高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.2 等比数列的前 n项和作业ppt课件

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1.[探究点一]已知等比数列{an}各项均为正数,a3,a5,-a4成等差数列,Sn为数
解析 设等比数列{an}的公比为q,则有q>0,又a3,a5,-a4成等差数列,∴a3-a4=2a5,∴a1q2-a1q3=2a1q4,即1-q=2q2,
2.[探究点一 ]已知等比数列{an}中,a1+a4=2,a2+a5=4,则数列{an}的前6项和S6的值为(　　)A.12B.14C.16D.18
3.[探究点二]在各项均为正数的等比数列{an}中,若am+1am-1=2am(m≥2),数列{an}的前n项积为Tn,若T2m-1=512,则m的值为(　　)A.4B.5C.6D.7
解析 因为数列{an}是各项均为正数的等比数列,所以am+1am-1=2am= ,则am=2.又T2m-1=a1a2…a2m-1= ,所以22m-1=512=29,m=5.故选B.
4.[探究点一]古希腊哲学家芝诺提出了一个悖论:让阿基里斯和乌龟赛跑,他的速度是乌龟速度的10倍,乌龟在他前面100米爬行,他在后面追,但他不可能追上乌龟.原因是在竞赛中,追者首先必须到达被追者的出发点,当阿基里斯追了100米时,乌龟已在他前面爬行了10米,而当他追到乌龟爬行的10米处时,乌龟又向前爬行了1米,就这样,乌龟总能领先一段距离,不管这个距离有多小,只要乌龟不停地向前爬行,阿基里斯就永远追不上乌龟.试问在阿基里斯与乌龟的竞赛中,当阿基里斯与乌龟相距0.01米时,乌龟共爬行了(　　)A.11.1米B.10.1米米D.11米
解析 依题意,乌龟爬行的距离组成等比数列{an},其首项a1=10,公比q=0.1,前n项和为Sn,
5.[探究点一·2023陕西铜川校考一模]设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=13,S6=364,则通项an为(　　)A.32n-1B.32nC.3nD.3n-1
解析 设{an}的公比为q,由题可知q>0,且q≠1.
6.[探究点一、二](多选题)[2023湖北武汉洪山高级中学高二阶段练习]已知Sn为数列{an}的前n项和,下列说法一定正确的是(　 　)A.若{an}为等差数列,则S5,S10-S5,S15-S10为等差数列B.若{an}为等比数列,则S5,S10-S5,S15-S10为等比数列
解析 A选项,{an}为等差数列,设公差为d,所以S5=5a1+10d,S10=10a1+45d,S15=15a1+105d,故S10-S5=5a1+35d,S15-S10=5a1+60d,因为2(S10-S5)=S5+S15-S10,所以S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,A正确;B选项,{an}成等比数列,设公比为q,若q=1,则S5=5a1,S10=10a1,S15=15a1,则S10-S5=5a1,S15-S10=5a1,故(S10-S5)2=S5(S15-S10),故S5,S10-S5,S15-S10成等比数列.
综上,若{an}为等比数列,则S5,S10-S5,S15-S10一定为等比数列,B正确;
C选项,{an}为等差数列,设公差为d,
7.[探究点一]已知等比数列{an}的公比为2,前n项和为Sn,若S5=1,则S10=　　　　. 
10.[探究点一]已知数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn为数列{an}的前n项和.(1)求an及Sn;(2)设数列{bn}是首项为2的等比数列,其公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0,求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.
解(1)设{an}的公差为d,由题可知an=a1+(n-1)d=2n-1,
(2)由(1)得a4=7,S4=16.因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4,所以bn=b1qn-1=2·4n-1=22n-1,
11.[探究点三·2023湖南湘潭高三期末]已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=2,b1=1,a2+a3=10,b2b3=-a4.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设cn=an+bn,求c1+c3+c5+…+c2n-1.
解(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,则a2+a3=a1+d+a1+2d=4+3d=10,解得d=2,∴an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n,∴b2b3=b1qb1q2=q3=-a4=-8,解得q=-2,∴bn=b1qn-1=(-2)n-1,即an=2n,bn=(-2)n-1.
(2)由(1)知{an}为等差数列,{bn}为公比q=-2的等比数列,∴a1,a3,a5,…,a2n-1为等差数列,b1,b3,b5,…,b2n-1为公比为q2的等比数列.∵cn=an+bn,∴c1+c3+c5+…+c2n-1=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(b1+b3+b5+…+b2n-1)
12.设数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,lg2an+1=1+lg2an,且a3=4,则S6的值为(　　)A.128B.65C.64D.63
解析 因为lg2an+1=1+lg2an,所以lg2an+1=lg22an,所以an+1=2an,所以数列{an}是公比为2的等比数列.
13.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则 的值为(　　)A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1
解析 设等比数列{an}的公比为q.
又a5-a3=a1q4-a1q2=12a1=12,∴a1=1.∴an=a1qn-1=2n-1,
14.等比数列{an}的项数为奇数,所有奇数项的和S奇=255,所有偶数项的和S偶=-126,末项是192,则首项a1的值为(　　)A.1B.2C.3D.4
15.[北师大版教材习题改编]设数列{an}是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1a2a3…a30=230,那么a3a6…a30=(　　)A.210B.215C.220D.216
解析 设等比数列{an}的公比为q,q≠0.若q=1,则an=a1,所以Sn=na1,
17.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=3,S8=9,则S16的值为　　　　　. 
解析 设等比数列{an}的公比为q.因为S4≠0,所以由等比数列前n项和的性质可知,S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等比
所以S12-S8=3×22=12,S16-S12=3×23=24,因此S16=S4+(S8-S4)+(S12-S8)+(S16-S12)=3+6+12+24=45.
18.已知数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,设cn= ,Tn=c1+c2+…+cn(n∈N+),则当Tn<2 023时,n的最大值为　　　　　. 
解析 ∵数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,∴an=2n-1.∵数列{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,∴bn=2n-1.
∵Tn<2 023,∴2n+1-n-2<2 023,∴n≤9.故当Tn<2 023时,n的最大值是9.
19.设等比数列{an}满足a1+a2=4,a3-a1=8.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记Sn为数列{lg3an}的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.
解(1)设{an}的公比为q,则an=a1qn-1.
所以{an}的通项公式为an=3n-1.
由Sm+Sm+1=Sm+3得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即m2-5m-6=0,解得m=-1(舍去),m=6.
20.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1+2Sn-1=3Sn(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;
解(1)当n≥2时,Sn+1+2Sn-1=3Sn,即Sn+1-Sn=2Sn-2Sn-1,即an+1=2an.又{an}是等比数列,∴{an}的公比为2,∴数列{an}的通项公式为an=2n-1.