初中21.2.2 公式法导学案

21.2.2  公式法

学习目标

1.理解并掌握求根公式的推导过程；

2.能利用公式法求一元二次方程的解.

3.经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.

4.用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.

重点：用公式法解一元二次方程.

难点：推导一元二次方程求根公式的过程.

学习过程 

一、创设问题情境

我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成ax2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？

二、推导公式

用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).

因为a≠0，方程两边都除以a，得_____________________＝0.

移项，得x2＋ x＝________，

配方，得 x2＋ x＋______＝______－ ,

即(____________) 2＝___________

因为   a≠0，所以4 a2＞0，当b2－4 ac≥0时，直接开平方，得_____________________________.

所以x＝_______________________

即x＝_________________________

由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0的求根公式：

x=

利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.

合作交流: b2－4 ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？

展示反馈:学生在合作交流后展示小组学习成果.

①当b2－4ac＞0时，方程有_______个______________的实数根；（填相等或不相等）

②当b2－4ac＝0时，方程有_______个______________的实数根

x1＝x2＝_____________________.

③当b2－4ac＜0时，方程______________实数根.

三、尝试应用

【例1 】不解方程，判别下列各方程的根的情况.

(1)x2+x+1=0；      (2)x2-3x+2=0；      (3)3x2-x=2.

【分析】找出方程中二次项系数、一次项系数和常数项，利用b2-4ac与0的大小关系可得结论.注意：在确定方程中a、b、c的值时，一定要先把方程化为一般式后才能确定，否则会出现失误.

解：

【例2 】用公式法解下列方程：

(1)   x2-4x-7=0；   (2)2x2-2x+1=0； (3)5x2-3x=x+1； (4)x2+17=8x

【分析】将方程化为一般形式后，找出a、b、c的值并计算b2-4ac后，可利用公式求出方程的解.

解：

【例3】下列方程中有两个不相等实数根的是（    ）

A.x2+6x+9=0    B.x2=x    C.x2+3=2x  D.(x-1)2+1=0

四、自主总结

1、一元二次方程的求根公式是什么？

2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？

3.怎么判断一元二次方程根的情况？

五、达标测试

1.用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（　　）

A．3，﹣4，8 B．3，﹣4，﹣8 C．3，4，﹣8 D．3，4，8

2.已知关于x的方程x2+mx-1=0的根的判别式的值为5，则m的值为（　　）

A．±3 B．3 C．1 D．±1

3.小明在解方程x2﹣4x＝2时出现了错误，解答过程如下：

∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）

∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24（第二步）

∴（第三步）

∴（第四步）

小明解答过程开始出错的步骤是（　　）

A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步

4.一元二次方程（1-k）x2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＞2        B．k＜2  C．k＜2且k≠1 D．k＞2且k≠1

5.方程x2-2x-4=0的一较小根为x1，下面对x1的估计正确的是（　　）

A．-3＜x1＜-2        B．−2＜x1＜− C．− ＜x1＜−1 D．-1＜x1＜0

6.若|b−1|+＝0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是___________.

7.已知关于x的一元二次方程（1-k）x2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是________.

8.已知代数式7x（x+5）与代数式-6x2-37x-9的值互为相反数，则x=___________

9.解方程：(1)   x2﹣x﹣6＝0     (2)5x2＝7﹣2x．

10.已知关于x的方程x2+2x+k﹣4＝0．

（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

（2）若k＝4，求该方程的根．

参考答案

达标测试

1.B解析：∵3x2﹣4x＝8，∴3x2﹣4x﹣8＝0，则a＝3，b＝﹣4，c＝﹣8，故选：B．

2.A  解析：∵关于x的方程x2+mx-1=0的根的判别式的值为5，∴△=m2-4×1×（-1）=5，解得m=±3．

3.C 解：小明解方程过程开始出错的步骤是第三步，求根公式用错．故选：C．

4.C  解析：由题意得：△=b2-4ac=4+4（1-k）=8-4k＞0，∴k＜2，又∵一元二次方程的二次项系数不为0，即k≠1．∴k＜2且k≠1．

5.C  解析：方程的为：x= ，即x=1±，∵方程x2-2x-4=0的一较小根为x1，∴原方程的两根为：x1=1- ，x2=1+ ；∵4＜5＜，∴2＜＜2.5，∴-2.5＜− ＜-2，∴-1.5＜1-＜-1，即- ＜x1＜-1．

6.k≤4且k≠0  解析：∴b-1=0，=0，解得，b=1，a=4；又∵方程有两个实数根，∴△=a2-4kb≥0且k≠0，即16-4k≥0，且k≠0，解得，k≤4且k≠0.

7.0  解析：根据题意得：△=4+4（1-k）＞0，且1-k≠0，解得：k＜2，且k≠1，则k的最大整数解为0．

8.1±  解析：整理原方程得：x2-2x-9=0，∵△=4+36=40，∴x==1±．

9.(1)∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，

∴，

即x1＝3，x2＝﹣2．

(2)5x2+2x﹣7＝0，

∵a＝5，b＝2，c＝﹣7，

∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×5×（﹣7）＝144＞0，

∴x＝＝＝，

∴x1＝1，x2＝﹣．

10.解：（1）∵关于x的方程x2+2x+k﹣4＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（k﹣4）＞0，

∴k＜5．

（2）当k＝4时，原方程为x2+2x＝0，

即x（x+2）＝0，

解得：x1＝0，x2＝﹣2．