新教材2023_2024学年高中数学第二章平面解析几何测评一新人教B版选择性必修第一册

这是一份新教材2023_2024学年高中数学第二章平面解析几何测评一新人教B版选择性必修第一册，共13页。

第二章测评(一)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线3x+y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是(　　)
A.4 B. C. D.
2.已知圆(x-1)2+y2=4内一点P(2,1),则过P点的最短弦所在的直线方程是(　　)
A.x-y-1=0 B.x+y-3=0
C.x+y+3=0 D.x=2
3.已知椭圆C:=1(m>4)的离心率为,则椭圆C的长轴长为(　　)
A. B.6 C.2 D.12
4.若α∈,则直线4xcos α+6y-7=0的倾斜角的取值范围是(　　)
A. B.,π
C.0, D.
5.设双曲线C:=1(a>b>0)的两条渐近线夹角为α,且tan α=,则其离心率为(　　)
A. B.2或
C. D.
6.已知从点(-5,3)发出的一束光线,经x轴反射后,反射光线恰好平分圆(x-1)2+(y-1)2=5的圆周,则反射光线所在的直线方程为(　　)
A.2x-3y+1=0 B.2x-3y-1=0
C.3x-2y+1=0 D.3x-2y-1=0
7.已知a>0,b>0,直线l1:x+(a-4)y+1=0,l2:2bx+y-2=0,且l1⊥l2,则的最小值为(　　)
A.2 B.4 C. D.
8.已知M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,N是x轴上点F右侧一点,若以FN为始边,FM为终边的角∠NFM=60°,则|FM|等于(　　)
A.2 B. C.2 D.4
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知方程=1表示的曲线为C,则以下四个判断正确的为(　　)
A.当1 B.当t>4或t<1时,曲线C表示双曲线
C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1 D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,则t>4
10.已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+4=0相交于A,B两点,下列说法正确的为(　　)
A.两圆有两条公切线
B.直线AB的方程为y=2x+4
C.线段AB的长为
D.圆O上点E,圆M上点F,|EF|的最大值为+3
11.已知椭圆M:=1的左、右焦点分别是F1,F2,左、右顶点分别是A1,A2,点P是椭圆上异于A1,A2的任意一点,则下列说法正确的是(　　)
A.|PF1|+|PF2|=5
B.直线PA1与直线PA2的斜率之积为-
C.存在点P满足∠F1PF2=90°
D.若△F1PF2的面积为4,则点P的横坐标为±
12.设A,B是抛物线x2=y上的两点,O是坐标原点,下列结论正确的是(　　)
A.若OA⊥OB,则|OA||OB|≥2
B.若OA⊥OB,直线AB过定点(1,0)
C.若OA⊥OB,点O到直线AB的距离不大于1
D.若直线AB过抛物线的焦点F,且|AF|=,则|BF|=1
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.在平面直角坐标系中,从点P(5,2)发出的光线射向x轴,经x轴反射到直线y=x上,再反射经过点(10,9),则光线由P到Q经过的路程长为　　　　　. 
14.已知半径为1的圆C关于直线2x-y-4=0对称,写出圆C的一个标准方程　. 
15.双曲线=1(b>0)的离心率为,则b=　　　　　,过双曲线的右焦点F作直线垂直于双曲线的一条渐近线,垂足为A,设O为坐标原点,则|OA|=　　　　　. 
16.设椭圆=1上的一点P到椭圆两焦点的距离的乘积为s,则当s取得最大值时,点P的坐标是　　　　　　　　. 
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知F1(-4,0),F2(4,0)是双曲线C:=1(m>0)的两个焦点,点M是双曲线C上一点,且∠F1MF2=60°,求△F1MF2的面积.











18.(12分)过点P(1,2)作直线l分别与x,y轴正半轴交于点A,B.
(1)若△AOB是等腰直角三角形,求直线l的方程;
(2)对于①|OA|+|OB|最小,②△AOB面积最小,若选择　　　　　作为条件,求直线l的方程. 















