人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质精练

第二章2.5.2　椭圆的几何性质

A级 必备知识基础练

1.[探究点一]下列与椭圆C:=1焦点相同的椭圆是(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

2.[探究点一]曲线=1与=1(0<k<9)的关系是(　　)

A.有相等的焦距,相同的焦点

B.有相等的焦距,不同的焦点

C.有不等的焦距,不同的焦点

D.以上都不对

3.[探究点二]已知椭圆C:=1(a>b>0)经过点(1,b),且椭圆C的离心率为,则椭圆C的方程是(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

4.[探究点二](多选题)已知椭圆E:=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,与y轴正半轴交于点B,下列选项中给出的条件,能够求出椭圆E标准方程的选项是(　　)

A.△BF1F2是等腰直角三角形

B.椭圆E的离心率为,短轴长为2

C.△BF1F2是等边三角形,且椭圆E的离心率为

D.设椭圆E的焦距为4,点B在圆(x-c)2+y2=9上

5.[探究点三]已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,点P为椭圆C上一点,O为坐标原点,△POF2为正三角形,则椭圆C的离心率为　　　　　. 

6. [探究点四]2020年12月,“嫦娥五号”月球探测器首次实现从月球无人采样返回,这标志着中国航天又向前迈出一大步.我校航天社团利用计算机模拟探测器某段飞行轨迹,如图,探测器在环月椭圆轨道上运动,月球的球心为椭圆的一个焦点,探测器在近月点“制动”后,进入距离月球表面n千米的环月圆形轨道.已知两轨道相切于近月点,远月点到月球表面的最近距离为m千米,月球半径为r千米,则椭圆轨道的长轴长为　　　　　;离心率为　　　　　. 

7.[探究点三·北师大版教材习题]根据下列条件,求椭圆的离心率:

(1)焦距和短轴长相等;

(2)长轴长是焦距的2倍;

(3)焦距等于椭圆相邻两个顶点间的距离;

(4)经过一个焦点,且与长轴垂直的弦的弦长与焦距相等.

8.[探究点一、二]已知椭圆的方程为9x2+4y2=36.

(1)求它的长轴长、短轴长、顶点坐标、焦点坐标.

(2)与该椭圆有相同焦点的椭圆有多少个?试写出其中的两个椭圆方程.

9.[探究点二](1)求与椭圆=1有相同的焦点,且离心率为的椭圆的标准方程;

(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.

B级 关键能力提升练

10.已知椭圆+y2=1,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的取值范围为(　　)

A.[1,2] B.[] C.[,4] D.[1,4]

11.已知F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的两个焦点,过F2的直线与椭圆交于A,B两点,若|AF1|∶|AB|∶|BF1|=3∶4∶5,则该椭圆的离心率为(　　)

A. B.2- C. D.

12.(多选题)设椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的动点,则下列结论正确的是(　　)

A.|PF1|+|PF2|=2

B.离心率e=

C.△PF1F2面积的最大值为

D.以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-=0相切

13.设椭圆E的两焦点分别为F1,F2,以F1为圆心,|F1F2|为半径的圆与E交于P,Q两点.若△PF1F2为直角三角形,则E的离心率为(　　)

A.-1 B. C. D.+1

14.已知F1,F2是椭圆C:=1(0<b<4)的左、右焦点,点P在C上,线段PF1与y轴交于点M,O为坐标原点,若OM为△PF1F2的中位线,且|OM|=1,则|PF1|=　　　　　. 

15.已知椭圆C:=1(a>b>0)的长半轴长为2.

(1)若椭圆C经过点(),求椭圆C的方程;

(2)A为椭圆C的右顶点,B(1,0),椭圆C上存在点P,使得,求椭圆C的离心率的取值范围.

C级 学科素养创新练

16.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.

(1)求椭圆的离心率的取值范围;

(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.

2.5.2　椭圆的几何性质

1.D　由题意得,椭圆C中,a2=9,b2=5,c2=a2-b2=4,即焦点坐标为(2,0)和(-2,0).

对于A选项,椭圆焦点在y轴上,不满足题意;

对于B选项,椭圆焦点在x轴上,a2=10,b2=5,c2=a2-b2=5,不满足题意;

对于C选项,椭圆焦点在x轴上,a2=9,b2=4,c2=a2-b2=5,不满足题意;

对于D选项,椭圆焦点在x轴上,a2=10,b2=6,c2=a2-b2=4,满足题意.故选D.

2.B　曲线=1的焦距为2c=8,而曲线=1(0<k<9)表示的椭圆的焦距也是8,但焦点所在的坐标轴不同.

3.A　依题意可得解得故椭圆C的方程是=1.故选A.

4.BD　对A,若△BF1F2是等腰直角三角形,可知c=b,没具体数据得不出方程,故A错误;

对B,已知椭圆E的离心率为,短轴长为2,则,b=1,由a2=b2+c2,所以a2=,所以椭圆E的标准方程为+y2=1,故B正确;

对C,△BF1F2是等边三角形,且椭圆E的离心率为,所以2c=a,b=c,数据不足,得不到结果,故C错误;

对D,设椭圆E的焦距为4,点B在圆(x-c)2+y2=9上,所以c=2,b2=5,由a2=b2+c2,所以a2=9,所以椭圆方程为=1,故D正确.故选BD.

