四川省仁寿第一中学北校区2023-2024学年高三理科数学上学期9月月考试题（Word版附解析）

这是一份四川省仁寿第一中学北校区2023-2024学年高三理科数学上学期9月月考试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
仁寿一中北校区2021级高三上学期9月月考试题理科数学本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．2023年9月一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每个小题仅有一个正确选项．1. （    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法可求.【详解】，故选：D. 2. 已知集合，，那么等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据补集的运算，可得答案.【详解】由题意，，则.故选：B.3. 设数列是等差数列，是数列的前n项和，，，则等于（    ）A. 10 B. 15 C. 20 D. 25【答案】B【解析】【分析】根据给定条件求出等差数列的首项及公差即可得解.【详解】因数列是等差数列，由等差数列的性质知：，而，则，等差数列公差，首项，则.故选：B.4. 若实数，满足，则的最大值为（    ）A. 8 B. 7 C. 2 D. 1【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，再结合图象求出目标函数的最值.【详解】由约束条件作出可行域，如图：联立 ，解得由，得，为直线的纵截距.由图可知，当直线过点时，直线的纵截距最大，且.故选：B.5. 已知直线m，n及平面，则“”是“”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由充分条件与必要条件求解即可【详解】由题意可知：当时，与可能平行，也可能相交，故充分性不成立；当时，成立，故必要性成立；所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B6. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）A. 函数是偶函数 B. 函数是增函数C. 函数是周期函数 D. 函数的值域为【答案】D【解析】【分析】根据偶函数的定义、余弦函数的性质、二次函数的性质，可得答案.【详解】对于A，当时，，，故A错误；对于B，由余弦函数的性质，易知函数在上不单调，故B错误；对于C，由二次函数的性质，易知函数在上为增函数，故C错误；对于D，由，且当时，，则，故D正确.故选：D.7. 已知，都为锐角，，，则等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由同角三角函数的基本关系可得和，代入，计算可得．【详解】解：，都是锐角，，，，，故选：A．8. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】设圆柱的底面半径为，利用勾股定理求出，再根据圆柱的体积公式计算可得.【详解】设圆柱底面半径为，则，解得或（舍去），所以圆柱的体积.故选：C9. 设，则的大小关系为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.【详解】因，，，所以.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.10. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，将变形可得，由基本不等式的性质可得的最小值为2，由题意得，解不等式即可得答案．【详解】根据题意，两个正实数x，y满足，变形可得，即则有，当且仅当时，等号成立，则的最小值为2，若不等式有解，则有，解可得或，即实数m的取值范围是．故选：D．11. 四名同学各掷骰子5次，并各自记录每次骰子出现的点数，分别统计四名同学的记录结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（    ）A. 平均数为3，中位数2 B. 中位数为3，众数为2C. 中位数为3，方差为2.8 D. 平均数为2，方差为2.4【答案】D【解析】【分析】根据题意举出特例，结合中位数，众数，平均数以及方差公式，即可得出答案．【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；对于C，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：，方差为，可以出现点数6，故C错误；对于D，若平均数为2，且出现6点，则方差，则平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故D正确．故选：D．12. 设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得，令，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直线下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案．【详解】函数的定义域为，由，得，所以，令，由题意知，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，由，得，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以，没有最小值，由，得，当时，在上单调递增，在上单调递减，所以有最大值，无最小值，不合题意，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以即，所以，即m的取值范围为．故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，满分20分．13. 展开式中项的系数为___________（用数字作答）【答案】【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式计算出正确答案.【详解】展开式的通项公式为，令得，所以展开式中项的系数为.故答案为：14. 已知向量，满足，，则向量与的夹角为________．【答案】####【解析】【分析】根据条件求出的坐标，然后可得答案.【详解】因为，，所以所以所以向量与的夹角为故答案为：15. 已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________．【答案】【解析】【详解】试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为． 16. 设函数，有下列结论：①的图象关于点中心对称；    ②的图象关于直线对称；③在上单调递减；    ④在上最小值为，其中所有正确的结论是______．