新教材2023_2024学年高中数学第二章平面解析几何测评二新人教B版选择性必修第一册

第二章测评(二)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.若直线ax+y-a+1=0与直线(a-2)x-3y+a=0垂直,则实数a的值可能为(　　)

A.-1 B.1 

C.-3 D.-1或3

2.已知点P(-2,4)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是(　　)

A.(0,2) B.(0,4)

C.(2,0) D.(4,0)

3.已知双曲线=1的一条渐近线的方程为y=x,则双曲线的焦距为(　　)

A. B.10 C.2 D.2

4.若点(m,n)在直线l:3x+4y-13=0上,则的最小值为(　　)

A.3 B.4 C.2 D.6

5.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果,著作中有这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O(0,0),A(3,0),圆C:(x-2)2+y2=r2(r>0)上有且仅有一个点P满足|PA|=2|PO|,则r的取值为              (　　)

A.1 B.5 C.1或5 D.不存在

6.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于(　　)

A. B. C. D.

7. 我们把由半椭圆=1(x≥0)与半椭圆=1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2=b2+c2,a>b>c>0),如图所示,其中点F0,F1,F2是相应半椭圆的焦点.若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,则a,b的值分别为(　　)

A.,1 B.,1

C.5,3 D.5,4

8.已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0,点P是直线y=4上的动点,过P作圆的两条切线,切点分别为A,B,则|AB|的最小值为(　　)

A. B. C. D.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.已知圆x2+y2-2x+4y+3=0与直线x-y=1,则(　　)

A.圆心坐标为(1,-2)

B.圆心到直线的距离为

C.直线与圆相交

D.圆的半径为

10.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),则能使双曲线C的方程为=1的条件是(　　)

A.双曲线的离心率为 

B.双曲线过点

C.双曲线的渐近线方程为3x±4y=0 

D.双曲线的实轴长为4

11. 如图所示,一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角θ=60°的平面所截,截面是一个椭圆,则下列说法正确的是(　　)

A.椭圆的长轴长为8

B.椭圆的离心率为

C.椭圆的离心率为

D.椭圆的一个方程可能为=1

12.已知斜率为的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是(　　)

A.=1 B.|AF|=6

C.|BD|=2|BF| D.F为线段AD的中点

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=　　　　　. 

14.若等轴双曲线C的左顶点A,右顶点B分别为椭圆+y2=1(a>0)的左、右焦点,点P是双曲线上异于A,B的点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1k2=　　　　　. 

15.圆过点A(1,-2),B(-1,4),则周长最小的圆的方程为　　　　　　　　　　. 

16.已知点A(1,)在抛物线y2=2px上,若△ABC的三个顶点都在抛物线上,记三边AB,BC,CA所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,则=　　　　　. 

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知A(0,1),B(-2,-1),C(5,3)三点.

(1)求AB边上中线所在直线的方程;

(2)求△ABC的面积.

18.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点到双曲线x2-y2=1的渐近线距离为,且抛物线的焦点与椭圆:=1(a>b>0)的右焦点F重合,直线y=x与椭圆相交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4.

(1)求抛物线的标准方程;

(2)求椭圆的标准方程.

19.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为2,左、右焦点分别为F1,F2,且过点P.

(1)求椭圆C的方程;

(2)斜率大于0且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,若=3,求直线l的方程.

20.(12分)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在抛物线上,且A的横坐标为4,|AF|=5.

(1)求抛物线的方程;

(2)设l为过(4,0)点的任意一条直线,若l交抛物线于A,B两点,求证:以AB为直径的圆必过坐标原点.

21.(12分)已知平面上动点M(x,y)与定点(1,0)的距离和M到定直线x=2的距离的比是常数,动点M的轨迹为曲线C.直线l与曲线C交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两个不同的点.

(1)若直线l的方程为y=2x+2,求△OPQ的面积;

(2)若△OPQ的面积为,证明:均为定值.

22.(12分)给定椭圆C:=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率为,点(2,)在C上.

(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”的方程;

(2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点,过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,且l1,l2分别交其“卫星圆”于点M,N(异于点P).求证:弦长|MN|为定值.

第二章测评(二)

1.D　由题意得a(a-2)+1×(-3)=0,即a2-2a-3=0.解得a=-1或a=3.

故选D.