5.-1　如图,因为△POF2为正三角形,

所以|OF1|=|OP|=|OF2|,

所以△F1PF2是直角三角形.

因为∠PF2F1=60°,|F2F1|=2c,所以|PF2|=c.

所以|PF1|2=|F1F2|2-|PF2|2=4c2-c2=3c2,

所以|PF1|=c.

因为|PF2|+|PF1|=2a,所以c+c=2a,

即-1,所以e=-1.

6.m+n+2r　　设椭圆形轨道的长半轴长为a,焦半径为c,由题意可得,长轴长2a=m+n+2r,且,

即,1+=1+,∴e=.

7.解(1)2c=2b,所以b=c,a=c,所以e=.

(2)2a=2·2c,a=2c,所以e=.

(3)2c=,所以5c2=2a2,所以,所以e=.

(4)2·=2c,所以b2=ac=a2-c2,所以a2-ac-c2=0,所以e2+e-1=0,所以e=.

8.解(1)由9x2+4y2=36⇒=1,

即a=3,b=2⇒c=,

所以该椭圆的长轴长为2a=6,短轴长为2b=4,

顶点坐标分别为(0,3),(0,-3),(2,0),(-2,0),焦点坐标为(0,),(0,-).

(2)由(1)可知,该椭圆的焦点在纵轴,且c=.

设与该椭圆有相同焦点的椭圆标准方程为=1(a'>b'>0),所以有a'2-b'2=5(a'>b'>0),该方程有无穷多组实数解.

当a'2=6时,b'2=1,所以椭圆方程为+x2=1,

当a'2=7时,b'2=2,所以椭圆方程为=1,所以与该椭圆有相同焦点的椭圆有无穷多个,其中的两个椭圆方程为+x2=1和=1(答案不唯一).

9.解(1)∵c=,

∴所求椭圆的焦点为(-,0),(,0).

设所求椭圆的方程为=1(a>b>0).

∵e=,c=,∴a=5,b2=a2-c2=20,

∴所求椭圆的方程为=1.

(2)∵椭圆的焦点在x轴上,

∴设它的标准方程为=1(a>b>0),

∵2c=8,∴c=4,又a=6,∴b2=a2-c2=20.

∴椭圆的方程为=1.

10.D　根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=4,设m=|PF1|,n=|PF2|,则m+n=4,m,n∈[a-c,a+c],

即m,n∈[2-,2+],则∈[1,4].

11. D　如图所示,设|AF1|=3t,则|AB|=4t,|BF1|=5t,所以|AF1|2+|AB|2=|BF1|2,所以∠F1AF2=90°.

由椭圆定义可得|AF1|+|AB|+|BF1|=12t=4a,所以t=,所以|AF1|=3t=a,所以|AF2|=2a-|AF1|=a,所以△AF1F2为等腰直角三角形,可得|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,所以2a2=4c2,所以该椭圆的离心率为e=.故选D.

12.AD　对于A,由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=2,故A正确;

对于B,由椭圆方程知a=,b=1,c=1,所以离心率e=,故B错误;

对于C,|F1F2|=2c=2,当P为椭圆短轴顶点时,△PF1F2的面积取得最大值,最大值为·2cb=cb=1,故C错误;

对于D,以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为c=1,圆心到直线x+y-=0的距离为=1,即圆心到直线的距离等于半径,所以以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-=0相切,故D正确.故选AD.

13.A　不妨设椭圆E的方程为=1(a>b>0),如图所示.

∵△PF1F2为直角三角形,

∴PF1⊥F1F2.

又|PF1|=|F1F2|=2c,

∴|PF2|=2c,

∴|PF1|+|PF2|=2c+2c=2a,

∴椭圆E的离心率e=-1.

14. 6　如图所示,因为OM为△PF1F2的中位线,且|OM|=1,所以|PF2|=2,

由椭圆定义可得|PF1|=2a-|PF2|=2×4-2=6.

15.解(1)由题意可得a=2.

又椭圆C过(),

∴=1,解得b2=1,故椭圆C的方程为+y2=1.

(2)由(1)知A(2,0).

设P(x,y),则=1. ①

由,则|PA|2=2|PB|2,

∴(x-2)2+y2=2[(x-1)2+y2],即x2+y2=2. ②

联立①②,解得y2=.

由-b≤y≤b,即0≤y2≤b2,故0≤≤b2,解得0<b2≤2,于是0<,即≤1-<1,即<1,即≤e<1,故椭圆C的离心率的取值范围是[,1).

16.(1)解不妨设椭圆方程为=1(a>b>0),

由余弦定理得cos60°==,

所以|PF1|·|PF2|=4a2-2|PF1|·|PF2|-4c2,

所以3|PF1|·|PF2|=4b2,所以|PF1|·|PF2|=.

又因为|PF1|·|PF2|≤=a2,

当且仅当|PF1|=|PF2|时,等号成立.

所以3a2≥4(a2-c2),所以,所以e≥.

又因为椭圆中0<e<1,

所以所求椭圆的离心率的取值范围是.

(2)证明由(1)可知|PF1|·|PF2|=b2,|PF1|·|PF2|sin 60°=b2×b2.

所以△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.