19.(12分)已知抛物线y2=2px(p>0)上的点T(3,t)到焦点F的距离为4.
(1)求p,t的值;
(2)设A,B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点,且=5(其中O为坐标原点).求证:直线AB过定点,并求出该定点的坐标.













20.(12分)已知抛物线C1:y2=8x的准线与x轴交于点F1,其焦点为F2,椭圆C2以F1,F2为焦点,且离心率为.
(1)求椭圆C2的标准方程;
(2)设直线l:y=x+t与椭圆C2交于A,B两点,若|AB|=4,求△AOB(点O为坐标原点)的面积.




















21.(12分)已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且线段AB恰好被点P(2,2)平分.
(1)求直线l的方程;
(2)抛物线上是否存在点C和D,使得C,D关于直线l对称?若存在,求出直线CD的方程;若不存在,请说明理由.
















22.(12分)已知圆C:(x-1)2+(y-3)2=9,线段RQ的端点Q的坐标是(4,3),端点R在圆C上运动,且点T满足=2,记T点的轨迹为曲线Γ.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)过点A(0,3)斜率为k的直线l与曲线Γ交于M,N两点,试探究:
①设O为坐标原点,若=26,这样的直线l是否存在?若存在,求出|MN|;若不存在,说明理由.
②求线段MN的中点D的轨迹方程.


第二章测评(一)
1.D　由直线平行可得3m-6=0,解得m=2,则直线方程为6x+2y+1=0,即3x+y+=0,则距离是.
故选D.
2.B　由题意可知,当过圆心且过点P(2,1)时所得弦为直径,当与这条直径垂直时所得弦长最短,圆心为C(1,0),P(2,1),则由两点间斜率公式可得kCP==1,所以与PC垂直的直线斜率为k=-1,则由点斜式可得过点P(2,1)的直线方程为y-1=-1×(x-2),化简可得x+y-3=0.
故选B.
3.C　由题意可知,解得m=6,即a=,
所以椭圆长轴长为2.
4.B　因为α∈,则cosα∈0,,
所以直线4xcosα+6y-7=0的斜率为k=-∈-,0,因此直线4xcosα+6y-7=0的倾斜角的取值范围是,π.
故选B.
5.A　∵双曲线=1(a>b>0)的两条渐近线夹角为α,且tanα=,
∴一条渐近线的斜率为tan,
则,解得tan或tan=-2(舍),
∴e2=1+,
∴e=(负值舍去).
6.A　设点A的坐标为(-5,3),圆(x-1)2+(y-1)2=5的圆心坐标为B(1,1),
设C(x,0)是x轴上一点,因为反射光线恰好平分圆(x-1)2+(y-1)2=5的圆周,
所以反射光线经过点B(1,1).
由反射的性质可知kAC+kBC=0⇒=0⇒x=-,于是kBC=,所以反射光线所在的直线方程为y=x+⇒2x-3y+1=0.故选A.
7.D　因为l1⊥l2,所以2b+a-4=0,即a+1+2b=5.
因为a>0,b>0,所以a+1>0,2b>0,
所以=×(a+1+2b)=2+≥2+2=,当且仅当a=,b=时,等号成立.
故选D.
8.D　如图所示,由题意得焦点坐标F(1,0),准线方程为x=-1,

设M的坐标为,y,∠NFM=60°,
∴>1,
∴|y|=-1,
整理得y2-4|y|-4=0,
解得|y|=2,
又∠NFM=60°,
∴|FM|==4.
9.BCD　若曲线C:=1表示椭圆,
则
∴1 若曲线C:=1表示双曲线,
则(4-t)(t-1)<0,
∴t<1或t>4,故B正确;
若曲线C:=1表示焦点在x轴上的椭圆,则∴1 若曲线C:=1表示焦点在y轴上的双曲线,则∴t>4,故D正确.
故选BCD.
10.ABD　圆O:x2+y2=4的圆心O(0,0),半径r1=2,圆M:(x+2)2+(y-1)2=1的圆心M(-2,1),r2=1,
|OM|=,显然有r1-r2<|OM| 由得4x-2y+8=0,则直线AB的方程为y=2x+4,故B正确;
圆心O到直线AB:2x-y+4=0的距离d=,
则|AB|=2=2,故C不正确;

