数学选择性必修 第二册3.1.1 基本计数原理背景图课件ppt

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知识点一　分类加法计数原理原理内容完成一件事,如果有n类办法,且:第一类办法中有m1种不同的方法,第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
理解“办法”与“方法”的区别
名师点睛利用分类加法计数原理解题的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事可以有哪些办法.(2)完成这件事有n类办法,无论用哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事,而且不需要用到其他的方法.(3)确立恰当的分类标准,准确地对“完成这件事的办法”进行分类,要求每一种方法必须属于某一类办法,不同类办法的任意两种方法不同,也就是分类必须既不重复也不遗漏.从集合的角度看,若完成一件事分A,B两类办法,则A∩B=⌀,A∪B=I(I表示全集).
过关自诊1.判断正误.(正确的打√,错误的打×)(1)在分类加法计数原理中,两类不同办法中的方法可以相同.(　　)(2)用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能编出26+10=36种不同的号码.(　　)(3)在分类加法计数原理中的每一种方法都可以完成这件事.(　　)
在分类加法计数原理中,两类不同办法中的方法是不同的,若相同它只能在同一类办法中且只能算是一种方法.
因为大写的英文字母共有26个,阿拉伯数字共有10个,所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.
在分类加法计数原理中的每一种方法都是独立的,可单独完成这件事.
2.[北师大版教材习题改编]一件工作可以用两种方法完成,有5人只会用第一种方法完成,另有4人只会用第二种方法完成,从中选出1人来完成这件工作,则不同的选法种数为(　　)　　　　　　　　　　　　　A.9B.10C.20D.40
解析 利用第一种方法去完成有5种选法,利用第二种方法去完成有4种选法.故不同的选法种数为5+4=9.故选A.
知识点二　分步乘法计数原理原理内容 完成一件事,如果需要分成n个步骤,且:做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.名师点睛利用分步乘法计数原理解题的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事需要几步.(2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,无论缺少哪一步,这件事都不可能完成.
　　 n个步骤缺一不可
过关自诊1.判断正误.(正确的打√,错误的打×)(1)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(　　)(2)在分步乘法计数原理中,一件事是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(　　)2.[人教A版教材习题改编]从5名同学中选出正、副组长各一名,不同的选法种数是　　　　　. 
解析 要完成的一件事是“从5名同学中选出正、副组长各1名”,分两步完成:第1步,选正组长,有5种方法;第2步,选副组长,有4种方法,所以共有5×4=20种选法.
知识点三　两个原理的联系与区别1.联系分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.
名师点睛1.两个原理的区别在于“分类”与“分步”:若完成一件事需分类思考,且这n类办法是相互独立的,无论用哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事,则用分类加法计数原理.若完成这件事需分为n个步骤,且这n个步骤相互依存,具有连续性,当且仅当这n个步骤依次完成后,这件事才完成,则用分步乘法计数原理.2.处理具体问题时要注意两点:一是合理分类,准确分步.分类时,要不重不漏;分步时,要合理设计步骤、顺序,使各步互不干扰.对于一些较复杂的题目,往往既要分类又要分步.二是特殊优先,一般在后.解含有特殊元素、特殊位置的计数问题时,应优先安排特殊元素,优先确定特殊位置,再考虑其他元素与其他位置.
过关自诊1.从甲地到乙地,一天中有5个班次的火车,12个班次的客车,3个班次的飞机,还有6个班次的轮船.某人某天要从甲地到乙地,则他不同出行方式选择的种数是(　　)　　　　　　　　　　　　　A.26B.60C.18D.1 080
解析 由分类加法计数原理知有5+12+3+6=26种不同选择.故选A.
2.[北师大版教材习题改编]在平面直角坐标系中,确定若干个点,点的横坐标取自集合P={1,2,3},点的纵坐标取自集合Q={1,4,5,6},这样的点共有　　　　　个. 
解析 平面直角坐标系内的点有横、纵坐标,得到一个点要分两步:第一步,确定点的横坐标,有3种取法;第二步,确定点的纵坐标,有4种取法.所以这样的点共有3×4=12个.
探究点一　利用分类加法计数原理解题
【例1】 在所有的两位数中,个位数字比十位数字大的两位数有多少个?
解 (方法一)分析个位数字,可分以下几类:个位是9,则十位可以是1,2,3,…,8中的一个,有8个;个位是8,则十位可以是1,2,3,…,7中的一个,有7个;同理,个位是7的有6个;个位是6的有5个,……,个位是2的只有1个.由分类加法计数原理知,满足条件的两位数有8+7+6+5+4+3+2+1=36个.(方法二)按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个,由分类加法计数原理知,符合题意的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36个.
变式探究 本例中条件不变,求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数的个数.
解 当个位数字是8时,十位数字取9,只有1个.当个位数字是6时,十位数字可取7,8,9,共3个.当个位数字是4时,十位数字可取5,6,7,8,9,共5个.同理可知,当个位数字是2时,共7个.当个位数字是0时,共9个.由分类加法计数原理知,符合条件的个数为1+3+5+7+9=25.
