人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程当堂检测题

第二章2.5　椭圆及其方程

2.5.1　椭圆的标准方程

A级 必备知识基础练

1.[探究点二(角度1)]若椭圆C:=1的一个焦点坐标为(-1,0),则实数m的值为(　　)

A.9 B.6 C.4 D.1

2.[探究点一](多选题)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),下列说法中正确的是(　　)

A.当a=2时,点P的轨迹不存在

B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3

C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6

D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆

3.[探究点二(角度1)]已知命题p:方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,则使命题p成立的充分不必要条件是(　　)

A.3<m<5 B.4<m<5

C.1<m<5 D.m>1

4.[探究点三]椭圆=1(m>0)的焦点为F1,F2,与y轴的一个交点为A,若∠F1AF2=,则m=(　　)

A.1 B. C. D.2

5.[探究点二(角度1)]已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=2,若2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,则椭圆C的标准方程为(　　)

A.=1

B.=1或=1

C.=1

D.=1或=1

6.[探究点二(角度2)]已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为(　　)

A.=1 B.+y2=1

C.=1 D.+x2=1

7.[探究点三]已知F1,F2为椭圆C:+y2=1的左、右焦点,点P在椭圆C上,∠F1PF2=60°,则|PF1||PF2|=.

8.[探究点一]若△ABC的三边长a,b,c满足2b=a+c,A(-1,0),C(1,0),则顶点B的轨迹方程是　　　　　　　　　　. 

9.[探究点二(角度1)]求满足下列条件的椭圆的标准方程.

(1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2);

(2)c∶a=5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.

B级 关键能力提升练

10.如图,已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,B在x轴上,△ABF2是直角三角形,且|BF1|=|F1F2|,O为坐标原点,若点O到直线AB的距离为,则椭圆C的方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.+y2=1 D.=1

11.椭圆=1的焦点为F1,F2,椭圆上的点P满足∠F1PF2=60°,则点P到x轴的距离为(　　)

A. B. C. D.

12.(多选题)已知P是椭圆E:=1上一点,F1,F2为其左、右焦点,且△F1PF2的面积为3,则下列说法正确的是(　　)

A.P点纵坐标为3

B.∠F1PF2>

C.△F1PF2的周长为4(+1)

D.△F1PF2的内切圆半径为-1)

13.已知P是椭圆=1上的点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若,则△F1PF2的面积为　　　　　. 

14.已知定点A(0,-2),点B在圆C:x2+y2-4y-32=0上运动,C为圆心,线段AB的垂直平分线交BC于点P,则动点P的轨迹E的方程为　　　　. 

15.已知椭圆C:=1内有一点M(2,3),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,P为椭圆C上的一点,求:

(1)|PM|-|PF1|的最大值与最小值;

(2)|PM|+|PF1|的最大值与最小值.

16.已知x轴上一定点A(1,0),Q为椭圆+y2=1上任意一点,求AQ的中点M的轨迹方程.

C级 学科素养创新练

17.(多选题)已知椭圆C:=1,F1,F2分别为它的左、右焦点,A,B分别为它的左、右顶点,点P是椭圆上的一个动点,下列结论中正确的有(　　)

A.存在点P使得∠F1PF2=

B.cos∠F1PF2的最小值为-

C.若PF1⊥PF2,则△F1PF2的面积为9

D.直线PA与直线PB斜率的乘积为定值

2.5.1　椭圆的标准方程

1.C　因为椭圆的焦点(-1,0)在x轴上,

所以a2=5,b2=m,所以c2=a2-b2=5-m,

即5-m=1,解得m=4.

2.AC　当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,A正确;

当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,B错误,C正确;

当a=3时,2a=6=|AB|,故点P的轨迹为线段AB,D错误.

3.B　若方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,

则m-1>5-m>0,解得3<m<5,所以p成立的充要条件是3<m<5.

结合四个选项可知,p成立的充分不必要条件是4<m<5.

故选B.

4.C　在椭圆=1(m>0)中,a=,b=m,c=1.易知|AF1|=|AF2|=a.

又∠F1AF2=,所以△F1AF2为等边三角形,即|AF1|=|F1F2|,所以=2,即m=.故选C.

5.B　由已知2c=|F1F2|=2,所以c=.

因为2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,

所以a=2,所以b2=a2-c2=9.

故椭圆C的标准方程是=1或=1.

6.A　由题可知c=1.

由点P(2,0)在椭圆上,可得a=2,

∴椭圆的方程为=1.

7.　由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=4,利用余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2,

所以(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=|F1F2|2=12,解得3|PF1||PF2|=4,即|PF1||PF2|=.

8.=1(y≠0)　设点B的坐标为(x,y).

