数学选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系同步训练题

第二章2.8　直线与圆锥曲线的位置关系

A级 必备知识基础练

1.[探究点一(角度1)]若直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆=1的交点个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.1或2

2.[探究点三]已知双曲线中心在原点,且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与双曲线交于M,N两点,且MN中点的横坐标为-,则此双曲线的方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

3.[探究点一(角度2)]过点(1,2)且与双曲线x2-=1没有交点的直线l斜率的取值范围是(　　)

A.(2,+∞) B.[2,+∞)

C.[-2,2] D.[-2,+∞)

4.[探究点三]已知椭圆C:=1,过点P(1,1)的直线l与椭圆C交于A,B两点,若点P恰为弦AB中点,则直线l的斜率是(　　)

A.-3 B.- C.- D.-

5.[探究点二]过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,若两点的横坐标之和为5,则|AB|=　　　　　. 

6.[探究点二·人教A版教材习题]经过椭圆+y2=1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l,直线l与椭圆相交于A,B两点,则线段AB的长为　　　　　. 

7.[探究点一(角度2)]在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q,求k的取值范围.

8.[探究点二]椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其中F2(,0),O为原点,椭圆上任意一点到F1,F2的距离之和为2.

(1)求椭圆的标准方程及离心率;

(2)过点P(0,2)的斜率为2的直线l交椭圆于A,B两点,求△OAB的面积.

B级 关键能力提升练

9.已知抛物线的方程为y2=8x,若过点Q(-2,0)的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(　　)

A.[-1,1] B.[-1,0)∪(0,1]

C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

10.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线的斜率为且经过点F,直线l与抛物线C交于点A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AF|=4,则以下结论正确的是(　　)

A.p=2 B.F为AD中点

C.|BD|=2|BF| D.|BF|=2

11.直线=1与椭圆=1相交于A,B两点,椭圆上的点P使△PAB的面积等于12,这样的点P共有　　　　　个. 

12.设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.

(1)求椭圆的方程;

(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为坐标原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.

13.已知直线l:y=x+b与抛物线C:y2=4x.

(1)若直线l与抛物线C相切,求实数b的值;

(2)若直线l与抛物线C相交于A,B两点,且|AB|=8,求直线l的方程.

14.已知抛物线C:y2=2px过点A(1,1).

 (1)求抛物线C的方程;

(2)若过点P(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合).设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值.

15.已知向量a=(x,y),b=(1,0),且(a+b)⊥(a-b).

(1)求满足上述条件的点M(x,y)的轨迹C的方程;

(2)设曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点P,Q,点A(0,-1),当|AP|=|AQ|时,求实数m的取值范围.

C级 学科素养创新练

16.已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-.记M的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;

(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.

①证明:△PQG是直角三角形;

②求△PQG面积的最大值.

2.8　直线与圆锥曲线的位置关系

1.C　∵直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,

∴>2,∴m2+n2<4,

∴=1-m2<1,

∴点(m,n)在椭圆=1的内部,

∴过点(m,n)的直线与椭圆=1的交点个数为2.

故选C.

2.D　由c=,得a2+b2=7.∵焦点为F(,0),

∴可设双曲线方程为=1, ①

并设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=x-1代入①并整理,得(7-2a2)x2+2a2x-a2(8-a2)=0,∴x1+x2=-,

由已知得-=-×2,解得a2=2,

故双曲线的方程为=1.

3.B　由题意,l的斜率存在,设直线l的方程为y-2=k(x-1),与双曲线方程联立,得

消去y,并整理得(4-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-8=0.

若4-k2=0,即k=±2.

当k=2时,方程即为-4=0,方程无解,直线l与双曲线无交点,符合题意;

当k=-2时,方程即为16x-20=0,方程有一个解,此时直线l与双曲线有一个交点,不符合题意.

若4-k2≠0,∵过点P(1,2)的直线l与双曲线没有交点,

∴Δ=[2(k2-2k)]2-4(4-k2)(-k2+4k-8)=64(-k+2)<0,解得k>2.

综上所述,直线l斜率的取值范围是[2,+∞).故选B.

4.C　设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2,则=1,=1,两式相减得=-,所以=-=-=-,即直线l的斜率是-.故选C.

5.7　由抛物线方程可得p=2,则由抛物线定义可得|AB|=xA+xB+p=5+2=7.

6.