2.C　因为点P(-2,4)在抛物线y2=2px的准线上,

所以-=-2,得p=4,

则该抛物线的焦点坐标是(2,0).

3.C　由题意得,得m=4,

则双曲线的焦距为2=2.

4.C　∵点(m,n)在直线l:3x+4y-13=0上,

∴3m+4n-13=0,∴n=m,∴,

当且仅当m=时,取最小值为2.

故选C.

5.C　设点P(x,y).

∵|PA|=2|PO|,即=2,

整理得(x+1)2+y2=4,

∴点P的轨迹为以C1(-1,0)为圆心,半径r1=2的圆.

∵圆C:(x-2)2+y2=r2是以C(2,0)为圆心,半径r的圆,

由题意可得3=|CC1|=r+r1或3=|CC1|=|r-r1|,

∴r=1或r=5.

故选C.

6.B　由题可知,p=2,k>0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0.

由

得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,

所以x1x2=4, ①

根据抛物线的定义得

|FA|=x1+=x1+2,|FB|=x2+2.

因为|FA|=2|FB|,

所以x1=2x2+2, ②

由①②得x2=1(x2=-2舍去),

所以B(1,2),代入y=k(x+2)得k=.

7.A　|OF2|=,

|OF0|=c=|OF2|=,

∴b=1,

∴a2=b2+c2=,

得a=.

8.B　圆C:x2+y2-4x-2y+1=0化为标准方程:(x-2)2+(y-1)2=4,其圆心C(2,1),半径r=2.

过点P引圆C的两条切线,切点分别为A,B,如图.在△PAC中,有S△PAC=|CA||AP|=×|CP|,即|AP|=×|CP|,变形可得|AB|=.

设|CP|=x,则|AB|==4.

所以当|CP|的值即x最小时,的值最大,此时|AB|最小.而|CP|的最小值为点C到直线y=4的距离,即|CP|min=3,所以|AB|min=4.

故选B.

9.AD　把圆的方程化为标准形式得(x-1)2+(y+2)2=2,所以圆心坐标为(1,-2),半径为,所以圆心到直线x-y=1的距离为d=,直线与圆相切.

故选AD.

10.ABC　双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),可得c=5.

如果离心率为,可得a=4,则b=3,所以双曲线C的方程为=1,故A正确;

c=5,双曲线过点,可得解得所以双曲线C的方程为=1,故B正确;

c=5,渐近线方程为3x±4y=0,可得解得所以双曲线C的方程为=1,故C正确;

c=5,实轴长为4,可得a=2,b=,双曲线C的方程为=1,故D不正确.

11.BD　由题意易知椭圆的短半轴长b=4.

∵截面与底面所成的角为θ=60°,

∴椭圆的长轴长为2a==16,则a=8,

∴c==4,离心率为,当以椭圆中心为原点,椭圆的长轴为x轴,短轴为y轴建立坐标系时,则椭圆的方程为=1.

故选BD.

12.BCD　如图,F,设A(xA,yA),B(xB,yB),由A,B分别向准线作垂线,交点为A',B',直线l的斜率为,则直线方程为y=,

联立得12x2-20px+3p2=0,

解得xA=,xB=.

由|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p==8,得p=3.

所以抛物线方程为y2=6x.

则|AF|=xA+=2p=6,故B正确;

所以|BF|=2,,故A错误;

|BD|==4,则|BD|=2|BF|,故C正确;

所以|AF|=|DF|=6,则F为AD的中点,故D正确.

13.2　依题意,设抛物线的焦点为F,点Q的横坐标是x0(x0≥0),

则|QF|=x0+的最小值是=1,则p=2.

14.1　依题意,椭圆+y2=1(a>0)的左、右焦点分别为A(-a,0),B(a,0),

所以以A,B分别为左、右顶点的等轴双曲线C的方程为x2-y2=a2.

设双曲线上异于A,B的点P的坐标为(x,y)(x≠±a),

则直线PA,PB的斜率分别为k1=,k2=,

所以k1k2==1.

15.x2+y2-2y-9=0 　显然当AB为直径时,圆周长最小,此时圆心为,即(0,1),半径为,故圆的方程为x2+(y-1)2=10,即x2+y2-2y-9=0.

16.　∵点A(1,)在抛物线Γ:y2=2px上,

∴2=2p×1,解得p=1,

∴抛物线Γ的方程为y2=2x.