∵2b=a+c,即|BC|+|BA|=2|AC|,又A(-1,0),C(1,0),∴|BC|+|BA|=4>2,

根据椭圆的定义可知,点B的轨迹是以A(-1,0),C(1,0)为焦点,以4为长轴长的椭圆,

故顶点B的轨迹方程为=1.

又B为三角形的顶点,故所求的轨迹方程为=1(y≠0).

9.解(1)由焦距是4可得c=2,

且焦点坐标为(0,-2),(0,2).由椭圆的定义知,2a==8,

所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12.

又焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为=1.

(2)由题意知,2a=26,即a=13,又c∶a=5∶13,所以c=5,所以b2=a2-c2=132-52=144,因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为=1或=1.

10.B　因为△ABF2是直角三角形,且|BF1|=|F1F2|,

所以△AF1F2是等边三角形,设|F1F2|=2c,则a=2c, ①

所以直线AB的方程为=1,

即bx-3cy+3bc=0,

所以点O到直线AB的距离为, ②

又因为a2=b2+c2, ③

所以联立①②③,解得a2=4,b2=3,

所以椭圆C的方程为=1.

11.C　易得c==6.设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1+r2=20.

在△PF1F2中,由余弦定理得(2c)2=-2r1r2cos60°,

即144=-r1r2=(r1+r2)2-3r1r2=400-3r1r2,

则r1r2=,

所以r1r2sin60°=.

设点P到x轴的距离为d,则×|F1F2|×d=6d,故6d=,解得d=.故选C.

12.CD　由已知a=2,b=2,c=2,不妨设P(m,n),m>0,n>0,则×2c×n=3,∴n=,故A错误;

∵n=,

∴=1,得m=,∴P(),

∴|PF1|2=(+2)2++2,|PF2|2=(-2)2+-2,

∴|PF1|2+|PF2|2-(2c)2=×2-16=>0,

∴cos∠F1PF2=>0,

∴∠F1PF2<,故B错误;

由椭圆的定义,△F1PF2的周长=2a+2c=4+4,故C正确;

设△F1PF2的内切圆半径为r,r·(4+4)=3,

∴r=-1),故D正确.故选CD.

13.3　因为=cos∠F1PF2=,0≤∠F1PF2≤π,所以∠F1PF2=.

又c==4,记|PF1|=m,|PF2|=n,

则

②2-①整理得mn=12,所以mnsin×12×=3.

14.=1　由题意,得|PA|=|PB|,

∴|PA|+|PC|=|PB|+|PC|=6>|AC|=4,

∴点P的轨迹E是以A,C为焦点的椭圆,其中c=2,a=3,∴b=,∴椭圆方程为=1.

15. 解(1)由椭圆C:=1可知a=5,b=4,c=3,

则F1(-3,0),F2(3,0),

则||PM|-|PF1||≤|MF1|=,当且仅当P,M,F1三点共线时成立,所以-≤|PM|-|PF1|≤,所以|PM|-|PF1|的最大值与最小值分别为和-.

(2)2a=10,F2(3,0),|MF2|=.

设P是椭圆上任一点,由|PF1|+|PF2|=2a=10,|PM|≥|PF2|-|MF2|,所以|PM|+|PF1|≥|PF2|-|MF2|+|PF1|=2a-|MF2|=10-,等号仅当|PM|=|PF2|-|MF2|时成立,此时P,M,F2共线.由|PM|≤|PF2|+|MF2|,所以|PM|+|PF1|≤|PF2|+|MF2|+|PF1|=2a+|MF2|=10+,等号仅当|PM|=|PF2|+|MF2|时成立,此时P,M,F2共线,故|PM|+|PF1|的最大值与最小值分别为10+和10-.

16.解设中点M的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x0,y0),利用中点公式,得所以

因为Q(x0,y0)在椭圆+y2=1上,所以=1.

将x0=2x-1,y0=2y代入上式,得+(2y)2=1.

故所求AQ的中点M的轨迹方程是+4y2=1.

17.ABC　设椭圆C短轴顶点为D,E,由题知椭圆C:=1中,a=5,b=3,c=4,所以F1(-4,0),F2(4,0),A(-5,0),B(5,0),D(0,3),E(0,-3).

对于A选项,由于=(-4,-3),=(4,-3),=-16+9=-7<0,所以∠F1PF2的最大角为钝角,故存在P使得∠F1PF2=,故A正确;

对于B选项,记|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=10,

由余弦定理得cos∠F1PF2=-1≥-1=-,当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立,故B正确;

对于C选项,由于PF1⊥PF2,故⇒mn=[(m+n)2-(m2+n2)]=18,所以mn=9,故C正确;

对于D选项,设P(x,y)(x≠±5),A(-5,0),B(5,0),则=1,kPA=,kPB=,于是kPAkPB==-,故D错误.故选ABC.