河南省焦作市博爱县第一中学2023-2024学年高二上学期第一次半月考数学试题（含答案）

2022级高二上学期第一次半月考数学试卷

时间：120分钟  满分：150分  命卷人：  审核人：

一、选择题（每小题5分，共8小题40分）

1.经过两点，的直线的斜率为（        ）

A.     B.     C.     D.

2.从点射出的光线经过直线反射后的反射光线射到点上，则该束光线经过的最短路程是（        ）

A.    B.     C.     D.2

3.双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（        ）

A.     B.    C.     D.

4.顶点在原点，准线方程为的抛物线方程为（        ）

A.   B.   C.    D.

5.已知圆截直线所得弦长为4，则实数a的值是（        ）

A.     B.     C.     D.

6.已知双曲线的一条渐近线方程为，虚轴长为2，则该双曲线的焦距为（        ）

A.2      B.4      C.2或    D.4或

7.已知直线：与：平行，则实数a的值为（        ）

A.或2    B.0或2     C.2      D.

8.已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，若椭圆C上存在点A，满足，则椭圆离心率的取值范围是（        ）

A.    B.    C.    D.

二、多选题（每小题5分，共4小题20分）

9.已知点P在直线上，且点P到直线的距离为，则m的值可能是（        ）

A.     B.10     C.5      D.0

10.若三条直线，，交于一点，则a的值为（        ）

A.     B.3      C.1      D.2

11.过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（        ）

A.

B.AB所在直线的方程为

C.四边形PACB的外接圆方程为

D.的面积为

12.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P是椭圆上的点，若满足的点P恰有2个，则内切圆半径可能为（        ）

A.     B.     C.     D.

三、填空题（每小题5分，共4小题20分）

13.在以O为中心，、为焦点的椭圆上存在一点M，满足，则该椭圆的离心率为

14.已知直线l过点，在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程为.

15.已知两点，，点P满足，则点P的轨迹方程为.

16.抛物线C：的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则.

四、解答题（第17题10分，第18，19、20、21、22题各12分，共6小题70分）

17.如图，直角三角形ABC的顶点坐标，直角顶点，顶点C在x轴上．

（1）求直线BC的斜率及点C的坐标；

（2）为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程．

18.已知直线与直线交于点P.

（1）求过点P且平行于直线的直线的方程，并求出两平行直线间的距离；

（2）求过点P并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程.

19.双曲线C：，右焦点为.

（1）若双曲线C为等轴双曲线，且过点，求双曲线C的方程；

（2）经过原点O倾斜角为45°的直线l与双曲线C的右支交于点M，是以线段OF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率.

20.已知动点M到点的距离是它到点的距离的一半，求：

（1）动点M的轨迹方程；

（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．

21.已知圆C：.

（1）已知直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于、两点，求证：为定值；

（2）斜率为l的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使的面积最大.

22.已知椭圆C：的离心率为，且椭圆C过点，直线l：与椭圆C相交于A，B两点，圆是以为AB直径的圆.

（1）求椭圆C的方程；

（2）记O为坐标原点，若点O不在圆内，求实数k的取值范围.

2022级高二上学期第一次半月考数学试卷答案解析

第1题答案

B

第1题解析

经过两点，的直线的斜率为：；故选：B.

第2题答案

A

第2题解析

由题意可得，设点关于直线的对称点，所以，所以点在反射光线上，故光线从P到所经过的最短路程是线段

.

第3题答案

D

第3题解析

由题可知，所以.

第4题答案

D

第4题解析

的准线方程是.

第5题答案

C

第5题解析

圆截直线所得弦长为4，

易知，弦心距，

根据勾股定理可得，即得.

第6题答案

D

第6题解析

设双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c.

当焦点在x轴上时，双曲线的方程为，渐近线方程为，

∵已知双曲线的一条渐近线方程为，

∴，

又∵虚轴长，

∴，，

∴，

∴焦距；

当焦点在y轴上时，双曲线的方程为，渐近线方程为，

∵已知双曲线的一条渐近线方程为，

∴，

又∵虚轴长，

∴，，

∴，

∴焦距.

故选：D.

第7题答案

D

第7题解析

已知两直线平行，可得，即，解得或.

经过验证可得：时两条直线重合，舍去.

∴.

故选：D.

第8题答案

D

第8题解析

因为，

所以，

所以.

若存在点A使，则，，，

又因为，所以.

故本题正确答案为D.

第9题答案

B，D

第9题解析

依题意可设，则点P到直线的距离为，

解得或0，故答案选B、D.

