD,AD=BC,AB与CD间的距离为3.求等腰梯形ABCD的外接圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径.

B级 关键能力提升练

11.已知方程x2+y2+kx-2y-k2=0表示的圆中,当圆面积最小时,此时k=(　　)

A.-1 B.0 C.1 D.2

12.(多选题)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法中正确的是(　　)

A.圆M的圆心为(4,-3)

B.圆M被x轴截得的弦长为8

C.圆M的半径为25

D.圆M被y轴截得的弦长为6

13.(多选题)若a∈{-2,0,1,},方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的值可以为(　　)

A.-2 B.0 C.1 D.

14.已知点P(7,3),圆M:x2+y2-2x-10y+25=0,点Q为圆M上一点,点S在x轴上,则|SP|+|SQ|的最小值为(　　)

A.7 B.8 C.9 D.10

15.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x+2y=4与x轴交于A点,直线m:kx+y-1=0与y轴及直线l分别交于B点,C点,且A,B,C,O四点共圆,则此圆的标准方程是　　　　　　　　. 

16.已知直线3x+4y-10=0与圆x2+y2-5y+F=0相交于A,B两点,且OA⊥OB(O是原点),则F=　　　　　. 

17.已知方程x2+y2+2mx+4y+2m2-3m=0表示一个圆.

(1)求实数m的取值范围;

(2)求圆的周长的最大值.

18.已知圆C的方程可以表示为x2+y2-2x-4y+m=0,其中m∈R.

(1)若m=1,求圆C被直线x+y-1=0截得的弦长;

(2)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值.

C级 学科素养创新练

19.已知圆C:x2+y2+2x+Ey+F=0,有以下命题:

①E=-4,F=4是曲线C表示圆的充分不必要条件;

②若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2∈[-2,1),则0≤F≤1;

③若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2∈[-2,1),O为坐标原点,则||的最大值为2;

④若E=2F,则曲线C表示圆,且该圆面积的最大值为.

其中所有真命题的序号是　　　　　. 

20.设△ABC顶点坐标A(0,a),B(-,0),C(,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.

(1)求圆M的方程;

(2)当a变化时,圆M是否过某一定点,请说明理由.

2.3.2　圆的一般方程

1.D　因为方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是圆,又方程可化为+(y-a)2=-a2-3a,故圆心坐标为,r2=-a2-3a.

又r2>0,即-a2-3a>0,解得-4<a<0,

故该圆的圆心在第四象限.

2.D　因为圆心坐标为(1,-2),所以圆心到直线x-y=1的距离为d=.

3.D　原方程可化为(x+a)2+(y+b)2=0,

∴∴方程表示点(-a,-b).

4.AB　对于A,因为AC边的斜率为kAC==1,所以AC边上的高的斜率为-1,又经过B(-2,3),由直线的点斜式方程可得y-3=-(x+2),即x+y-1=0,故A正确;

对于B,设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),

所以解得所以△ABC的外接圆的方程为x2+y2+3x-y-4=0,故B正确;

对于C,直线AB的方程为,即为x+y-1=0,C(-1,-2)到直线x+y-1=0的距离为d==2,|AB|==3,所以△ABC的面积为|AB|d=×2×3=6,故C错误;

对于D,直线BC的方程为,即y=-5x-7,令x=0,所以在y轴上的截距为-7,故D错误.故选AB.

5.ABC　x2+y2-4x-1=0⇒(x-2)2+y2=5,

即圆心的坐标为(2,0).

对于A项,圆是关于圆心对称的中心对称图形,而点(2,0)是圆心,故A正确;

对于B项,圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,故B正确;

对于C项,圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线x+3y-2=0过圆心,故C正确;

对于D项,圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线x-y+2=0不过圆心,故D不正确.

6.(0,2)　2　因为圆C:x2+y2-4y=0,即圆C:x2+(y-2)2=4,所以圆C的圆心为(0,2),半径为2.

7.x-y+1=0　易知圆心P的坐标为(-1,2).

∵弦AB的中点Q的坐标为(0,1),

∴直线PQ的斜率kPQ==-1,

∴直线AB的斜率k=1,故直线AB的方程为y-1=1×(x-0),即x-y+1=0.

8.x2+(y+1)2=25　圆C:x2+y2-8x+2y-8=0化为标准方程为(x-4)2+(y+1)2=25,所以C(4,-1),半径r=5,故圆C关于点(2,-1)对称的圆的半径为5,圆心设为D.

