黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2023-2024学年高三上学期九月月考数学试题（含答案）

这是一份黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2023-2024学年高三上学期九月月考数学试题（含答案），文件包含高三月考数学试题答案docx、高三月考数学试题docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
哈工大附中2023-2024学年度第一学期九月月考试 答案一、单选题（每题5分，共40分）1．已知全集，集合，，则]（    ）A． B．C． D．2．在等差数列中，其前项和为，若是方程的两个根，那么的值为（    ）A． B． C． D．3．设，则“”是“复数为纯虚数”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．江南的周庄、同里、用直、西塘、乌镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外，这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处．某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为（    ）A． B． C． D．5．新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下表：研发投入（亿元）12345产品收益（亿元）3791011用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程是，相关系数（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高），下列说法不正确的有（    ）A．变量与正相关且相关性较强B．C．当时，的估计值为40.3D．相应于点的残差为0.86．已知等差数列的前n项和为有最小值，且，则使成立的正整数n的最小值为（     ）A．9 B．10 C．17 D．187．已知平面向量的夹角为，且，则与的夹角是（    ）A． B． C． D．8．符号表示不超过实数的最大整数，如，.已知数列满足，，.若，为数列的前项和，则（    ）A． B． C． D．二、多选题（选对5分，漏选2分，错选0分，共20分）9．下列说法正确的是（    ）A．两个变量的线性相关性越强，则变量的线性相关系数越大B．随机变量，则C．抛掷两枚质地均匀的硬币，在有一枚正面朝上的条件下，另外一枚也正面朝上的概率为D．设随机变量，则10．已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程可以为（    ）A． B． C． D．11．甲箱中有4个红球、4个黄球，乙箱中有6个红球、2个黄球（这16个球除颜色外，大小、形状完全相同），先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“在甲箱中取出的球是红球”为事件，“在甲箱中取出的球是黄球”为事件，“从乙箱中取出的球是黄球”为事件B．则下列说法正确的是（    ）A．与是互斥事件 B．C． D．与B相互独立12．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（    ）  A．该圆台轴截面面积为B．该圆台的体积为C．该圆台的外接球体积为D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为5cm 三、填空题（每题5分，共20分）13．已知的展开式中二项式系数和是64，则展开式中x的系数为．14．等比数列的前项和，则的值为.15．请写出一条同时满足下列两个条件的直线方程：.①过抛物线的焦点；②与圆相交所得的弦长为.16．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），当时，．四、解答题（共计70分，其中17题10分.18-22题每题12分）17．在中，角，，所对的边分别为，，，，.(1)求的面积；(2)若，求的周长.18．某酱油厂对新品种酱油进行了定价，在各超市得到售价与销售量的数据如表：单价x（元）55.25.45.65.86销量y（瓶）9.08.48.38.07.56.8(1)求售价与销售量的回归直线方程：(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/瓶，为使工厂获得最大利润（利润＝销售收入－成本），该产品的单价应定为多少元？相关公式：（参考数据，）19．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，平面平面，，，，  (1)证明：；(2)求与平面所成的角的正弦值．20．已知等比数列的前项和为，，且满足，.(1)求的通项公式；(2)设，的前项和为，求使成立的的最大值.21．数据中心是全球协作的特定设备网络，用于在网络上处理、存储和传递数据信息．由于数据中心对算力的要求很高，在高速运转时往往会产生巨大的热量．如果不对设备进行散热，会对设备的正常运作造成不可忽视的影响．氟化液是最为适合浸没式液冷系统的电子设备冷却液．由于氟化液技术壁垒较高，此前高性能电子氟化液长期被国外垄断.2020年巨化集团技术中心成功开发出高性能巨芯冷却液，填补了国内高性能大数据中心专用冷却液的空白．