江西省吉安市吉安县城北中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

这是一份江西省吉安市吉安县城北中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是矩形D．有三个角是直角的四边形是矩形
2.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
3.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．B．C．D．9
4.不透明的袋子中装有3个红球、2个白球，除颜色外小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
5.如图，，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6.如图，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，，AE与CB的延长线交于点E，连接DE交AB于F，连接CF，下列结论中：①四边形AEBD是平行四边形；②；③若，则；④.正确的结论个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（共6小题）
7.方程的解是 .
8.如图所示，四边形ABCD是边长为2的菱形，，则四边形ABCD的面积为 .
9.如图，在中，，点D是AB的中点，，则 .
10.已知关于x方程有一个根为，则方程的另一个根为 .
11.在一个不透明布袋中装有红球、白球共50个，这些球除颜色外都相同.小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.7，则布袋中红球的个数大约是 .
12.如图，在中，，点D为BC上一点，过点B作AD的垂线交AD的延长线于点E，若，，，则线段BD的长为 .
三、解答题（共11小题）
13.
（1）
（2）
14.如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上的一点，连BD，DE，，，求证：四边形ABCD是菱形.
15.已知关于x的一元二次方程.
（1）若该方程的一个根为，求实数m的值；
（2）若该方程有实数根，求实数m的取值范围.
16.妈妈有白色、红色、灰色裙子各一条，有白色、灰色帽子各一顶，妈妈任意取出一条裙子和一顶帽子，请回答下列问题.
（1）妈妈取出红色裙子的概率为 .
（2）用画树状图或列表的方法求妈妈取出裙子和帽子恰好同色的概率.
17.已知线段a、b、c满足，且.
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求.
18.为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路.小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长.如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得.经测量，米，米，且点E到河岸BC的距离为60米.已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度.
19.下面证明直角三角形性质时的两种添加辅助线的方法，选择其中一种方法，完成证明.
20.小明学习电学知识后，用四个开关按键（每个开关键闭合的可能性相等）、一个电源和一个灯泡设计了一个电路图（1）若小明设计的电路图（四个开关按键都处于打开状态）如图所示，求任意闭合一个开关按键，灯泡能发光的概率；（2）若小明设计的电路图（四个开关按键都处于打开状态）如图所示，求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率.（用列表或树状图法）
图1图2
21.某商场计划购进甲、乙两种商品共80件进行销售，已知甲种商品的进价为120元/件，乙种商品的进价为80元/件，甲种商品的销售单价为150元/件，乙种商品的销售单价y（元/件）与购进乙种商品的数量x（件）之间的函数关系如图所示.
（1）求y（元/件）关于x（件）的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当购进乙种商品30件时，求销售完80件甲、乙两种商品获得的总利润；
（3）实际经营时，因原料材料价格上涨，甲、乙两种商品的进价均提高了10%，为保证销售完后总利润不变，商场决定将这两种商品的销售单价均提高m元，且m不超过乙种商品原销售单价的9%，求m的最大值.
22.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此，所以有；我们记“”即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：
（1）方程①；方程②这两个方程中，是倍根方程的是 （填序号即可）；
（2）若是倍根方程，求的值；
（3）关于x的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图像上，求此倍根方程的表达式.
23.小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若，则.”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
方案一：过点A作交BC于点M，过点B作交CD于点N；
方案二：过点A作交BC于点M，过点B作交CD于点N.
…
（1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图（1））.
图（1）
（2）如果把条件中“正方形”改为“长方形”，并设，（如图（2）），试探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论.
图（2）
（3）如果把条件中的“”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为（如图（3）），试求EG的长度.
图（3）
参考答案
1-5DACDCA
7.，
8.．
9.4
10.4
11.35
12.
