高中人教B版 (2019)第二章　平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.2 双曲线的几何性质课时训练

第二章2.6.2　双曲线的几何性质

A级 必备知识基础练

1.[探究点一(角度1)]若双曲线x2-=1的一条渐近线的斜率是-2,则实数k的值为(　　)

A.4 B. C.-4 D.-

2.[探究点一(角度1)·2021全国卷,文]点(3,0)到双曲线=1的一条渐近线的距离为(　　)

A. B. C. D.

3.[探究点一、二(角度2)]已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离为1,且与椭圆=1有公共焦点,则双曲线C的渐近线方程为(　　)

A.y=±x B.y=±x

C.y=±x D.y=±x

4.[探究点一(角度2)](多选题)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的两个顶点分别为A1(-a,0),A2(a,0),P,Q的坐标分别为(0,b),(0,-b),且四边形A1PA2Q的面积为2,四边形A1PA2Q内切圆的周长为,则双曲线C的方程可以为(　　)

A.-y2=1 B.x2-=1

C.=1 D.=1

5.[探究点一(角度1)](多选题)已知双曲线C:=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为2,P为C上一点,则(　　)

A.双曲线C的实轴长为2

B.双曲线C的一条渐近线方程为y=x

C.|PF1|-|PF2|=2

D.双曲线C的焦距为4

6.[探究点一(角度1)·2021全国乙,理13]已知双曲线C:-y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为　　　　　. 

7.[探究点一(角度1)]已知F1,F2为双曲线C:=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为　　　　　. 

8.[探究点一(角度2)]求适合下列条件的双曲线的标准方程.

(1)两顶点间的距离是6,两焦点所连线段被两顶点和中心四等分;

(2)渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6.

9.[探究点二(角度1)]过双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,求C的离心率.

B级 关键能力提升练

10.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆的长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是(　　)

A.3 B.2 C. D.

11.已知双曲线=1(a,b均为正数)的两条渐近线与直线x=-1围成的三角形的面积为,则双曲线的离心率为(　　)

A. B. C.2 D.2

12.(多选题)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右两个顶点分别是A1,A2,左、右两个焦点分别是F1,F2,P是双曲线上异于A1,A2的任意一点,给出下列结论,其中正确的是(　　)

A.||PA1|-|PA2||=2a

B.直线PA1,PA2的斜率之积等于定值

C.使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有四个

D.若=b2,则=0

13.设双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线分别交双曲线的左、右两支于M,N.若以MN为直径的圆经过右焦点F2,且|MF2|=|NF2|,则双曲线的离心率为(　　)

A. B. C. D.

14.(多选题)定义:以双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.以下关于共轭双曲线的结论正确的是(　　)

A.与=1(a>0,b>0)共轭的双曲线是=1(a>0,b>0)

B.互为共轭的双曲线渐近线不相同

C.互为共轭的双曲线的离心率为e1,e2,则e1e2≥2

D.互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上

15.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆交y轴正半轴于点P,线段PF1交双曲线的渐近线于点A,若点A恰好为线段PF1的中点(O为坐标原点),则∠AOF1的大小为　　　　　,双曲线的离心率为　　　　　. 

16.求适合下列条件的双曲线的离心率:

(1)双曲线的渐近线方程为y=±x;

(2)双曲线=1(0<a<b)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,且原点到直线l的距离为c.

C级 学科素养创新练

17.已知双曲线C的焦点F(,0),双曲线C上一点P到F的最短距离为.

(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程;

(2)已知点M(0,1),设P是双曲线C上的点,Q是P关于原点的对称点.设λ=,求λ的取值范围.

2.6.2　双曲线的几何性质

1.A　双曲线x2-=1的一条渐近线的斜率是-2,

可得=2,解得k=4.

2.A　由题意可知,双曲线的渐近线方程为=0,即3x±4y=0,结合对称性,不妨考虑点(3,0)到直线3x+4y=0的距离d=.故选A.

3.C　由题意知椭圆的焦点坐标为(±,0),即为双曲线的焦点坐标,双曲线中c=,

渐近线方程为y=±x,其中一条为bx-ay=0,

于是有=1,b=1,∴a=,

∴渐近线方程为y=±x.故选C.

4.AB　因为四边形A1PA2Q的面积为2,

所以×2a×2b=2,整理得ab=,

记四边形A1PA2Q内切圆半径为r,则2πr=π,得r=.

又4×cr=2,所以c=.

又c2=a2+b2=3,联立可得

所以双曲线C的方程为-y2=1或x2-=1.故选AB.

5.ABD　由双曲线方程知b=,离心率为e==2,解得a=1,故C:x2-=1,实半轴长为1,实轴长为2a=2,故A正确;因为可求得双曲线渐近线方程为y=±x,故一条渐近线方程为y=x,故B正确;由于P可能在C的不同分支上,则有||PF1|-|PF2||=2,故C错误;焦距为2c=2=4,故D正确.故选ABD.

6.4　由双曲线方程可知其渐近线方程为±y=0,即y=±x,得-=-,解得m=3.