一工厂生产某型号的氯化液其抗张强度⩾100Mpa为合格品，否则为不合格品．该厂有新旧两套生产设备同时生产，按两设备生产量分层抽样进行检测，其中新设备和旧设备生产的产品中分别抽取了12桶和8桶，测得每桶抗张强度值（单位：Mpa）如下表所示：甲103.1102.0100.9103.5104.699.9100.5100.7105.798.6103.2104.1乙101.3101.6105.199.5102.8103.699.598.5    (1)根据抽检结果请完成下面的列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析新设备是否比旧设备好． 合格（桶）不合格（桶）合计新设备   旧设备   合计   (2)从旧设备产品抽得的样本中随机抽取3桶，求抽到的不合格桶数的分布列和数学期望；(3)从该厂所有产品中任取一桶，用抽检频率估计概率，求抽到的一桶不合格的概率．参考公式：，其中．0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.02422．已知数列，是数列的前项和，满足；数列是正项的等比数列，是数列的前项和，满足，（）.(1)求数列和的通项公式；(2)记 ，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 参考答案：1．D【分析】根据题意，由集合的运算，即可得到结果.【详解】因为，，所以.故选：D2．D【分析】由根与系数关系得，再根据等差数列前n项和公式、下标和性质求.【详解】由题设，而.故选：D3．A【分析】由复数的类型求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若复数为纯虚数，则，解得或，所以由能够推得出复数为纯虚数，即充分性成立，又复数为纯虚数推不出，故必要性不成立，所以“”是“复数为纯虚数”的充分不必要条件.故选：A4．C【分析】应用组合数求出所有可能情况数，应用古典概型的概率求法、对立事件概率求法求概率即可.【详解】从这6个古镇中挑选2个去旅游的可能情况有种情况，至少选一个苏州古镇的概率为．故选：C5．D【分析】根据相关系数可判断A；求出代入回归方程可判断B；将代入线性回归方程可判断C；求出相应于点的残差可判断.【详解】对于A，由相关系数可知变量与正相关且相关性较强，故A正确；对于B，由表中数据可得，所以，解得，故B正确；对于C，关于的线性回归方程为，将代入线性回归方程可得，，故C正确；对于D，相应于点的残差为，故错误.故选：D.6．D【分析】根据题意可得且，结合等差数列的单调性可得且，再利用等差的下标和性质运算求解.【详解】由题意可知：等差数列的前n项和为有最小值，则且，所以数列是递增数列，可得是过原点的二次函数式，且开口向上，因为，可得，则又因为，可得，则，所以使成立的正整数n的最小值为18.故选：D.7．B【分析】根据题意，分别求得可得，且，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】由平面向量的夹角为，且，可得，且，设向量与的夹角为所以，因为，可得，即与的夹角为.故选：B.8．B【分析】由变形可推出数列为等比数列、为常数列，求出这两个数列的通项公式，可求出数列的通项公式，求得，利用裂项相消法可求出，结合题中定义可求得的值.【详解】因为，则，且，所以，数列是首项为，公比也为的等比数列，所以，，①由可得，且，所以，数列为常数列，且，②由①②可得，因为，，则，所以，，所以，，所以，，所以，，因此，.故选：B.9．BD【分析】对于A，根据相关系数与变量之间相关性关系，可得答案；对于B，根据二项分布的方差计算公式，结合方差的性质，可得答案；对于C，根据条件概率的公式，以及古典概型的公式，可得答案；对于D，根据正态分布的概率对称性，可得答案.【详解】当两个变量线性负相关关系越强时，相关系数越趋近于，A错误；因为，所以，所以，B正确；抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件为有一枚正面朝上，事件为另一枚也正面朝上，则，C错误；时，，又，D正确.故选：BD.10．BC【分析】设切点坐标，利用导数求得切线方程，代入已知点的坐标，求解切点横坐标，则答案可求.【详解】由，得， 设切点坐标为，则，  则过切点的切线方程为，把点代入，可得，整理得：，即或.当时，切线方程为;当时，切线方程为.故选：BC.11．AC【分析】根据互斥事件的定义可判断A正确；根据条件概率公式计算可判断B错误；根据全概率公式计算可判断C正确；根据可判断故D错误．【详解】从甲箱中摸一个球，红球与黄球不可能同时出现，所以与是互斥事件，故A正确；由题意知，，所以，故B错误；，所以，故C正确；因为，故D错误．故选：AC．12．BD【分析】利用梯形的面积公式，可判定A错误；由圆台的体积公式，准确计算，可判定B正确；利用球的截面圆的性质，列出方程组，求得外接球的半径，进而求得外接球的体积，可判定C错误；把圆台补充圆锥，利用侧面展开图，结合勾股定理，可判定D正确.【详解】对于A中，由，且，可得，高，则圆台轴截面的面积为，所以A不正确；对于B中，圆台的体积为，所以B正确；对于C中，设圆台的外接球的球心为，半径为，连接，设，在直角中，可得，在直角中，可得，即，解得，即与重合，所以，所以外接球的体积为，所以C不正确.