人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程课时练习

第二章2.6　双曲线及其方程

2.6.1　双曲线的标准方程

A级 必备知识基础练

1.[探究点一]若双曲线-y2=1的焦距为8,则实数m的值是(　　)

A. B. C.15 D.17

2.[探究点二]设点P在双曲线=1上,若F1,F2为双曲线的两个焦点,且|PF1|∶|PF2|=1∶3,则△F1PF2的周长等于(　　)

A.22 B.16 C.14 D.12

3.[探究点一](多选题)若方程=1所表示的曲线为C,则下面四个说法错误的是(　　)

A.若C为椭圆,则1<t<3

B.若C为双曲线,则t>3或t<1

C.曲线C可能是圆

D.若C为椭圆,且长轴在y轴上,则1<t<2

4.[探究点二]已知双曲线=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(　　)

A.3或7 B.6或14 C.3 D.7

5.[探究点二]已知F是双曲线=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为(　　)

A.9 B.8 C.7 D.6

6.[探究点一]已知双曲线=1(m>0,n>0)和椭圆=1有相同的焦点,则的最小值为(　　)

A.2 B.3 C.4 D.5

7.[探究点一]已知双曲线对称轴为坐标轴,中心在原点,焦点在直线x+y=6上,且c=2a,则此双曲线的标准方程为　　　　　　　　　　. 

8.[探究点二]已知双曲线C:=1的两焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上一点,若|PF1|=10,则|PF2|=　　　　　. 

9.[探究点一·北师大版教材习题]已知双曲线的焦点与椭圆=1的左、右顶点相同,且经过椭圆的右焦点,求该双曲线的方程.

10.[探究点三]如图所示,已知定圆F1:(x+5)2+y2=1,定圆F2:(x-5)2+y2=42,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.

B级 关键能力提升练

11.(多选题)已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),且AC,BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0),则下列说法正确的是(　　)

A.当m>0时,点C的轨迹是双曲线

B.当m>0时,点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去两个顶点)

C.当m=-1时,点C在圆x2+y2=25(除去点(5,0),(-5,0))上运动

D.当m<-1时,点C的方程表示焦点在x轴上的椭圆(不含左、右顶点)

12.若双曲线上存在点P,使得P到两个焦点的距离之比为2∶1,则称此双曲线存在“L点”,下列双曲线中存在“L点”的是(　　)

A.x2-=1 B.x2-=1

C.x2-=1 D.x2-=1

13.双曲线=1的两焦点为F1,F2,点P在双曲线上,直线PF1,PF2的倾斜角之差为,则△PF1F2的面积为(　　)

A.16 B.32 C.32 D.42

14.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为　　　　　. 

15.若动点M满足=6,则点M的轨迹方程为　　　　　　　　　　. 

16.在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线方程.

C级 学科素养创新练

17.设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若P在双曲线上,且=0,则||=(　　)

A.2 B. C.2 D.

18. 设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示.已知△OFQ的面积为2,且=m,其中O为坐标原点.

 (1)设<m<4,求的夹角θ的正切值的取值范围;

(2)设||=c,m=c2,当||取得最小值时,求此双曲线的标准方程.

2.6.1　双曲线的标准方程

1.C　由题意知2c=8,c=4,a2=m,b2=1.

因为c2=a2+b2,所以16=m+1,解得m=15.故选C.

2.A　由题意知|F1F2|=2=10.

由双曲线定义知||PF2|-|PF1||=6.

又|PF1|∶|PF2|=1∶3,∴|PF1|=3,|PF2|=9,

∴△F1PF2的周长为3+9+10=22.故选A.

3.AD　若t>3,则方程可变形为=1,它表示焦点在y轴上的双曲线;

若t<1,则方程可变形为=1,它表示焦点在x轴上的双曲线;

若2<t<3,则0<3-t<t-1,故方程=1表示焦点在y轴上的椭圆;

若1<t<2,则0<t-1<3-t,故方程=1表示焦点在x轴上的椭圆;

若t=2,则方程=1即为x2+y2=1,它表示圆.

故选AD.

4.A　设右焦点为F2,连接PF2,ON(图略),ON是△PF1F2的中位线,∴|ON|=|PF2|.

∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或6,

∴|ON|=|PF2|=7或3.

5.A　由=1,得a2=4,b2=12,则a=2,b=2,c==4,所以左焦点为F(-4,0),右焦点为F'(4,0),则由双曲线的定义得|PF|-|PF'|=2a=4.

因为点A(1,4)在双曲线的两支之间,所以|PA|+|PF'|≥|AF'|==5,所以|PF|+|PA|≥9,当且仅当A,P,F'三点共线时取等号,所以|PF|+|PA|的最小值为9.故选A.