|EF|≤|EO|+|OF|≤|EO|+|OM|+|MF|=r1+|OM|+r2=+3,当且仅当点E,O,M,F四点共线时等号成立,如图,
因此当点E,F分别是直线OM与圆O交点E',与圆M交点F'时,|EF|max=+3,故D正确.
故选ABD.
11.BD　由椭圆方程可得:a=5,c=,
则F1(-,0),F2(,0),A1(-5,0),A2(5,0),
由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=10,故A错误;
设点P的坐标为(m,n),
则=1,即n2=20(25-m2),
则,
所以=-,故B正确;
=(--m,-n),=(-m,-n),
若∠F1PF2=90°,则=m2-5+n2=0,
又n2=(25-m2),联立可得m2+15=0,方程无解,故C错误;
|F1F2||yP|=×2×|yP|=4,
解得yP=±4,代入椭圆方程可得xP=±,故D正确.
12.ACD　对于A,设A(x1,),B(x2,).
∵OA⊥OB,∴=0,∴x1x2+(x1x2)2=0,
∴x1x2(1+x1x2)=0,∴x2=-,
∴|OA||OB|==2,当且仅当x1=±1时等号成立,故A正确;
对于B,若OA⊥OB,显然直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+m,
联立方程消去y得x2-kx-m=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
∴x1+x2=k,x1x2=-m,
∴y1y2==(x1x2)2=m2.
∵OA⊥OB,∴=0,∴x1x2+y1y2=0,
∴-m+m2=0,∴m=0或m=1,
易知直线AB不过原点,∴m=1,
∴直线AB的方程为y=kx+1,恒过定点(0,1),故B错误;
∴点O到直线AB的距离d=.
∵k2≥0,∴k2+1≥1,∴d≤1,故C正确;
对于D,直线AB过抛物线的焦点F,设直线AB的方程为y=kx+,
联立方程消去y得x2-kx-=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设点A在y轴右侧,
∴x1+x2=k,x1x2=-,
∴|AF|=y1+,
∴y1=,∴x1=,
∴x2==-,
∴y2=,
∴|BF|=y2+=1,故D正确.
13.4　设光线自点P射向x轴上的A点,经过反射后射向直线y=x上的B点,再经过反射后射向Q点,点P关于x轴的对称点P',点Q关于直线y=x的对称点Q',则P'(5,-2),Q'(9,10),所以光线由P到Q经过的路程长为|PA|+|AB|+|BQ|=|P'A|+|AB|+|BQ'|=|P'Q'|==4.
14.(x-2)2+y2=1(答案不唯一,只要圆心C在直线2x-y-4=0上,半径为1,均可)　由题可知,圆C关于直线2x-y-4=0对称,半径为1,
则圆心C在直线2x-y-4=0上,则当x=2时,y=0,
所以当圆心C为(2,0)时,圆C的标准方程为(x-2)2+y2=1.
15.1　2　因为双曲线=1(b>0)的离心率为,可得,则b=1,
所以双曲线-y2=1的右焦点F(,0),
其中一条渐近线方程为x-2y=0,
所以|AF|==1,
所以|OA|==2.
16.(0,3)或(0,-3)　设椭圆=1的焦点为F1,F2,
由椭圆定义可得,|PF1|+|PF2|=2a=10,
则s=|PF1|·|PF2|≤2=a2=25,
当且仅当|PF1|=|PF2|=a=5,即P(0,3)或(0,-3),s取得最大值25.
17.解因为F1(-4,0),F2(4,0)是双曲线C:=1(m>0)的两个焦点,
所以m+4=16,所以m=12.
设|MF1|=t1,|MF2|=t2.因为点M是双曲线上一点,且∠F1MF2=60°,所以|t1-t2|=4.
在△F1MF2中,由余弦定理可得-2t1t2cos60°=64.联立上述两式可得t1t2=16,
所以△F1MF2的面积S=t1t2sin60°=4.