【答案】②③【解析】【分析】整理化简解析式可得，根据正弦函数的相关性质逐一进行判断即可．【详解】，当时，，则的图象关于点中心对称，故①错误；当时，，则的图象关于直线对称，故②正确；由，得，当即时，函数单调递减，则当时，函数单调递减，故③正确；当时，，可知函数在上单调递增，∴的最小值为，故④错误．故答案为：②③．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17. 等比数列中，.（1）求的通项公式；（2）记为的前项和若，求.【答案】（1）或    （2）【解析】【分析】（1）根据题意求出公比，再根据等比数列的通项即可得解；（2）根据等比数列前项和公式计算即可.【小问1详解】设公比为，由，得，解得，所以或；【小问2详解】当时，，解得，当时，，即，方程无解，综上所述，.18. 在中，角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）若面积为，且，求的周长.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知条件结合余弦定理可求cosA的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sinA的值．（2）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得b＝3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长．【详解】（1）∵，∴由余弦定理可得2bccosA＝bc，∴cosA＝，∴在△ABC中，sinA＝＝．（2）∵△ABC的面积为，即bcsinA＝bc＝，∴bc＝6，又∵sinB＝3sinC，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，则a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6，，所以周长为.【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19. 如图，在四棱锥中，⊥平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】(1)构造平行四边形找到平行线，利用线面平行的判定定理即可；(2) 建立空间直角坐标系，根据空间向量计算二面角的余弦值，进而求正弦值；【小问1详解】如图，取的中点为，连接,因为为的中点，所以,所以四边形为平行四边形，所以,因为平面，平面，所以平面，【小问2详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则,设，所以 因为，所以，解得，所以，设平面和平面的法向量分别为 所以,即，令，则有，所以同理,即，令，则有，所以设二面角为 ，则，.所以面角的正弦值.20. 某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.现从该地区已选科的学生中随机选出200人，对其选科情况进行统计，选考物理的占，选考政治的占，物理和政治都选的有80人.（1）完成选考物理和政治的人数的列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为考生选考物理与选考政治有关？ 选考政治的人数没选考政治的人数合计选考物理人数   没选考物理的人数   合计    （2）在该地区已选科的考生中随机选出3人，这3人中物理和政治都选了的考生的人数为X，视频率为概率，求X的分布列和数学期望.附：参考数据和公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中.【答案】（1）列联表见解析，可以    （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据题意完成列联表，再计算出与比较即可得出判断；（2）因为任取一人物理和政治都选了的概率，且，所以根据二项分布的概率计算公式列出分布列计算数学期望即可.【小问1详解】根据题意，选考物理的考生有人，选考政治的考生有人，列联表补充完整如下： 选考政治的人数没选考政治的人数合计选考物理的人数8040120没选考物理的人数701080合计15050200因为，所以在犯错误概率不超过的前提下，可以认为考生选考物理与选考政治有关.【小问2详解】在该地区已选科的考生中随机选出1人，则物理和政治都选了的概率，易知，随机变量服从二项分布，即，所以可取0，1，2，3，，，，.分布列如下：0123则.21. 已知函数（其中为自然对数的底数）.（1）讨论函数的导函数的单调性；（2）设，若x＝0为g（x）的极小值点，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析；    （2）.【解析】【分析】（1）先求导，再对利用导数分两种情况求函数的单调区间；（2）求出，令，则，令，再对分两种情况讨论分析得解.【小问1详解】解： ，令，则，①当时，，②当时，时，，时，；综上，当时，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数；【小问2详解】解：，则，，令，则，令，则，当时，，，故，是减函数，所以.①当，即时，，即在上是减函数，不符合是极小值，舍去；②当，即时，因为是减函数，且，，所以，使得，当时，，即是增函数，所以，即在上是增函数；当时，，使得，是减函数，故，从而是增函数，所以，即在上是减函数.综上，的取值范围是.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多选，那么按所做的第一题计分．22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点P的直角坐标为，求的值．【答案】（1）曲线C的普通方程为 ，直线l的直角坐标方程为 ；    （2）2【解析】【分析】（1）对于曲线C，消去参数，对于直线l，运用极坐标和直角坐标转换公式即可；（2）联立C与l方程，求出A，B点坐标，运用两点距离公式计算即可.【小问1详解】对于C： ， 得： ，代入①得： ，化简得： ，是等轴双曲线；对于l，根据极坐标与直角坐标转换公式： 得： ；【小问2详解】由（1）的结论，直线l经过 ，即点P在l上，联立方程： ，将④代入③得： ，解得 ， ，不妨设 ，则 ， ， ；综上，曲线C的普通方程为，直线l的直角坐标方程为， .23. 不等式的解集为．（1）求n值；（2）设a，b，，且，求的最大值．【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）分类讨论解绝对值不等式即可求得参数值；（2）根据（1）中所求，结合柯西不等式求解即可.【小问1详解】当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，不等式恒成立，满足题意；当时，原不等式等价于，解得；综上所述，不等式解集为，故.【小问2详解】根据（1）中所求，，故，即，故，
当且仅当，且时，也即时取得等号.故的最大值为.