高中数学第一章　空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算课文内容ppt课件

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1.理解空间向量夹角的概念;2.掌握空间向量的数量积的概念、相关性质及数量积的运算律;3.能运用向量的数量积,判断向量垂直,并用于证明两直线垂直.
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(1)空间向量的夹角
一般地,给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α),过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线,假设垂足为A,B,则向量 称为a在直线l(或平面α)上的投影.(3)空间向量的数量积两个非零向量a与b的数量积(也称为内积)定义为a·b=|a||b|cs.规定零向量与任意向量的数量积为0.
向量的投影仍是一个向量
名师点睛1.空间向量的数量积是一个实数而不是一个向量.2.数量积的正负取决于向量的夹角,注意两向量反向时夹角为π.3.数量积的几何意义:向量a在b上投影的数量与b的模的乘积.
过关自诊判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)[北师大版教材习题]向量b在a方向上的投影的数量等于向量a在b方向上的投影的数量.(　　)
空间向量数量积的性质及其运算律
(1)性质①若a,b为非零向量,则　　　　　⇔a·b=0(垂直条件); 
④|a·b|≤|a||b|(当且仅当a,b共线时等号成立).
名师点睛1.a⊥b的充要条件是a·b=0,这是用向量证明空间中垂直关系的根本方法,同时也说明由a·b=0不能得到a=0或b=0.2.向量的数量积不满足结合律.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)对于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c.(　　)(2)若非零向量a,b为共线且同向的向量,则a·b=|a||b|.(　　)
2.对于空间任意两个非零向量a,b,“a∥b”是“=0”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
A.30°B.60°C.150°D.120°
4. [人教A版教材习题]如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设
(1)a·(b+c);(2)a·(a+b+c);(3)(a+b)·(b+c).
解 (1)a·(b+c)=a·b+a·c=0+0=0.(2)a·(a+b+c)=a2+a·b+a·c=1+0+0=1.(3)(a+b)·(b+c)=a·b+a·c+b2+b·c=0+0+12+0=1.
探究点一　向量的数量积的求解
【例1】如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算:
规律方法　求两个向量数量积的方法
变式训练1如图,在三棱锥P-ABC中,AP,AB,AC两两垂直,AP=2,AB=AC=1,M
探究点二　数量积的应用
角度1.利用数量积求解夹角和模【例2】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,点N为AA1的中点.求:
变式探究2本例中,若CA=CB=AA1=1,其他条件不变,求异面直线CA1与AB所成的角.
规律方法　求向量的夹角和模(1)求两个向量的夹角:利用公式cs= 求cs,进而确定.(2)求线段长度(距离):①取此线段对应的向量;②用其他已知夹角和模的向量表示该向量;③利用|a|= ,计算出|a|,即得所求长度(距离).
角度2.利用数量积证明垂直问题【例3】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD.
证明 由底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,知DA⊥BD,
规律方法　1.由数量积的性质a⊥b⇔a·b=0(a,b是非零向量)可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的非零向量,只要证明这两个向量的数量积为0即可.2.用向量法证明线面(面面)垂直,需将线面(面面)垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明线线垂直.
变式训练2如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD.
又OG∩BD=O,OG⊂平面GBD,BD⊂平面GBD,∴A1O⊥平面GBD.
2. [北师大版教材习题]如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',设
4. [北师大版教材习题]如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,已知|AB|=1,|AD|=2,|AA'|=3,分别求向量
5.[人教A版教材习题]如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中, AB=4,AD=3,AA'=5,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°.求:
(2)AB'的长;(3)AC'的长.