辽宁省沈阳市东北育才学校少儿部2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试数学试题（含答案）

少儿部高三第一次模拟考试数学

一、单选题

1．非空集合，，，则实数m的取值范围为（        ）

A．    B．    C．    D．

2．设，则“”是“复数为纯虚数”的（        ）

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件  C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件

3．若，且，则的值是（        ）.

A．     B．     C．     D．

4．已知函数在区间的值域为，则（        ）

A．2     B．4     C．6     D．8

5．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种果树的高度随着栽种时间x（单位：年）变化的规律，若刚栽种（）时该果树的高为1.5m，经过2年，该果树的高为4.5m，则该果树的高度不低于5.4m，至少需要（        ）

A．3年     B．4年     C．5年     D．6年

6．设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（        ）

A．    B．    C．    D．

7．下列不等式正确的是（其中为自然对数的底数，，）（        ）

A．    B．   C．  D．

8．已知空间向量，，两两夹角均为60°，且，.若向量x，y满足，，则的最小值是（        ）

A．    B．     C．0     D．

二、多选题

9．将函数图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标缩短为原来的，再将所得的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（        ）

A．      B．的图像关于直线对称

C．的图像关于点对称    D．在上单调递增

10．已知a，b为正实数，且，则（        ）

A．ab的最大值为8        B．的最小值为8

C．的最小值为      D．的最小值为

11．定义在R上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（        ）

A．         B．函数关于对称

C．函数是周期函数       D．

12．已知，则（        ）

A．的极小值为

B．存在实数a，使有4个不相等的实根

C．若在上恰有2个整数解，则

D．当时，函数的最小值为1

三、填空题

13．已知，则的最小值为．

14．已知，则.

15．已知，则的取值范围是（精确0.1）．

16．已知点A在函数的图象上，点B在直线l：上，则A，B两点之间距离的最小值是．

四、解答题

17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.

（1）求角A的大小；

（2）若的面积，且，求.

18．展销会上，在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场．已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入R万元，且

（1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润＝销售收入－成本）

（2）当年产量为多少万时，该企业获得的利润最大，并求出最大利润．

19．已知函数．

（1）若关于x的方程在区间上恰有2个不同的实数解，求m的取值范围；

（2）设函数，若-，对总有成立，求n的取值范围．

20．已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若，存在，，对任意，有恒成立，求的最小值；

（3）若函数在内恰有2023个零点，求a与n的值.

21．如图所示，在中，在线段BC上，满足，O是线段的中点.

（1）当时，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，

①求的最小值；

②设的面积为，的面积为，求的最小值.

（2）若的面积为，，且，，…，，…，是线段BC的n等分点，其中，n、，，求的最小值.

22．已知函数，．

（1）当时，求证；

（2）令，若的两个极值点分别为m，n（），求证：．

参考答案：

1．A

【分析】由题知，进而构造函数，再根据零点存在性定理得，解不等式即可得答案.

【详解】解：

由题知，

因为，

所以，

所以，

故令函数，

所以，如图，结合二次函数的图像性质与零点的存在性定理得：

，即，

解得，

所以，实数m的取值范围为.

故选：A

2．C

【分析】求出为纯虚数时m的值，与比较，判断出结果

【详解】，复数为纯虚数，则，解得：，所以则“”是“复数为纯虚数”的充要条件

故选：C

3．C

【详解】由题设，，又，则，所以，应选答案C．

点睛：角变换是三角变换中的精髓，也是等价化归与转化数学思想的具体运用，求解本题的关键是巧妙地将一个角变为已知两角的差，再运用三角变换公式进行求解．

4．C

【分析】根据函数在上为奇函数知对称中心为，根据平移可知函数图象的对称中心，即可求解.

【详解】因为在上为奇函数，

所以函数图象关于原点对称，

因为，

是将上述函数图象向右平移2个单位，并向上平移3个单位得到，

所以图象关于对称，则，

故选：C

【点睛】本题主要考查了奇函数的对称性，函数图象的平移，利用对称性求解问题，属于中档题.

5．A

【分析】根据函数模型解析式，代入值得到方程组，解出k，b，则得到函数解析式，代入或列不等式均可.

【详解】由题意可得，，则，

解得，，所以，，

由函数的解析式可得，在上单调递增，且，

故该果树的高度不低于5.4m，至少需要3年.

故选：A.

6．C

【分析】根据为任意实数，转化为研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，求出函数在y轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，根据相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，列式可求出结果.

【详解】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，

令，得，则它在y轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，…，

则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，…，

故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，

所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，

即，解得.