对于D中，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm，侧面展开图的圆心角.设的中点为P，连接，可得，则，所以沿着该圆台表面，从点C到中点的最短距离为5cm，所以D正确.故选：BD.  13．60【分析】手续爱你根据二项式系数和公式求出，再利用二项展开式的通项公式即可得到答案.【详解】由题意得，解得，则的二项展开式通项为，令，解得，则x的系数为，故答案为：60.14．【分析】根据等比数列的前项和公式，求，再结合等比数列的性质，列式求解.【详解】根据题意，等比数列的前项和，则，，则有，解可得，故答案为：15．（或）【分析】利用抛物线的概念及圆的弦长公式分类讨论计算即可.【详解】易知抛物线的焦点为，圆方程可化为，则圆心，半径，由直线与圆相交弦长为，可得圆心到直线距离为，当斜率不存在时，满足条件.当斜率存在时，可设，则，解之得，此时l：，综上l方程为：或.故答案为：(或).16．265【分析】首先根据题意得到，再根据求解即可.【详解】，，，所以．所以．故答案为：26517．(1)(2)3 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的真想公司化简，可得，利用三角形面积公式即可求得答案；（2）由余弦定理推出，继而求出的值，即可得答案.【详解】（1）由已知，在中有，故，即，即，而，所以，又，故的面积为.（2）由余弦定理，得，可得，所以，所以，即，所以的周长为3.18．(1)．(2)． 【分析】（1）根据已知条件，结合最小二乘法公式，以及线性回归方程的公式，即可求解；（2）设工厂获得的利润为L元，先求出利润为L的表达式，再结合二次函数的性质，即可求解．【详解】（1）由表中数据可得，，，，，则，，故回归直线方程为．（2）设工厂获得的利润为L元，则，二次函数开口向下，对称轴为，当时，L取得最大值，所以为使工厂获得最大利润（利润＝销售收入－成本），该产品的单价应定为元．19．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取AD中点D，连结PO，CO，证得，，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：取AD中点O，连结PO，CO，因为是等边三角形，所以．又因为，，所以，因为，所以是等边三角形，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以．（2）解：由平面平面，平面平面，且平面，所以平面，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 在中由余弦定理：，因为，可得，解得，可得，，，，所以，，．设平面的一个法向量，则，取，可得，所以，设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成的角的正弦值为．  20．(1)(2)5 【分析】（1）求首项、公比，从而求得；（2）利用错位相减求和法求得，解不等式.【详解】（1）设等比数列的公比为，依题意，，则.，则，得，所以，所以，所以，所以.（2）由（1）得，得，得，两式相减得，所以.由，得，当时，左边，当时，，所以的最大值为5.  21．(1)填表见解析；认为产品合格与设备新旧无关(2)分布列见解析；期望为(3) 【分析】（1）根据新设备抽到合格品10桶，不合格品有2桶，旧设备抽到合格品6桶，不合格品有2桶，得到列联表，然后根据列联表求得，与临界值表对照下结论；（2）根据题意得到，分别求得相应概率，列出分布列，再求期望.（3）根据新旧设备加工的产量比例为，得到该厂所有产品中新设备生产的占比为，旧设备生产的占比为．新设备的不合格率为，旧设备的不合格率，再利用全概率公式求解.【详解】（1）解：由题意，该型号氯化液其抗张强度⩾100Mpa为合格品，否则为不合格品，根据图表中的数据，可得新设备抽到合格品10桶，不合格品有2桶，旧设备抽到合格品5桶，不合格品有3桶，得到列联表： 合格（桶）不合格（桶）合计新设备10212旧设备538合计15520零假设为：设备新旧与产品合格独立，即设备新旧与产品合格没有关系．根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为产品合格与设备新旧无关．（2）由（1）知旧设备合格品5桶，不合格品有3桶，所以从中随机抽取3桶，,30123故的期望为．（3）由题意，知新旧设备加工的产量比例为，所以该厂所有产品中新设备生产的占比为，旧设备生产的占比为．新设备的不合格率为，旧设备的不合格率．设“任取一桶产品不合格”，“产品为新设备生产”，“产品为旧设备生产”得，，，．由全概率公式得：，所以从该厂所有产品中任取一桶，该桶不合格的概率为．22．(1)，(2) 【分析】（1）根据与的关系求的通项公式，根据条件求等比数列公式得的通项公式；（2）用裂项求和求得数列中的奇数项的和，用等差数列求和得中的偶数项的和， 通过讨论的奇偶性求得恒成立时的取值范围．【详解】（1）依题意；当时，；当时，适合上式，所以数列的通项公式.    又因为，数列为等比数列，  所以，解得或（舍去），所以；（2）由题意可知，，；由已知 设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为，所以，，当为奇数时，   ，所以，  当为偶数时，，所以，由，得，即， 当为偶数时，对一切偶数成立，当 时， 为最小值，所以，当为奇数时，对一切奇数成立，当 时， 为最大值，所以此时，故对一切恒成立，则．