高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.3 两条直线的位置关系背景图课件ppt

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1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标;2.能根据斜截式方程和一般式方程判定两条直线是否平行或重合;3.能应用两直线平行、重合、相交、垂直条件求参数;4.能应用两直线平行、垂直条件求直线的方程.
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两条直线的相交、平行与重合
(1)直线方程在斜截式方程形式下两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2的位置关系可用两直线的斜率和在y轴上的截距来进行判断,具体判断方法如下表所示.
k1=k2且b1≠b2
k1=k2且b1=b2
名师点睛1.两直线的位置关系可针对直线方程的斜截式和直线方程的一般式进行判断,注意适用条件,也可通过两种形式之间转化后再进行判断.2.当两条直线相交时,两直线方程联立而成的方程组的解即为两直线的交点,该结论可推广到两条曲线.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行.(　　)(2)若两条直线平行,则它们的斜率相等.(　　)(3)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行.(　　)
2.下列直线与直线x-y-1=0平行的是(　　)A.x+y-1=0B.x-y+1=0C.ax-ay-a=0(a≠0)D.x-y+1=0或ax-ay-a=0(a≠0)3.[人教A版教材例题改编]已知两直线l1:3x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0.它们的交点坐标是　　　　　. 
(1)若已知平面直角坐标系中的直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1⊥l2⇔　　　　. (2)设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1不同时为零,A2,B2不同时为零),则l1⊥l2⇔　　　　　　　　. 
名师点睛1.与直线y=kx+b(k≠0)垂直的所有直线可以表示为y=- x+m.2.与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的所有直线可以表示为Bx-Ay+m=0.
A1A2+B1B2=0
过关自诊1.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a的值为(　　)A.2B.1C.0D.-1
解析 两条直线的斜率分别为a和a+2,且相互垂直,即a(a+2)=-1,解得a=-1.
2.若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直,则a的值为　　　　　. 
探究点一　两条直线的位置关系的判断
【例1】 已知两直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,当m为何值时,直线l1与l2:(1)相交?(2)平行?(3)重合?
解 因为直线l1:x+my+6=0,直线l2:(m-2)x+3y+2m=0,所以A1=1,B1=m,C1=6,A2=m-2,B2=3,C2=2m.(1)若l1与l2相交,则A1B2-A2B1≠0,即1×3-m(m-2)≠0,即m2-2m-3≠0,所以(m-3)(m+1)≠0,解得m≠3且m≠-1.故当m≠3且m≠-1时,直线l1与l2相交.
规律方法　判断两直线的位置关系(1)判断两条直线平行:①如果斜率都存在,那么需要判断其斜率相等,即k1=k2.两条直线斜率相等,则两条直线可能平行也可能重合,还需要进一步判断截距不相等,即b1≠b2.如果两条直线的斜率不存在,两条直线的方程为x=a1,x=a2,只需a1≠a2即可;②利用A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1或A2C1≠A1C2判断.(2)根据方程组解的个数判断两直线位置关系,当x,y的系数含参数时不好用;利用方程的系数间的关系判定难记忆;化成斜截式方程易操作.
变式训练1[人教A版教材习题]判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标:(1)l1:2x-3y=7,l2:4x+2y=1;
探究点二　两条直线平行
【例2】 (1)直线l1:(m+2)x+(m2-3m)y+4=0,l2:2x+4(m-3)y-1=0,如果l1∥l2,求m的值.(2)[北师大版教材例题]求经过点A(2,3),且平行于直线l:2x+y-1=0的直线的方程.
(方法二)若l1∥l2,则有
解得m=-4或m=3.
(2)依据条件,可知所求直线存在斜率,设所求直线的方程为y-3=k(x-2).依题意可知直线l:2x+y-1=0可化为y=-2x+1.因为所求直线平行于直线l,所以k=-2,所以所求直线的方程为y-3=-2(x-2),即2x+y-7=0.
