数学人教B版 (2019)3.3 二项式定理与杨辉三角背景图ppt课件

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知识点　杨辉三角与二项式系数的性质因为(a+b)0=1,所以可以把n=0对应的二项式系数看成1.把n=0,1,2,3,4,5,6对应的二项式系数逐个写出,并排成如下数表形式:
上面的二项式系数表称为“杨辉三角”或“贾宪三角”,在欧洲称为“帕斯卡三角”.
杨辉三角至少具有下面的性质:(1)每一行都是对称的,且两端的数都是1.(2)从第三行起,不在两端的任意一个数,都等于上一行中与这个数相邻的两数之和.事实上,设表中任一不为1的数为 ,那么它上一行中与这个数(3)对于给定的n来说,其二项式系数满足中间大、两边小的特点.利用二项式系数的对称性可知,二项式系数 是先逐渐变大,再逐渐变小的,当n是偶数时,中间一项的二项式系数最大,当n是奇数时,中间两项的二项式系数相等且最大.
由二项式定理,对∀x∈R都成立,该方法通常称为“赋值法”
(4)二项展开式的二项式系数的和等于2n.
过关自诊1.判断正误.(正确的打√,错误的打×)(1)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项).(　　)(2)二项展开式项的系数是先增后减的.(　　)(3)杨辉三角中每行两端的数都是1.(　　)
二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的,二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项),但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关.
二项式系数是随n的增加先增后减的,项的系数与a,b的系数有关.
根据杨辉三角的特点可知.
2. 的展开式中第8项是常数,则展开式中系数最大的项是(　　)A.第8项B.第9项C.第8项和第9项D.第11项和第12项
3.(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8=　　　　　. 
4.(2x-1)6展开式中各项系数的和为　　　　;各项的二项式系数和为　　　　. 
解析 令展开式左、右两边x=1,得各项系数和为1;各二项式系数之和为26=64.
探究点一　“杨辉三角”的应用
【例1】 (1)如图是著名的杨辉三角,则图中所有各数的和是(　　)
A.225B.256C.127D.128
(2)杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算术》一书中,画了一张表示二项式展开后的二项式系数构成的三角形数阵,如图所示.现在称为“杨辉三角”,它是杨辉的一大重要研究成果.在这个数阵中从上往下数第100行,从左往右数第3列的那个数是(　　)A.5 050B.4 851C.4 950D.5 000
规律方法　解决与杨辉三角有关的问题的一般思路(1)观察:对题目进行多角度观察,找出每一行的数与数之间,行与行之间的数的规律.(2)表达:将发现的规律用数学式子表达.(3)结论:由数学表达式得出结论.
变式训练1如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第　　　行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3. 
探究点二　求展开式的系数和
【例2】 设(1-2x)2 020=a0+a1x+a2x2+…+a2 020x2 020(x∈R).(1)求a0+a1+a2+…+a2 020的值;(2)求a1+a3+a5+…+a2 019的值;(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 020|的值.
解 (1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a2 020=(-1)2 020=1.①(2)令x=-1,得a0-a1+a2-…-a2 019+a2 020=32 020.②①-②,得2(a1+a3+…+a2 019)=1-32 020,∴a1+a3+a5+…+a2 019=∴a2k-1<0(k∈N+),a2k>0(k∈N).∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2 019|+|a2 020|=a0-a1+a2-a3+…-a2 019+a2 020=32 020.
变式探究 本例中设(1-2x)2 020=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a2 020(1+x)2 020, x∈R,则a0+a1+a2+…+a2 020=　　　　　. 
解析 设1+x=t,则x=t-1,1-2x=3-2t.原式即为(3-2t)2 020=a0+a1t+a2t2+…+a2 020t2 020.令t=1,得a0+a1+a2+…+a2 020=12 020=1.
规律方法　1.解决二项式系数和问题的思维流程.
2.对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N+)的式子求其展开式的各项系数之和,只需令x=y=1.
3.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),
A.-2B.-1C.0D.2
探究点三　求展开式中系数或二项式系数的最大项
【例3】 已知 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项.
解 (1)令x=1,则二项展开式中各项系数的和为f(1)=(1+3)n=4n,又展开式中各项的二项式系数之和为2n,由题意知,4n-2n = 992.∴(2n)2-2n-992=0,∴(2n+31)(2n-32)=0,∴2n=-31(舍),或2n=32,∴n=5.由于n=5为奇数,∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别是
规律方法　二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论.(1)当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大.(2)当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
(1)求二项式系数最大的项.(2)系数的绝对值最大的项是第几项?
探究点四　二项式定理的其他应用
角度1.利用二项式定理解整除问题及求余数问题【例4】 (1)用二项式定理证明1110-1能被100整除.
(2)求9192被100除所得的余数.
规律方法　利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题,通常需将底数化成两数的和或差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系.
变式训练4(1)若 能被7整除,则x,n的值可能为(　　)A.x=4,n=3B.x=4,n=4C.x=5,n=4D.x=6,n=5
(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是(　　)
角度2.利用二项式定理证明不等式【例5】 证明:3n>(n+2)·2n-1(n∈N+,且n>2).
证明 因为n∈N+,且n>2,所以3n=(2+1)n展开后至少有四项.因为(2+1)n=2n+ ·2n-1+…+ ·2+1≥2n+n·2n-1+2n+1>2n+n·2n-1 =(n+2)·2n-1,所以3n>(n+2)·2n-1.
规律方法　将不等式左边3n变形为(2+1)n,将(2+1)n的二项展开式与不等式的右边对比,发现二项展开式与不等式的右边的联系.此外,决定二项式的展开式中项的取舍是证明的关键.
A.64B.32C.63D.31
2.已知(1-2x)n展开式中,奇数项的二项式系数之和为64,则(1-2x)n(1+ )展开式中常数项为(　　)A.-14B.-13C.1D.2
3.如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第　　　　　行中从左至右第12个数与第13个数的比为1∶2. 
4.求(2x-3)21的展开式中:(1)各项系数之和;(2)各项系数的绝对值之和;(3)系数最小的项. 
解 (1)设(2x-3)21=a0x21+a1x20+a2x19+…+a21,令x=1,得a0+a1+a2+…+a21=(2×1-3)21=-1.(*)所以(2x-3)21的展开式各项系数之和为-1.(2)令x=-1,得-a0+a1-a2+…+a21=(-2×1-3)21=-521,(**)(*)与(**)两式左、右两边分别相减,得a0+a2+…+a20= (-1+521),(*)与(**)两式左、右两边分别相加,得a1+a3+…+a21= (-1-521),所以(2x-3)21的展开式各项系数的绝对值之和为|a0|+|a1|+…+|a21|=(a0+a2+…+a20)-(a1+a3+…+a21)