可得C的焦距为2=4.

7. 8　由双曲线的对称性以及|PQ|=|F1F2|可知,四边形PF1QF2为矩形,所以

解得|PF1||PF2|=8,

所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|=8.

8.解(1)由两顶点间的距离是6,得2a=6,即a=3.

由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12,即c=6,于是有b2=c2-a2=62-32=27.

由于焦点所在的坐标轴不确定,故所求双曲线的标准方程为=1或=1.

(2)设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),

即=1(λ≠0),由题意得a=3.

当λ>0时,=9,λ=36,双曲线方程为=1;

当λ<0时,=9,λ=-81,双曲线方程为=1.

故所求双曲线的标准方程为=1或=1.

9.解如图所示,与渐近线平行的直线l的斜率为,又直线l过右焦点F(c,0),则直线l的方程为y=(x-c).因为点P的横坐标为2a,代入双曲线方程得=1,化简得y=-b或y=b(点P在x轴下方,故舍去),故点P的坐标为(2a,-b),代入直线方程得-b=(2a-c),化简可得离心率e==2+.

10.B　设椭圆与双曲线的标准方程分别为=1(a>b>0),=1(m>0,n>0),因为它们共焦点,所以设它们的半焦距均为c,所以椭圆与双曲线的离心率分别为e1=,e2=,由点M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m,即2m=a,所以=2.

11.D　双曲线的渐近线为y=±x,令x=-1,可得y=∓,不妨令A(-1,),B(-1,-),

所以|AB|=,所以S△AOB=|AB|·|xA|=,

所以|AB|=2,即=2,所以,

所以e==2.故选D.

12.BD　由题意,点P是双曲线上异于A1,A2的任意一点,设P(x0,y0).

对于A,由双曲线的定义知,||PA1|-|PA2||≠2a,所以A错误;

对于B,由A1(-a,0),A2(a,0),可得,又由=1,所以-a2),可得,所以B正确;

对于C,若P在第一象限,则当|PF1|=2c时,|PF2|=2c-2a,△PF1F2为等腰三角形;当|PF2|=2c时,|PF1|=2c+2a,△PF1F2也为等腰三角形,故点P在第一象限且使得△PF1F2为等腰三角形的点P有两个.同理可得,在第二、三、四象限且使得△PF1F2为等腰三角形的点P也各有两个,因此使得△PF1F2为等腰三角形的点P共有八个,所以C错误;

对于D,由-a2=b2,得=c2,从而-c2=0,所以D正确.故选BD.

13.C　若以MN为直径的圆经过右焦点F2,

则=0,又|MF2|=|NF2|,

可得△MNF2为等腰直角三角形,

设|MF2|=|NF2|=m,则|MN|=m,

由|MF2|-|MF1|=2a,|NF1|-|NF2|=2a,

两式相加可得|NF1|-|MF1|=|MN|=4a,

即有m=2a.

过F2作MN的垂线交于点H,则|F2H|=2a.

在直角三角形HF1F2中可得4c2=4a2+(2a+2a-2a)2,化为c2=3a2,即e=.

14.CD　对于A选项,由共轭双曲线的定义可知,与=1(a>0,b>0)共轭的双曲线是=1(a>0,b>0),故A错;

对于B选项,双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,故B错;

对于C选项,设c=,双曲线=1的离心率为e1=,双曲线=1的离心率为e2=,所以,e1e2=≥2=2,当且仅当a=b时,等号成立,故C对;

对于D选项,设c=,双曲线=1的焦点坐标为(±c,0),双曲线=1的焦点坐标为(0,±c),这四个焦点都在圆x2+y2=c2上,故D对.故选CD.

15.　由点P为以F1F2为直径的圆与y轴正半轴的交点,可知∠PF2F1=,又因为原点O为F1F2的中点,A为PF1的中点,所以OA∥PF2,所以∠AOF1=,从而双曲线的渐近线AO为第二、四象限的平分线,所以a=b,而a2+b2=c2,则2a2=c2,即c=a,所以e=.

16.解(1)若焦点在x轴上,则,

故e=.

若焦点在y轴上,则,即,

故e=.

综上所述,双曲线的离心率为.

(2)依题意,得直线l:bx+ay-ab=0.由原点到l的距离为c,得c,即ab=c2,

∴16a2b2=3(a2+b2)2,即3b4-10a2b2+3a4=0,

∴3-10×+3=0.解得=3.

∵0<a<b,∴=3.∴e==2.

17.解(1)∵双曲线C的焦点F(,0),双曲线C上一点P到F的最短距离为,可设双曲线的方程为=1,

∴c=,c-a=,∴a=,

∴b2=c2-a2=()2-()2=1,则双曲线的方程为-y2=1,令-y2=0,则y=±x,即渐近线方程为y=±x.

(2)设P的坐标为(x0,y0),则Q的坐标为(-x0,-y0),

∴λ==(x0,y0-1)·(-x0,-y0-1)=-+1=-+2.

∵|x0|≥,∴λ的取值范围是(-∞,-1].