由中点坐标公式求得D(0,-1),所以对称圆的方程为x2+(y+1)2=25.

9.解∵圆心在直线2x-y-3=0上,

∴可设圆心坐标为(a,2a-3),半径为r(r>0),

则圆的方程为(x-a)2+(y-2a+3)2=r2.

把点A(5,2)和点B(3,-2)的坐标代入方程,

得(5-a)2+(2-2a+3)2=r2, ①

(3-a)2+(-2-2a+3)2=r2, ②

由①②可得a=2,r2=10.

故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10,

即x2+y2-4x-2y=5.

10.解(方法一)由题意可知A(-3,0),B(3,0),C,3.

设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

则解得

故所求圆的方程为x2+y2-y-9=0,其圆心坐标为(0,),半径长为,所以四边形ABCD的外接圆的方程是x2+(y-)2=.

这个圆的圆心坐标是(0,),半径长是.

(方法二)由题意,可得点B的坐标是(3,0),点C的坐标是(,3).

线段BC的中点坐标是(),直线BC的斜率kBC=-2.

线段BC的垂直平分线的方程是y-(x-),与方程x=0联立,解得y=.

所以四边形ABCD外接圆的圆心E的坐标是(0,).

半径长|EB|=.

11.B　由x2+y2+kx-2y-k2=0,得(x+)2+(y-1)2=+1,易知当k=0,圆的半径最小,即圆的面积最小.故选B.

12.ABD　圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,即(x-4)2+(y+3)2=25.圆的圆心坐标为(4,-3),半径为5.显然选项C不正确,A,B,D均正确.

13.ABD　根据题意,若方程表示圆,

则有(2a)2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解得a<1.

又a∈{-2,0,1,},所以a的值可以为-2,0,.

14. C　由题意知圆M的方程可化为(x-1)2+(y-5)2=1,所以圆心为M(1,5),半径为1.

如图所示,作点P(7,3)关于x轴的对称点P'(7,-3),连接MP',交圆M于点Q,交x轴于点S,此时|SP|+|SQ|的值最小且(|SP|+|SQ|)min=|P'M|-1=-1=9.

15.(x-2)2+(y-)2=　由题意A,B,C,O四点共圆且OA⊥OB,所以AB为圆的直径,易得B(0,1),A(4,0),所以此圆的圆心为(2,),半径为r=|AB|=,

所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-)2=.

16.0　易得圆x2+y2-5y+F=0的圆心坐标为,它在直线3x+4y-10=0上,再由OA⊥OB,可知圆x2+y2-5y+F=0过原点O,将O(0,0)代入圆的方程可求得F=0.

17.解(1)原方程可化为(x+m)2+(y+2)2=-m2+3m+4,若方程表示一个圆,则-m2+3m+4>0,解得-1<m<4,即实数m的取值范围是(-1,4).

(2)圆的半径r=,当且仅当m=时,半径r取得最大值,所以圆的周长的最大值为5π.

18.解(1)m=1,配方得(x-1)2+(y-2)2=4,圆心到直线的距离为,所以圆C被直线x+y-1=0截得的弦长为2=2.

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),

直线l的方程代入圆的方程得5x2-8x+4(m-4)=0,

所以x1+x2=,x1x2=.

因为OM⊥ON,所以x1x2+y1y2=x1x2-(x1+x2)+4=0,所以+4=0,所以m=,此时Δ>0.

19.①③　①圆C:x2+y2+2x+Ey+F=0中,应有4+E2-4F>0,当E=-4,F=4时,满足4+E2-4F>0,曲线C表示圆,但曲线C表示圆时,E不一定等于-4,F不一定等于4,故①正确;

②若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2∈[-2,1),则x1,x2是x2+2x+F=0的两根,所以解得0≤F<1,故②不正确;

③由②知,||=||=|x1-x2|=,故当F=0,即x1=2,x2=0,或x1=0,x2=2时,||取最大值2,故③正确;

④由于E=2F,则圆的半径的平方为(4+E2-4F)=(4+4F2-4F)=,

则圆面积有最小值,无最大值,故④不对.

20.解(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

因为圆M过点A(0,a),B(-,0),C(,0),

所以解得

所以圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.

(2)圆M过定点(0,-3).理由如下,圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由解得x=0,y=-3.所以圆M过定点(0,-3).