故选：C

【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的以及区间是干扰因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在.

7．C

【分析】分别构造函数，利用导数求单调性即可求解.

【详解】

对于A，由，

考虑函数，，

因为，所以在上为增函数，

所以，，即，故A错误；

对于B，由，

考虑函数，，

因为，所以在上为增函数，

所以，所以在上恒成立，

因为，所以，即成立，

所以，故B错误；

对于C，由，

考虑函数，，

因为，所以在上为减函数，

因为，所以，，

所以，故C正确；

对于D，显然，

所以，故D错误．

故选：C

8．C

【分析】根据题意，取一个三棱锥，用其棱表示对应的向量，结合题中所给的条件，将相应的边长求出，之后应用空间向量运算法则，表示出对应的结果，从而判断出取最值时对应的情况，求值即可.

【详解】取一三棱锥O-ABC，，，，

且，，，

所以，，

设，，

因为，所以，即，

所以X在以AB为直径的球上，球半径为，设球心为D，

又由同理可知Y在以AC为直径的球上，球半径为，设球心为E，

球心距，所以两球相交，即X点与Y点可以重合，

又，

所以.

故选：C.

9．BCD

【分析】由平移和伸缩变换判断A，采用代入法判断BC，由正弦函数的单调性判断D.

【详解】

由题意得，，A错误；

，B正确；

因为，所以的图像关于点对称，C正确；

由，得，所以在上单调递增，D正确．

故选：BCD

10．ABC

【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可.

【详解】因为，当且仅当时取等号，

解不等式得，即，故ab的最大值为8，A正确；

由得，

所以，

当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8，B正确；

，

当且仅当，即时取等号，C正确；

，

当且仅当时取等号，此时取得最小值，D错误．

故选：ABC．

11．ACD

【分析】

由为奇函数可得，由取导数可得，结合条件可得，判断B，再由条件判断函数，的周期，由此计算，判断C，D.

【详解】因为为奇函数，所以，

取可得，A对，

因为，所以

所以，又，即，，

故，

所以函数的图象关于点对称，B错，

因为，所以

所以，c为常数，

因为，所以，

所以，取可得，

所以，又，即，

所以，所以，

所以，故函数为周期为4的函数，

因为，所以，，

所以，

所以

，

所以，

故的值为0，D正确；

因为，即

故函数也为周期为4的函数，C正确.

故选：ACD.

【点睛】本题的关键在于结合，，且为奇函数三个条件，得到函数，的周期，利用对称性和周期性判断各个选项.

12．ACD

【分析】根据题意，利用导数研究函数的性质，即可画出其函数图像，即可判断A，换元令，由二次函数根的分布列出不等式，即可判断B，列出不等式求解，即可判断C，求导得到函数的极值，即可判断D.

【详解】

当时，，

∴当时，，

∴在上单调递减；

当时，，

∴在上单调递增，的极小值为；

同理可得，当时，在上单调递增；在上单调递减，的极大值为，

∴的图像大致如图所示，由图可知A正确；

令，则有两个实根，，且，，

则令，

∴，

∴，

∴，所以无解，故B错误；

由，得，故C正确；

，则，由，知，

设，则在上单调递增，又，，

所以存在，使得，，

所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以，故D正确.

故选：ACD.

13．4

【分析】由于，可得，而已知，代入可求得的最小值.

【详解】，

∴，

当且仅当，即时，等号成立．

14．2

【分析】逆用两角和与差的正切公式即可.

【详解】.

故答案为：2.

15．

【分析】根据对数的换底公式和运算性质进行求解即可.

【详解】，

，

所以，

故答案为：

16．

【分析】分析函数单调性得图象，确定A，B两点之间距离的最小值的情况，利用导数的几何意义可得切线方程，从而求得最小距离.

【详解】由题意可得，令得

所以当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，所以，

所以的图象如下图：

要使得A，B两点之间距离最小，即直线与l平行时，当直线与曲线相切时，与l的距离即为A，B两点之间最小的距离，

令，解得．由，

所以直线的方程为，即

则与l的距离，

则A，B两点之间的最短距离是．

故答案为：．

17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【详解】试题分析：

（Ⅰ）由余弦定理把已知条件化为，再由正弦定理化为角的关系，最后由两角和与差的正弦公式及诱导公式可求得，从而得A角；

（Ⅱ）由三角形面积公式求得，再由余弦定理可求得，从而得，再由正弦定理得，计算可得结论.