规律方法　利用分类加法计数原理解题的一般思路
变式训练1在1,2,3,…,200中,能够被5整除的数共有多少个?
解 能够被5整除的数,末位数字是0或5,因此,我们把1,2,3,…,200中能够被5整除的数分成2类来计数:第一类,末位数字是0的数,共有20个;第二类,末位数字是5的数,共有20个.根据分类加法计数原理,在1,2,3,…,200中,能够被5整除的数共有20+20=40个.
探究点二　利用分步乘法计数原理解题
【例2】 现要排一份5天的值班表,每天有1人值班,共有5人,每人都可以值多天班或不值班,但相邻两天不准由同一人值班,问此值班表有多少种不同的排法?
解 先排第1天,可排5人中任意一人,有5种排法;再排第2天,此时不能排第1天已排的人,有4种排法;再排第3天,此时不能排第2天已排的人,有4种排法;同理第4,5天均有4种排法.由分步乘法计数原理,知值班表不同排法的种数是5×4×4×4×4=1 280.
规律方法　利用分步乘法计数原理解题的一般思路
变式训练2(多选题)有4位同学报名参加三个不同的社团,则下列说法正确的是(　　)A.每位同学限报其中一个社团,则不同的报名方法共有34种B.每位同学限报其中一个社团,则不同的报名方法共有43种C.每个社团限报一个人,则不同的报名方法共有43种D.每个社团限报一个人,则不同的报名方法共有34种 
解析 对于A选项,第一个同学有3种报法,第二个同学有3种报法,后面的2个同学也各有3种报法,根据分步乘法计数原理共有34种结果,A正确,B错误;对于C选项,每个社团限报一个人,则第一个社团有4种选择,第二个社团有4种选择,第3个社团有4种选择,根据分步乘法计数原理共有43种结果,C正确,D错误.故选AC.
探究点三　两个原理的综合应用
【例3】 有9本不同的语文书,7本不同的数学书,5本不同的英语书,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有(　　)A.21种B.315种C.153种D.143种
解析 由题意,选一本语文书、一本数学书有9×7=63种,选一本数学书、一本英语书有5×7=35种,选一本语文书、一本英语书有9×5=45种,所以共有63+35+45=143种选法.故选D.
规律方法　应用两个计数原理解题的策略对于两个计数原理的综合应用问题,一般是先分类再分步.分类时要设计好标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏;分步时要注意步与步之间的连续性,同时应合理设计步骤的顺序,使各步互不干扰.也可以根据题意合理地画出示意图或者列出表格,使问题的实质直观地显现出来,从而便于我们 解题.
变式训练3用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为(　　)A.324B.328C.360D.648
解析 若个位数字为0,则十位和百位数字的排法种数为9×8=72;若个位数字不为0,则确定个位数字有4种方法,确定百位数字有8种方法,确定十位数字有8种方法,所以排法种数为4×8×8=256.所以256+72=328,所以可以组成328个没有重复数字的三位偶数.故选B.
1.某同学从3本不同的哲学图书、4本不同的自然科学图书、2本不同的社会科学图书中任选1本阅读,则不同的选法共有(　　)A.24种B.12种C.9种D.3种
解析 由分类加法计数原理知,不同的选法种数为3+4+2=9.故选C.
2.某种高考模式采用“3+1+2”的形式:“3”为全国统考科目,分别是语文、数学、外语,所有学生必考;“1”为首选科目,考生须在物理、历史科目中选择1个科目;“2”为再选科目,考生可在思想政治、地理、化学、生物学这4个科目中选择2个科目.已知小明同学必选化学,那么他可选择的方案共有(　　)A.4种B.6种C.8种D.12种
解析 根据题意,分2步进行分析:①小明必选化学,则需在思想政治、地理、生物学中再选出1个科目,选法有3种;②小明在物理、历史科目中选出1个,选法有2种.由分步乘法计数原理知,小明可选择的方案共有3×2=6种.故选B.
3.[2023重庆高二阶段练习]已知某教学大楼共有四层,每层都有东、西两个楼梯,则从一层到四层不同的走法种数为(　　)A.32B.23C.43D.24
解析 根据题意,教学大楼共有四层,每层都有东、西两个楼梯,则从一层到二层,有2种走法,同理从二层到三层、从三层到四层也各有2种走法,则从一层到四层共有2×2×2=23种走法.故选B.
4.已知某电路图如图所示,则从A到B共有　　　　　条不同的线路可以通电. 
解析 先分三类.第一类,经过支路①有3种方法;第二类,经过支路②有1种方法;第三类,经过支路③有2×2=4种方法,所以总的线路条数为3+1+4=8.
5.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A爬到相对顶点C1,求其中经过3条棱的路线共有多少条.