7.解由已知条件知直线l的方程为y=kx+,

代入椭圆方程得+(kx+)2=1,

整理得x2+2kx+1=0,

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-4=4k2-2>0,解得k<-或k>,

所以k的取值范围为.

8.解(1)由题意,c=,2a=2,

∴a=,b2=a2-c2=1,

∴椭圆的标准方程为+y2=1,离心率为e=.

(2)由题得直线l的方程为y=2x+2,代入椭圆方程得13x2+24x+9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ=108>0,x1+x2=-,x1x2=.∴|AB|=|x1-x2|=.又∵点O到直线AB的距离d=,∴S△OAB=×d×|AB|=,即△OAB的面积为.

9.A　由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y并整理,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.

当k=0时,显然满足题意;

当k≠0时,Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,解得-1≤k<0或0<k≤1.

综上,-1≤k≤1.

故选A.

10.ABC　

如图,F,直线l的斜率为,则直线方程为y=(x-),

联立

得12x2-20px+3p2=0.

解得xA=p,xB=p,由|AF|=p+=2p=4,得p=2.

∴抛物线方程为y2=4x,xB=p=,则|BF|=+1=.|BD|=,

∴|BD|=2|BF|,|BD|+|BF|==4,

则F为AD中点.∴运算结论正确的是A,B,C.

11.2　易知直线=1过点(4,0),(0,3),则(4,0),(0,3)即为直线与椭圆交点,不妨设A(4,0),B(0,3),AB==5.

设P到直线AB的距离为h,则AB·h=12,解得h=,作与直线AB平行且与椭圆相切的直线l,设l:=m,联立椭圆方程

化简得x2-4mx+8m2-8=0,由Δ=0解得m=±,则l:=-.

又因为与AB的距离为=-与AB的距离为,故这样的点P共有2个.

12.解(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1.

所以,椭圆的方程为=1.

(2)由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).

设直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立

整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-,代入y=kx+2得yP=,进而直线OP的斜率.

在y=kx+2中,令y=0,得xM=-.

由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-.

由OP⊥MN,得·(-)=-1,化简得k2=,从而k=±.所以,直线PB的斜率为或-.

13.解(1)∵直线l与抛物线C相切,

∴联立得x2+(2b-4)x+b2=0,

∴Δ=(2b-4)2-4b2=16-16b=0⇒b=1.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)方程联立可知x2+(2b-4)x+b2=0,∴x1+x2=4-2b,x1x2=b2.

又|AB|=8,且|AB|=,

∴8==4⇒1-b=2⇒b=-1,满足Δ>0,∴直线l的方程为y=x-1.

14.(1)解由题意得2p=1,所以抛物线方程为y2=x.

(2)证明设M(x1,y1),N(x2,y2),

直线MN的方程为x=t(y+1)+3,

代入抛物线方程得y2-ty-t-3=0.

所以Δ=(t+2)2+8>0,y1+y2=t,y1y2=-t-3.

所以k1·k2==-,所以k1·k2是定值.

15.解(1)∵(a+b)⊥(a-b),∴(a+b)·(a-b)=0,∴a2-3b2=0,∴x2+3y2=3,

即点M(x,y)的轨迹C的方程为+y2=1.

(2)由得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.∵曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点,∴Δ=(6km)2-12(1+3k2)(m2-1)=12(3k2-m2+1)>0,即3k2-m2+1>0,              ①

且x1+x2=-,x1x2=.

设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点N(x0,y0),则∵|AP|=|AQ|,∴PQ⊥AN.

设kAN表示直线AN的斜率,又k≠0,∴kAN·k=-1,即·k=-1,得3k2=2m-1. ②

∵3k2>0,∴m>.

将②代入①得2m-1-m2+1>0,即m2-2m<0,

解得0<m<2,∴m的取值范围为.

16.解(1)由题设得=-,化简得=1(|x|≠2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点.

(2)①证明:设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k>0).

由得x=±.

记u=,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).

于是直线QG的斜率为,方程为y=(x-u).

由得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0. (ⅰ)

设G(xG,yG),则-u和xG是方程(ⅰ)的解,故xG=,由此得yG=.

从而直线PG的斜率为=-.

所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形.

②由①得|PQ|=2u,|PG|=,

所以△PQG的面积S=|PQ||PG|=.

设t=k+,则由k>0,得t≥2,当且仅当k=1时取等号.

因为S=在区间[2,+∞)内单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为.

因此,△PQG面积的最大值为.