规律方法　1.求与直线y=kx+b平行的直线的方程时,根据两直线平行的条件可巧设为y=kx+m(m≠b),然后通过待定系数法,求参数m的值.但需注意斜率k不存在的情况.2.求与直线Ax+By+C=0平行的直线方程时,可设方程为Ax+By+m=0(m≠C),代入已知条件求出m即可.
变式训练2(1)已知直线l1:ax+2y+6=0与l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则实数a的取值是(　　)A.-1或2B.0或1C.-1D.2
解析 ∵l1∥l2,∴a(a-1)-2=0,∴a=-1或2.当a=2时,l1与l2重合,∴a=-1.
(2)过点P(1,-1)且平行于l:x-2y+1=0的直线方程为(　　)A.x+2y+1=0B.2x+y-1=0C.x-2y-3=0D.2x-y+3=0
解析 设与直线l:x-2y+1=0平行的直线方程为l':x-2y+b=0(b≠1).又由直线l'过点P(1,-1),代入可得1-2×(-1)+b=0,解得b=-3,即所求直线的方程为x-2y-3=0.故选C.
【例3】 (1)直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2垂直,求a的值.
(方法二)利用A1A2+B1B2=0,即a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=1或a=-3.
(2)已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0,求过点A和直线l垂直的直线方程.
解 (方法一)设过点A与l垂直的直线为l2,直线l的斜率为kl,直线l2的斜率
(方法二)设过点A且垂直于直线l的直线l2的方程为4x-3y+m=0.因为l2过点A(2,2),所以4×2-3×2+m=0,解得m=-2,故l2的方程为4x-3y-2=0.
规律方法　1.与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0(m为参数).2.与直线y=kx+m平行的直线方程可设为y=kx+b(b≠m);与它垂直的直线方程可设为y=- x+n(k≠0).应注意斜率k不存在及k=0的情况.
变式训练3(1)[北师大版教材习题]已知两条不重合的直线l1:ax+2y-1=0和l2:x+(a+1)y-1=0,a∈R.①若l1∥l2,求a的值;②若l1⊥l2,求a的值.
解 ①若l1∥l2,则a(a+1)-2×1=0,解得a=1或a=-2.当a=1时,l1:x+2y-1=0,l2:x+2y-1=0,l1与l2重合,舍去.当a=-2时,l1:-2x+2y-1=0,l2:x-y-1=0,l1∥l2,所以a=-2.②若l1⊥l2,则a×1+2(a+1)=0,所以a=- .
(2)[北师大版教材例题]求经过点A(2,3),且垂直于直线l:2x+y-1=0的直线的方程.
解 依据条件,设所求直线的方程为y-3=k(x-2).将直线l:2x+y-1=0化为y=-2x+1.
1.直线3x-y+5=0与直线6x-2y+10=0的位置关系是(　　)A.相交但不垂直B.平行C.重合D.垂直
解析 直线6x-2y+10=0可化为3x-y+5=0,所以直线3x-y+5=0与直线6x-2y+10=0的位置关系是重合.故选C.
2.若点A(3,-4)与点A'(5,8)关于直线l对称,则直线l的方程是(　　)A.x+6y+16=0B.6x-y-22=0C.6x+y+16=0D.x+6y-16=0
3.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是(　　)A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0
解析 因为所求直线与直线x-2y-2=0平行,所以所求直线斜率k= ,排除C,D.又直线过点(1,0),排除B.
4.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0垂直,则实数m=　　　　　. 
解析 因为直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0垂直,
5.(1)求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程;
解 (方法一)设直线l的斜率为k.因为l与直线3x+4y+1=0平行,所以
(方法二)设与直线3x+4y+1=0平行的直线的方程为3x+4y+m=0(m≠1).又因为l经过点(1,2),所以3×1+4×2+m=0,即m=-11.所以所求直线l的方程为3x+4y-11=0.