6.B　由题意,双曲线=1(m>0,n>0)和椭圆=1有相同的焦点,∴m+n=5-2=3,

∴(m+n)))=(5+)≥(5+2)=3,当且仅当,即m=2n时等号成立,故的最小值为3.

7.=1或=1　直线x+y=6与坐标轴的交点坐标为(6,0),(0,6).

当双曲线的焦点在横轴时,c=6,因为c=2a,所以a=3,

因此b==3,即双曲线方程为=1;

当双曲线的焦点在纵轴时,c=6,因为c=2a,所以a=3,

因此b==3,即双曲线方程为=1.

8.18或2　由=1,得a2=16,b2=9,则a=4,b=3,c==5.

因为双曲线C:=1的两焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上一点,|PF1|=10,

所以||PF2|-|PF1||=2a=8,即||PF2|-10|=8,

所以|PF2|=18或|PF2|=2.

因为|PF1|=10>a+c=9,

所以|PF2|=18或|PF2|=2都符合题意.

9.解椭圆=1的左、右顶点坐标分别为(-2,0),(2,0),右焦点坐标为(1,0),因此,双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0),且经过点(1,0),可设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),c=2,2a=||=2,a=1,所以b2=c2-a2=3,所以所求双曲线的标准方程为x2-=1.

10.解圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1;

圆F2:(x-5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4.

设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,

∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|.

∴点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,且a=,c=5,于是b2=c2-a2=.

∴动圆圆心M的轨迹方程为=1.

11.BC　设C(x,y)(y≠0),则=m⇒=1(y≠0).

当m>0时,方程表示焦点在x轴上的双曲线(除去两个顶点),故A错误,B正确;

当m=-1时,方程为x2+y2=25(y≠0),则点C在圆x2+y2=25(除去点(5,0),(-5,0))上运动,故C正确;

当m<-1时,方程表示焦点在y轴上的椭圆(不含左、右顶点),故D错误.故选BC.

12.A　若双曲线的方程为x2-=1,

则a=1,c=,不妨设|PF1|=2|PF2|,则由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,即(x-)2+y2=4,与双曲线方程4x2-y2=4联立可得5x2-2x-3=0,其判别式Δ=20+60=80>0,故存在“L点”.

13.A　根据F1,F2为双曲线=1的两焦点可得|F1F2|=2=10.

又直线PF1,PF2倾斜角之差为,所以∠F1PF2=,

根据余弦定理可得

cos∠F1PF2=,

整理得|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=100, ①

根据点P在双曲线上可得||PF1|-|PF2||=6,则(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36,②

①-②,得|PF1||PF2|=64,则△PF1F2的面积为|PF1||PF2|sin∠F1PF2=×64×=16.

故选A.

14.　因为F是双曲线C:x2-=1的右焦点,所以F(2,0).

因为PF⊥x轴,所以可设P的坐标为(2,yP).

因为P是C上一点,所以4-=1,解得yP=±3,

所以P(2,±3),|PF|=3.

又因为A(1,3),所以点A到直线PF的距离为1,

所以S△APF=×|PF|×1=×3×1=.

15.=1(x>0)　设A(-5,0),B(5,0).

由于动点M(x,y)的轨迹方程为=6,则|MA|-|MB|=6<10,故点M到定点A(-5,0)与到定点B(5,0)的距离差为6,则动点M(x,y)的轨迹是以(±5,0)为焦点,以6为实轴长的双曲线的右支.

由于2a=6,c=5,则b2=c2-a2=25-9=16,故M的轨迹的标准方程为=1(x>0).

16.解因为△MPN的周长为48,且tan∠PMN=,

所以设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k.

由3k+4k+5k=48,得k=4.

所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.

以MN所在直线为x轴,以MN的中点为原点建立直角坐标系,如图所示.

设所求双曲线方程为=1(a>0,b>0).

由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,a2=4.

由|MN|=20,得2c=20,c=10,c2=100,

所以b2=c2-a2=100-4=96,故所求方程为=1.

17.C　由题意,知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(-,0),F2(,0).

设点P(x,y),

则=(--x,-y),=(-x,-y).

∵=0,

∴x2+y2-10=0,即x2+y2=10.

∴||==2.

18.解(1)因为

所以tanθ=.

又<m<4,

所以1<tanθ<4,即tanθ的取值范围为(1,4).

(2)设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),Q(x1,y1),则=(x1-c,y1),

所以S△OFQ=|·|y1|=2,则y1=±.

又=m,即(c,0)·(x1-c,y1)=c2,解得x1=c,

所以||==2,

当且仅当c=4时,取等号,||最小.

这时Q的坐标为()或(,-).

因为所以

于是所求双曲线的标准方程为=1.