设B,y1,C,y2,则k1=,k2=,k3=,

.

17.解(1)已知A(0,1),B(-2,-1),C(5,3)三点,

所以AB的中点坐标D(-1,0),

故直线CD的方程为y=(x-1),整理得x-2y-1=0.

(2)由于A(0,1),B(-2,-1),

所以|AB|==2,

直线AB的方程为y-1=x,整理得x-y+1=0,

利用点C到直线AB的距离d=,

所以S△ABC=×2=3.

18.解(1)设抛物线的焦点F,0,

双曲线x2-y2=1的渐近线的方程为x±y=0,可得F到渐近线的距离d=,可得p=2,

所以抛物线的焦点F(1,0),

所以抛物线的方程为y2=4x.

(2)由题意可得椭圆的右焦点F(1,0),即c=1,设左焦点F'(-1,0),直线y=x关于原点对称,椭圆也关于原点对称,所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF'|=4,可得2a=4,即a=2,

可得b2=a2-c2=4-1=3,

所以椭圆的方程为=1.

19.解 (1)由题意得c=,则F1(-,0),F2(,0),

则2a=|PF1|+|PF2|==4,

则a=2,b==1,

故椭圆C的方程为+y2=1.

(2)设直线l的方程为x=my+(m>0),代入椭圆方程得(m2+4)y2+2my-1=0,

设M(x1,y1),N(x2,y2),

Δ=16(m2+1)>0恒成立,由根与系数的关系可得y1+y2=,y1y2=. ①

由=3,得y1=-3y2, ②

由①②可得m=.

故直线l的方程为2x-y+2=0.

20.(1)解 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线方程为x=-,

由抛物线的定义可得,|AF|=4+=5,

解得p=2,

即抛物线的方程为y2=4x.

(2)证明 设直线l:x=my+4,由题可知m≠0,A(x1,y1),B(x2,y2),

将x=my+4代入抛物线方程y2=4x,可得y2-4my-16=0,Δ=16m2+64>0恒成立,

y1+y2=4m,y1y2=-16,

x1x2==16,

即有x1x2+y1y2=0,则,则以AB为直径的圆必过坐标原点.

21.(1)解由题意可知,|x-2|,化简,得曲线C的方程为+y2=1,

联立直线与椭圆

消去y,整理得9x2+16x+6=0,则Δ=40.

O到直线PQ的距离d=,

所以△OPQ的面积S=,

所以△OPQ的面积为.

(2)证明当直线l的斜率不存在时,设直线l的方程x=m,解得Pm,,Qm,-,所以△OPQ的面积S=×|m|×2,

解得m2=1,

所以=2,=1,

当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,联立

消去y,整理得(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-1)=0,所以Δ=8(2k2-m2+1),

所以x1+x2=-,x1x2=,

所以|PQ|=.

O到直线PQ的距离d=,

所以△POQ的面积S=×|PQ|×d=,化简得2m2=2k2+1,

所以=(x1+x2)2-2x1x2==2,=1-+1-=1,

所以=2,=1.

22.(1)解 由条件可得

解得

所以椭圆的方程为=1,

其“卫星圆”的方程为x2+y2=12.

(2)证明 ①当l1,l2中有一条斜率不存在时,不妨设l1斜率不存在,因为l1与椭圆只有一个公共点,则其方程为x=2或x=-2,当l1方程为x=2时,此时l1与“卫星圆”交于点(2,2)和(2,-2),

此时经过点(2,2)或(2,-2)且与椭圆只有一个公共点的直线是y=2或y=-2,即l2为y=2或y=-2,

所以l1⊥l2,

所以线段MN应为“卫星圆”的直径,所以|MN|=4.

②当l1,l2的斜率都存在时,设点P(x0,y0),其中=12,设经过点P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线分别为y=t1(x-x0)+y0,y=t2(x-x0)+y0,统一记为y=t(x-x0)+y0,

联立方程组消去y,

整理得(1+2t2)x2+4t(y0-tx0)x+2(y0-tx0)2-8=0,

所以Δ=(64-8)t2+16x0y0t+32-8=0,

则方程的两根为t1,t2,

所以t1t2==-1,

满足条件的两直线l1,l2垂直.

所以线段MN应为“卫星圆”的直径,

所以|MN|=4.

综合①②知,弦长|MN|为定值4.