13.，，
14.证明：在△BEC和△DEC中，
，
∴△BEC≌△DEC（SAS），
∴BC＝CD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
15.解：
（1）把代入x2－2x＋m2＝0得：，即，
解得：；
（2）∵该方程有实数根，
∴△≥0，即Δ＝（－2）2－4m2≥0，
解得－1≤m≤1．
16.；
由表知，共有6种等可能结果，其中妈妈取出裙子和帽子恰好同色的有2种结果，
所以妈妈取出裙子和帽子恰好同色的概率为．
17解：
（1）设，
则a＝3k，b＝2k，c＝6k，
所以，3k＋2×2k＋6k＝26，
解得k＝2，
所以，a＝3×2＝6，
b＝2×2＝4，
c＝6×2＝12；
（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴x2＝ab＝6×4＝24，
∴线段．
18解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
∴，
∵AF⊥BC，EG⊥BC，
∴AF∥EG，
∴△ACF∽△ECG，
∴，即，
解得AF＝80，
∴桥AF的长度为80米．
19解：
方法一：如图，延长CD到点E，使得DE＝CD，连接AE、BE，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∴AB＝CE，
∵，
∴；
方法二：如图，取BC的中点E，连接DE，
​
∵点D是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
∴∠DEB＝∠ACB＝90°，
∴DE是BC的垂直平分线，
∴CD＝DB，
∵，
∴．
20解：
（1）任意闭合一个开关按键，灯泡能发光的概率；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的结果数为6，
所以同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．
21解：
（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b．
将（20，120）和（60，100）代入y＝kx＋b，得
，解得．
∴y关于x的函数关系式为．
（2）当购进乙种商品30件时，则购进甲种商品80－30＝50（件）．
当x＝30时，．
根据题意，销售完80件甲、乙两种商品获得的总利润为30×（115－80）＋50×（150－120）＝2550（元）．
（3）根据题意，甲种商品进价为120×（1＋10%）＝132（元/件），
乙种商品的进价是80×（1＋10%）＝88（元/件）．
设购进乙种商品a件，那么购进甲种商品（80－a）件．
根据销售完后总利润不变，
有，整理得
a＝－20m＋240．
∵m不超过乙种商品原销售单价的9%，
∴，即，
整理得m≤（10m＋10）×9%，解得m≤9．
∴m的最大值为9．
22解：
（1）在方程①x2－x－2＝0中，；
在方程②x2－6x＋8＝0中，．
∴是倍根方程的是②x2－6x＋8＝0．
故答案为：②．
（2）整理（x－2）（mx＋n）＝0得：mx2＋（n－2m）x－2n＝0，
∵（x－2）（mx＋n）＝0是倍根方程，
∴，
∴4m2＋5mn＋n2＝0．
（3）∵是倍根方程，
∴，
整理得：m＝3n．
∵A（m，n）在一次函数y＝3x－8的图象上，
∴n＝3m－8，
∴n＝1，m＝3，
∴此方程的表达式为．
23.解：
（1）证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，
图（1）
∴AM＝HF，AN＝BC，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN
∴△ABM≌△ADN
∴AM＝AN，即EG＝FH
（2）结论：EG∶FH＝3∶2
证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，
图（2）
∴AM＝HF，AN＝EC，在长方形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN．
∴△ABM∽△ADN．
，
∵AB＝2，BC＝AD＝3，
∴；
（3）解：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N，
图（3）
∵，．
∴在Rt△ABM中，．
将△AND绕点A顺时针旋转90°到△APB．
∵EG与FH的夹角为45°，
∴∠MAN＝45°，
∴∠DAN＋∠MAB＝45°，即∠PAM＝∠MAN＝45°，
从而△APM≌△ANM，
∴PM＝NM．
设DN＝x，则NC＝1－x，．
在Rt△CMN中，
解得．
∴．
求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
已知：如图，在中，，点D是AB的中点.求证：
方法一
证明：如图，延长CD到点E，使得，连接AE、BE.
方法二
证明：如图，取BC的中点E，连接DE.
白
红
灰
白
（白，白）
（红，白）
（灰，白）
灰
（白，灰）
（红，灰）
（灰，灰）