数学选择性必修 第一册2.7.2 抛物线的几何性质评课ppt课件

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1.掌握抛物线的简单几何性质;2.了解抛物线几何性质的简单应用;3.理解四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同;4.能用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题.
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抛物线y2=2px(p>0)的几何性质
过关自诊抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些?
解 抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心,而椭圆和双曲线有中心.
抛物线四种形式的标准方程及其性质
名师点睛1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,其共同点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的 ;(4)焦点到准线的距离均为p.其不同点:开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.(　　)(2)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.(　　)
2.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为(　　)A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y
解析 设抛物线方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),依题意得x= ,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=4,∴抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.
3.[人教A版教材习题]填空题.(1)准线方程为x=2的抛物线的标准方程是　　　　　; (2)抛物线y2=8x上与焦点的距离等于6的点的坐标是　　　 　　. 
探究点一　抛物线的几何性质的应用
【例1】 (1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则△AOB的面积是(　　)A.8p2B.4p2C.2p2D.p2
解析 因为抛物线的对称轴为x轴,内接△AOB为等腰直角三角形,所以由抛物线的对称性知,直线AB与抛物线的对称轴垂直,从而直线OA与x轴的夹角为45°.
(2)[人教A版教材习题]抛物线y2=2px(p>0)上一点M与焦点F的距离|MF|=2p,求点M的坐标.
解 设M(x0,y0)是抛物线上满足条件的点,由题意知,抛物线y2=2px(p>0)的
规律方法　研究抛物线的几何性质要从三个方面入手:(1)开口:由抛物线的标准方程看图象开口,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.
变式训练1已知抛物线y2=8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.
解 (1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0.
(2)由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,设垂足为点M(图略).
探究点二　抛物线中弦长问题
【例2】 [人教A版教材例题]斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解 由题意可知,p=2, =1,焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x=-1.设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B两点到准线的距离分别为dA,dB,由抛物线的定义,可知|AF|=dA=x1+1,|BF|=dB=x2+1,于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2.因为直线l的斜率为1,且过焦点F(1,0),所以直线l的方程为y=x-1.①将①代入方程y2=4x,得(x-1)2=4x,化简,得x2-6x+1=0.所以x1+x2=6,|AB|=x1+x2+2=8,所以,线段AB的长是8.
变式探究1将条件中“斜率为1”改为“垂直于x轴”,求线段AB的长.
解 因为焦点坐标为(1,0),p=2,则|AB|=4.
变式探究2[人教A版教材习题]过点M(2,0)作斜率为1的直线l,交抛物线y2=4x于A,B两点,求|AB|.
解 直线l的方程为y-0=1·(x-2),即y=x-2.与抛物线的方程联立,消去y,得x2-8x+4=0.设A(xA,yA),B(xB,yB),由根与系数的关系,得xA+xB=8,xAxB=4,
规律方法　求抛物线弦长问题的方法(1)一般弦长公式
(2)焦点弦长设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p,然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2即可.(3)解决焦点弦问题时,应注意焦点弦的几何性质.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率等问题,注意利用根与系数的关系,设而不求,能避免繁杂的计算.
解析 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,设点A(x1,y1),B(x2,y2),依题意,x1-(-1)=3,解得x1=2,显然,直线l的斜率存在且不为0,设其方程为
探究点三　与抛物线有关的最值问题
【例3】 (1)[北师大版教材习题]已知点P在抛物线y2=-4x上,求点P到椭圆
解 设P(x,y),由已知可得椭圆的左顶点为A(-4,0),所以|PA|2=(x+4)2+y2=x2+4x+16=(x+2)2+12≥12,当x=-2时,|PA|取得最小值2 .
(2)求抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的最小距离.
解 (方法一)设A(t,-t2)为抛物线上的点,则点A到直线4x+3y-8=0的距离
(方法二)如图,设与直线4x+3y-8=0平行的抛物线的切线方程为4x+3y+m=0,
规律方法　1.求抛物线上一点到定直线的距离的最值,最常见的解题思路:一是利用抛物线的标准方程进行消元代换,得到有关距离的含变量的代数式,以计算函数最值来解决.二是转化两平行线间距离,代入两平行线间距离公式可求得.2.建立形与数的联系,提升数形结合的能力,有利于优化解题的方式与方法.
变式训练3已知P为抛物线y= x2上的动点,P在x轴上的射影为H,点A的坐标为(12,6),则|PA|+|PH|的最小值是(　　)A.13B.12C.11D.10
解析 化抛物线y= x2为标准形式x2=4y,得它的焦点为F(0,1),准线为l:y=-1,延长PH交准线于G,连接PF,根据抛物线的定义,得|PA|+|PH|=|PA|+|PG|-1 =|PA|+|PF|-1.∵|PA|+|PF|≥|AF|,∴当且仅当P,A,F三点共线时,|PA|+|PF|=|AF|为最小值.
1.若抛物线x=-my2(m≠0)的焦点到准线的距离为2,则m=(　　)
2.已知抛物线y=4x2上一点P到焦点的距离为1,则点P的纵坐标为(　　)
3.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C
解析 设Q到l的距离为d,则由抛物线的定义可得|QF|=d.