试题解析：

（Ⅰ）因为，

所以由，即，

由正弦定理得，即，

∵，

∴，即，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴.

（Ⅱ）∵，

∴，

∵，，

∴，即，

∴.

18．

（1）

（2）当年产量为25万台时，该公司获得的利润最大为1490万元．

【分析】

（1）根据利润＝销售收入－成本结合已知条件求解即可，

（2）分和求出S的最大值，比较即可得答案.

【详解】

（1）当时，

，

当时，

，

综上，，

（2）当时，，

函数的对称轴是，则函数在上递增，

所以当时，函数取得最大值1450；

当时，，

当且仅当，即时取等号，此时S的最大值为1490，

因为

所以当年产量为25万台时，该公司获得的利润最大为1490万元．

19．

（1）；

（2）.

【分析】

（1）由方程解的意义，求出曲线与直线在区间上恰有2个交点的m取值范围作答.

（2）由（1）的信息，再求出函数在上的最小值推理作答.

【详解】

（1）函数，，由得，

依题意，曲线与直线在区间上恰有2个交点，

，当时，，当时，，因此函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

当时，取最小值，最小值为，，，

又，

所以.

（2）由，总有成立知，

函数在上的最小值不大于函数在上的最小值，即，

由（1）知，在区间上，，

当时，，

当时，，

当时，，

因此函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

于是，

则有，即，

所以n的取值范围是.

20．

（1）

（2）

（3），，或，

【分析】

（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简，结合三角函数增区间求法计算即可；

（2）根据题意写出函数，结合平方关系进行换元，结合新元范围与二次函数的知识求解最值，得到，进而得到答案；

（3）将原题意转化为，令，则（），再分类讨论进行取舍即可得到答案.

【详解】

（1）

令，

得

∴函数的单调递增区间为

（2）

令（），

则

可得，当即时，；

当即时，

∵存在，，对任意，

有恒成立，

∴为的最小值，为的最大值，

∴，，

∴，

∴.

（3）令，

方程可化为，

令，则，

当时，，，此时函数在上有n个零点，

∴，适合题意；

当时，m在内有一解，

在或内有一取值，则此时函数在上有2n个零点，不适合题意；

当时，，，此时函数在上有个零点，

∴，适合题意；

当时，或，或，则此时函数在上有3n个零点，不适合题意；

当时，m在和内各有一解，在和内各有一取值，

则此时函数在上有4n个零点，不适合题意；

当时，，，则此时函数在上有2n个零点，不适合题意.

综上所述，，，或，.

【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的综合应用问题.关键点在于换元法的运用，例如（2）中令（），则，进而转化为二次函数；第（3）中方程可化为，令，则，通过换元进而由繁化简进行求解.本题考查转化与化归、分类与整合能力，属于难题.

21．

（1）①；②

（2）

【分析】

（1）①根据题意，将，作为基底表示，由E，O，F三点共线可知，，的系数之和为1可得，的关系，再利用基本不等式即可得解；

②利用三角形的面积公式结合条件可得，然后利用基本不等式求解即可；

（2）设D为BC的中点，从而可得，则，再结合基本不等式求解即可.

【详解】

（1）①因为，所以，

又，

因为E，O，F三点共线，所以，

所以，

当且仅当取等号，

所以的最小值为；

②，

又由①知，

所以

所以，

当且仅当，即，时，取等号，

所以的最小值为；

（2）设D为BC的中点，则，

所以，

所以，

又，，

所以，

所以，

当且仅当时，取等号，

所以的最小值为.

【点睛】关键点点睛：将，作为基底表示，由E，O，F三点共线可知，，的系数之和为1可得，的关系，是解决本题的关键.

22．

（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】

（1）通过作差构造函数，利用二次求导法进行求解即可；

（2）通过作差构造函数，利用多次求导法、结合曲线的切线的性质、极值点的定义进行求解即可.

【详解】

（1）令，

则，

令，则，

所以在上单调递增，则，

所以在上单调递增，则，

所以；

（2）由题可得，

则．

令，

当时，，则，

令，则，

所以在R上单调递减，

又，，

所以存在，使得，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

又，所以，，

因为，，

所以曲线在处的切线方程为，

在处的切线方程为．

令，

则，

令，则，

所以在R上单调递增，

又，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，

即；

令，

则，

令，则，

所以在R上单调递增，

又，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，

即．

所以当时，曲线在，处的切线，均不在图象的下方，

所以，

，

得，．

所以，

即．

【点睛】关键点睛：多次求导，根据曲线切线的性质、极值点的定义是解题的关键.