人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程课文内容ppt课件

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1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程;2.掌握双曲线的标准方程及其求法;3.能用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题;4.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分.
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焦点的距离|F1F2|
名师点睛若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点P的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于|PF1|与|PF2|的大小.(1)若|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|>0,点P的轨迹是靠近定点F2的那一支;(2)若|PF1|<|PF2|,则|PF2|-|PF1|>0,点P的轨迹是靠近定点F1的那一支.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.(　　)(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于5的点的轨迹是双曲线.(　　)(3)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　)
2.在双曲线的定义中,若去掉条件0<2a<|F1F2|,则动点的轨迹是怎样的?
解 ①当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).②当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在.③当2a=0时,动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
名师点睛双曲线与椭圆的比较
注意:在双曲线的标准方程中,a,b的大小关系不确定.
2.[北师大版教材例题改编]已知双曲线的两个焦点分别是F1(-5,0),F2(5,0),该双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是6,则双曲线的标准方程为　 . 
探究点一　求双曲线的标准方程
【例1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
规律方法　求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,再用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,则可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,简化求解过程.
变式训练1[北师大版教材习题]求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点为(2,0),(-2,0),且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2;(2)焦点在y轴上,焦距为10,且经过点(0,4);
探究点二　双曲线定义的应用
【例2】 已知双曲线 -y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点,点Q的坐标为(-2,3),则|PQ|+|PF1|的最小值为　　　　　. 
解析 如图,由双曲线 -y2=1,得a2=3,b2=1,∴c2=a2+b2=4,则c=2,则F2(2,0).
连接QF2交双曲线右支于P,则此时|PQ|+|PF2|最小等于|QF2|.∵Q的坐标为(-2,3),F2(2,0),
【例3】 已知F1,F2是双曲线 =1的两个焦点.(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;(2)如图,若P是双曲线左支上的点,且|PF1||PF2|=32,试求△F1PF2的面积.
(1)由双曲线的定义得||MF1|-|MF2||=2a=6.又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,假设点M到另一个焦点的距离等于m,则|16-m|=6,解得m=10或m=22,故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将|PF2|-|PF1|=2a=6两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36,则|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1||PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理得
变式探究将例3(2)中的条件“|PF1||PF2|=32”改为“∠F1PF2=60°”,求△F1PF2的面积.
由双曲线的定义得|PF2|-|PF1|=6.因为|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cs 60°,所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1||PF2|,
规律方法　求双曲线中距离的范围和焦点三角形面积的策略(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时,若已知该点的横、纵坐标,则根据两点间距离公式可求结果;若已知该点到另一焦点的距离,则根据定义中的条件||PF1|-|PF2||=2a求解.(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时,首先要注意定义中的条件||PF1|-|PF2||=2a的应用;其次要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算.模仿椭圆中焦点三角形的面积公式,可类似得到双曲线中焦点三角形的面
变式训练2(1)已知双曲线C: =1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线C的左支交于A,B两点,若|AB|=7,则△ABF2的周长为(　　)A.16D.60
解析 设|AF1|=m,|BF1|=n,由题意可得m+n=7,由双曲线的定义可得|AF2|=m+8,|BF2|=n+8,则△ABF2的周长是|AB|+|AF2|+|BF2|=m+n+(m+n)+16=16+2|AB|=16+2×7=30.故选B.
(2)若点P在曲线C1: =1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是(　　)A.9B.10C.11D.12
解析 在双曲线C1中,a=4,b=3,c=5,易知两圆圆心分别为双曲线C1的两个焦点,记点F1(-5,0),F2(5,0),当|PQ|-|PR|取最大值时,P在双曲线C1的左支上,所以|PQ|-|PR|≤|PF2|+1-(|PF1|-1)=|PF2|-|PF1|+2=2a+2=10.故选B.
探究点三　与双曲线有关的轨迹问题
【例4】 (1)一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是(　　)
解析 动圆圆心为P,半径为r,已知圆N的半径为4.由题意知,|PM|=r,|PN|=r+4或r-4,所以||PN|-|PM||=4,即动点P到两定点的距离之差的绝对值为常数4,P在以M,N为焦点的双曲线上,且2a=4,2c=8,
(2)某飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方向.
解 因为|PC|=|PB|,所以P在线段BC的垂直平分线上.又因为|PB|-|PA|=4<6=|AB|,所以P在以A,B为焦点的双曲线的右支上.以线段AB的中点为坐标原点,AB的垂直平分线所在直线为y轴,正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示.
规律方法　求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:(1)列出等量关系,化简得到方程;(2)寻找几何关系,根据双曲线的定义,得出对应的方程.定义法求解双曲线的轨迹问题时要特别注意:(1)双曲线的焦点所在的坐标轴;(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.(3)实际应用问题还要注意实际意义以及该意义下隐藏的变量范围.
变式训练3(1)[人教A版教材例题]已知A,B两地相距800 m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s,且声速为340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解 如图,建立平面直角坐标系Oxy,使A,B两点在x轴上,并且原点O与线段AB的中点重合.设炮弹爆炸点P的坐标为(x,y),则|PA|-|PB|=340×2=680,即2a=680,a=340.又|AB|=800,所以2c=800,c=400,b2=c2-a2=44 400.因为|PA|-|PB|=680>0,所以点P的轨迹是双曲线的右支,因此x≥340.
(2)[人教A版教材习题]设动点M与定点F(c,0)(c>0)的距离和M到定直线
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时,P点的轨迹为(　　)A.双曲线和一条直线B.双曲线和一条射线C.双曲线的一支和一条直线D.双曲线的一支和一条射线
解析 当a=3时,根据双曲线的定义及|PF1|>|PF2|可推断出其轨迹是双曲线的一支.当a=5时,设P(x,y),则 =10化简得y2=0,且x≥5,可知其轨迹与x轴部分重合.又因为|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|>|PF2|,所以应该是起点为(5,0),与x轴部分重合向x轴正方向延伸的射线.
|PF1|=3|PF2|,所以由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2|PF2|=4,解得|PF2|=2,|PF1|=6,显然有|PF1|2+|PF2|2=40=|F1F2|2,即△PF1F2是直角三角形,
3.已知方程 =1表示双曲线,则实数m的取值范围是(　　)A.(-1,+∞)B.(2,+∞)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-1,2)
解得-14.[人教A版教材习题改编]双曲线 =1(a>0)的左、右两个焦点分别是F1与F2,焦距为8,M是双曲线上的一点,且|MF1|=5,则|MF2|的值为　　　　　. 
解析 ∵2c=8,∴c=4.又c2=a2+b2,b2=12,∴a2=4,
当点M在双曲线左支上时,|MF1|≥2,由题意知|MF1|=5,∴这样的点存在.又|MF2|-|MF1|=2a=4,∴|MF2|=|MF1|+4=9.当点M在双曲线右支上时,|MF1|≥6,由题意知|MF1|=5,∴这样的点不存在.∴|MF2|的值为9.
5.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;
(3)a=b,经过点(3,-1).
解 (1)由双曲线的定义知,2a=8,所以a=4.又知焦点在x轴上,且c=5,所以b2=c2-a2=25-16=9,所以双曲线的标准方程为