第10题答案

C，D

第10题解析

联立，，即，解得，

∵三条直线，，交于一点，

∴把代入，解得或2.

第11题答案

B，C，D

第11题解析

因为，所以以P为圆心，PA为直径的圆交圆于A，B两点，

因为，

又因为以P为圆心，PA为半径的圆为，与相减得，

所以AB所在直线的方程为，故B正确；

连接OP交AB于H，等面积法可得，即，所以，即，所以，故A错误；

四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆，故圆心为，半径为的圆，

故方程为，即，故C正确；

因为，

所以，故D正确.

第12题答案

A，B，D

第12题解析

满足的点A在以线段为弦，所含圆周角为60°的两段圆弧上（不含弧的端点），圆弧在直线两侧，如图，

因P是椭圆上的点，且满足的点P恰有2个，则上述每段圆弧与椭圆仅只一个公共点，

而椭圆上的点到中心O距离最小的点是短轴端点，于是得圆弧与椭圆的公共点是短轴端点，

因此，短轴的一个端点与二焦点、围成正三角形，

又，则有短半轴长，，

于是得椭圆O的方程为，，

设内切圆半径为r，

从而得面积，

设点P的纵坐标为，

则有，

当且仅当点P为短轴端点时取“＝”，

于是得，即，

所以内切圆半径的最大值为，

故选ABD.

第13题答案

第13题解析

解答：延长MO与椭圆交于N，因为MN与互相平分，所以四边形是平行四边形，

所以，

因为，

因为，，，

所以，

所以，

所以，故选C．

第14题答案

，

第14题解析

当直线在x轴和y轴上的截距为零时，设直线方程为，

因为直线l过点，

所以，则直线方程为，

当直线在x轴和y轴上的截距不为零时，设直线方程为，

因为直线l过点，

所以，则直线方程为，

综上直线在x轴和y轴上的截距相等时，直线l的方程为，，

故答案为：，

第15题答案

第15题解析

∵，∴或P与或重合，所以P点在以MN为直径的圆上，∴点P的轨迹方程为.

第16题答案

第16题解析

过N作l的垂线，垂足为Q，则，

设，则，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，解得，即.

第17题答案

（1），；

（2）.

第17题解析

（1）∵，，

∴，

∴直线BC的方程为，

令，得，

∴.

（2）由（1）知，为直角三角形，

∴圆心M是AC的中点，

∴圆心．

又∵，

∴外接圆的方程为.

第18题答案

见解析；

第18题解析

（1）由，得.

设直线的方程为，代入点P坐标得，

∴直线的方程为.

∴两平行线间的距离.

（2）当直线过坐标原点时，直线的方程为，即；

当直线不过坐标原点时，设直线的方程为，代入点P坐标得，

∴直线的方程为，即.

综上所述，直线的方程为或.

第19题答案

见解析；

第19题解析

（1）∵双曲线C为等轴双曲线，

∴，

∵双曲线过点，将其代入得：

∴C：；

（2）法一：

∵是以线段OF为底边的等腰三角形，，

∴是等腰直角三角形，，

过M作轴于点A，则，，

设左焦点，

由双曲线定义知，

∴，

于是.

法二：

前同法一得，

点M在C：上，

，

整理得：，

解得：，

∵，

∴，

于是.

第20题答案

（1）；

（2）N的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆

第20题解析

（1）设动点为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合．由两点距离公式，点M适合的条件可表示为，平方后再整理，得．可以验证，这就是动点M的轨迹方程．

（2）设动点N的坐标为，M的坐标是．

由于，且N为线段AM的中点，

所以，．

所以有， ①

由（1）题知，M是圆上的点，

所以M坐标满足： ②，

将①代入②整理，得．

所以N的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆．

第21题答案

（1）证明见解析；

（2）直线m的方程为或.

第21题解析

（1）设经过坐标原点且不与y轴重合的直线l的方程为，

由直线l与圆C相交，两点，

联立方程可得：，

则，，

∴，

即为定值，

（2）设斜率为l的直线m：与圆C相交于D，E两点，

令圆心到直线l的距离为d，

则，

的面积，

当且仅当，即时，成立，

此时：，解得：，或，

故直线m的方程为或.

第22题答案

见解析

第22题解析

（1）依题意，，，，

解得，，，

故椭圆C的方程为；

（2）联立消去y并整理得：，

因直线l与椭圆C有两个交点，即方程有不等的两实根，

故，解得，

设，，

由根与系数的关系得，

点O不在圆内，即，

又由

解得，故，

则或.

则实数k的取值范围为.