18.解(1)因为过点P(1,2)作直线l分别与x,y轴正半轴交于点A,B,且△AOB是等腰直角三角形,所以直线l的倾斜角为,
所以直线l的斜率为k=tan=-1,
所以直线l的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.
(2)设A(a,0),B(0,b)(a,b>0),直线l的方程为=1,代入点P(1,2)可得=1.
若选①:|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=3+≥3+2=3+2,当且仅当a=+1,b=2+时等号成立,此时直线l的斜率k=-=-,
所以直线l的方程为y-2=-(x-1),即x+y-2-=0.
若选②:由=1≥2,可得ab≥8,当且仅当a=2,b=4时等号成立,
所以S△AOB=ab≥4,即△AOB面积最小为4,
此时直线l的斜率k=-=-2,
所以直线l的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.
19.(1)解 由抛物线的定义,得3+=4,解得p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x,
将点T(3,t)代入,得t2=12,解得t=±2.
(2)证明 设直线AB的方程为x=my+n,
A,B,
联立消去x得y2-4my-4n=0,
则y1+y2=4m,y1y2=-4n.
由=5,得+y1y2=5,
所以y1y2=-20或y1y2=4(舍去),
即-4n=-20,n=5,
所以直线AB的方程为x=my+5,
所以直线AB过定点(5,0).
20.解(1)因为抛物线C1:y2=8x的焦点F2(2,0),设椭圆C2的标准方程为=1(a>b>0),
则c=2.又因为其离心率为,
所以,所以a=2,
所以b==2,
所以椭圆C2的标准方程为=1.
(2)联立直线l:y=x+t与椭圆C2的标准方程可得3x2+4tx+2t2-8=0,
所以x1+x2=-,x1x2=,
所以|AB|=|x2-x1|==4,
所以t2=3,
所以△AOB的面积为S=×4×.
21.解 (1)由题意可得直线AB的斜率存在,且不为0.
设直线AB:x-2=m(y-2),m≠0,
与抛物线方程联立消去x,可得y2-8my+16m-16=0.
判别式Δ=(-8m)2-4(16m-16)=64m-2+>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有y1+y2=8m,
由8m=4,得m=,
所以直线l的方程为2x-y-2=0.
(2)不存在.理由如下,假设C,D两点存在,
则可设lCD:y=-x+n,与抛物线方程y2=8x联立,
消去y,得x2-(n+8)x+n2=0,
其中Δ=(n+8)2-n2=16n+64>0,
则n>-4. (*)
又xC+xD=4(n+8),
所以CD的中点为(2(n+8),-8),代入直线l的方程,
得n=-,不满足(*)式.
所以满足题意的C,D两点不存在.
22.解(1)设R(x0,y0),则(x0-1)2+(y0-3)2=9,
设T(x,y),因为=2,
所以
则(3x-8-1)2+(3y-6-3)2=9,
即曲线Γ的方程为(x-3)2+(y-3)2=1.
(2)①由题意,知直线l方程为y=kx+3,M(x1,y1),N(x2,y2),
联立
可得(1+k2)x2-6x+8=0,
则Δ=36-32(1+k2)>0,解得k2<,且有x1+x2=,x1x2=,
所以y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9=,
则=x1x2+y1y2==26,解得k=1,不符合k2<,
故不存在这样的直线l,使得=26.
②由①知,MN中点坐标为0 即D点坐标为+3,
又因为=k,所以xD=,
整理可得xD-2+(yD-3)2=,即点D的轨迹方程为x-2+(y-3)2=.