四川省南充高级中学2023-2024学年高三上学期第一次月考数学（理）试题（含答案）

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第一次月考（理科）答案一、选择题BBDBD      AACAA      BB二、填空题 4      14.       15.        16. 三、解答题17.解：解：（1）由及正弦定理知，则，整理得，得.      ..........................4分（2）在中，，由余弦定理有，即，解得或（舍去），则在中，故      ..................................................................................12分18.解：（1）由题意知，本月共卖出30台机器，利润率高于0.2的是第一类和第四类，共有10台． 设“这台机器利润率高于0.2”为事件，则．   ..................................................4分（2）用销售总额除以销售量得到机器的销售单价，可知第一类与第三类的机器销售单价为20万，第一类有台，第三类有台，共有台，随机选取台有种不同方法，两台机器的利润率不同，则每类各取一台有种不同方法，设两台机器的利润率不同为事件，则．    ....................................................8分（3）由题意可得，可能取的值为，，，，因此又，所以.      ..........................................................................12分注：概率应用题没有必要的文字叙述，先扣掉2分.19.解：（1）证明：因为以为直径的圆经过点，所以．因为四边形为矩形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．因为平面，所以，又因为平面，平面，，所以平面，又因为平面，所以平面平面．   .........................5分（2）因为平面，又因为平面，平面，所以，，又因为，所以，则两两互相垂直，以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，，，所以，，所以在中，由勾股定理，得，则点，，，，，则，，．      ......................................7分设平面的法向量为，则由得解得不妨令，得则是平面的一个法向量．       .......................................9分由（1）知，平面，又因为，所以平面，所以向量是平面的一个法向量．        .................................................................11分设二面角的平面角为，根据图形判断为钝角，则，所以二面角的余弦值是．    ......................................................................................12分解：（1）由已知，，即，则椭圆的标准方程为       ................................................................................................4分（2）椭圆的右焦点，设直线的方程为，由得          ......................................................................................6分        ...............................8分，故，点的坐标为，则        ............................................10分当且仅当即取等号故的最大值为       ...........................................................................................................12分21.解：（1）      ................................................................................................1分当时，函数定义域为，恒成立，函数在单调递增；    .................3分当时，函数定义域为，恒成立，函数在单调递增.      ..................5分（2）时，函数定义域为，在(0，1]上单调递增，在上单调递减，不妨设，则，∴等价于，即令，则在上是减函数，    ..........................................7分恒成立，即在恒成立，得        ............................................................................9分令，.∴在递减，∴，又，∴，又，故实数的取值范围为       ....................................................................................12分22.解：（1）曲线的极坐标方程为：    ......................................................2分因为曲线的普通方程为： ，         ......................................4分曲线的极坐标方程为      ...........................................................................................5分（2）由（1）得：点的极坐标为， 点的极坐标为，点到射线的距离为     ............................................................................5分解：（1）由得，代入得即又故        ......................................................................................................................5分（2）当且仅当即等号成立      ..........................................................................10分