高中数学4.3 指数函数与对数函数的关系课前预习课件ppt

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知识点1　反函数的概念1.一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中　　　　　　　　　　的值,只有　　　　　　　　与之对应,那么　　　　　　　　,这个函数称为y=f(x)的反函数.此时,称y=f(x)存在反函数.而且,如果函数的自变量仍用x表示,因变量仍用y表示,则函数y=f(x)的反函数的表达式,可以通过对调y=f(x)中的x与y,然后从x=f(y)中求出y得到. 2.反函数的记法一般地,函数y=f(x)的反函数记作　　　　　. 
名师点睛1.反函数概念的理解当一个函数的自变量和因变量一一对应时,可以把这个函数的自变量作为一个新的函数的因变量,而把这个函数的因变量作为新的函数的自变量,我们称这两个函数互为反函数.2.反函数的性质(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.(2)若函数y=f(x)图象上有一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数的图象上;反之,若点(b,a)在反函数的图象上,则点(a,b)必在原函数的图象上.(3)互为反函数的两个函数的单调性相同.(4)y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的值域相同,y=f(x)的值域与y=f-1(x)的定义域相同.
特别提醒只有自变量和因变量一一对应的函数才有反函数,如一次函数y=kx+b(k≠0)、反比例函数y= (k≠0)、指数函数y=ax(a>0且a≠1)、对数函数y=lgax(a>0且a≠1),都有反函数.像二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),在整个定义域上没有反函数,因为关于对称轴x=- 对称的两个不同的自变量对应同一个函数值,它不是自变量和因变量一一对应的函数,所以没有反函数.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)任意一个函数都有反函数.(　　)(2)y=2x与 互为反函数.(　　)(3)函数y=ex的图象与y=ln x的图象关于直线y=x对称.(　　)
2.函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=lgax(a>0且a≠1)的解析式有何内在联系?
提示 根据对数式与指数式的互化可知y=ax可化为对数式“x=lgay”,再将等式“x=lgay”中的x,y互换,也就形成了对数函数y=lgax,从这一过程可以看出y=ax与y=lgax的定义域和值域是互换的.
3.函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=lgax(a>0且a≠1)的单调性一致吗?
提示 当00且a≠1)与对数函数y=lgax(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象和性质对比如下表:
过关自诊1.[2023广西百色高一校考]设a∈R,若f(x)=lg2(x+a)的反函数的图象经过点(3,1),则a=(　　)A.7B.3C.1D.-1
解析 ∵f(x)=lg2(x+a)的反函数的图象经过点(3,1),∴f(x)=lg2(x+a)的图象经过点(1,3),∴f(1)=lg2(1+a)=3,解得a=7.故选A.
2.函数y=f(x)的反函数存在,若点(2,1)在y=f(x)的图象上,则其反函数的图象一定过点　　　　　　　　. 3.函数y=ln(2x)的反函数是　　　　　　　　　. 
【例1】 求下列函数的反函数:(1)f(x)= ;(2)f(x)=5x+1.
规律方法　求函数f(x)的反函数f-1(x)的主要步骤(1)令y=f(x),对调其中的x和y,得x=f(y);(2)从x=f(y)中解出y=φ(x);(3)写出反函数f-1(x)的解析式.简记为“一换、二解、三写”.
变式训练1[北师大版教材例题]写出下列对数函数的反函数:(1)y=lg x;(2)
解 因为对数函数y=lg x的底数是10,所以它的反函数是指数函数y=10x.
探究点二　指数函数与对数函数图象的关系
【例2】 (1)已知a>0且a≠1,则函数y=ax与y=lga(-x)的图象可能是(　　)
解析 (方法一)首先,曲线y=ax只可能在x轴上方,y=lga(-x)只可能在y轴左边,从而排除A,C.其次,从单调性着眼.y=ax与y=lga(-x)的单调性正好相反,又可排除D.故选B.(方法二)若00,且a≠1)的反函数的图象过点(1,3),则f(lg28)=(　　)A.-1B.1C.2D.3
解析 依题意,函数f(x)=lgax(a>0,且a≠1)的反函数是y=ax,即函数y=ax的图象过点(1,3),则a=3,f(x)=lg3x,于是得f(lg28)=lg3(lg28)=lg33=1,所以f(lg28)=1.故选B.