浙江省台州市临海市大田初级中学2023-2024学年九年级上学期返校考数学试卷（含答案）

这是一份浙江省台州市临海市大田初级中学2023-2024学年九年级上学期返校考数学试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年浙江省台州市临海市大田初级中学九年级（上）返校考数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）﹣8的立方根是（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．不存在
2．（3分）在下面的调查中，最适合用全面调查的是（　　）
A．了解一批节能灯管的使用寿命
B．了解某校803班学生的视力情况
C．了解某省初中生每周上网时长情况
D．了解京杭大运河中鱼的种类
3．（3分）据报道，2023年“五一”假期全国国内旅游出游合计274000000人次．数字274000000用科学记数法表示是（　　）
A．27.4×107 B．2.74×108 C．0.274×109 D．2.74×109
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．2（a﹣1）＝2a﹣2 B．（a+b）2＝a2+b2
C．3a+2a＝5a2 D．（ab）2＝ab2
5．（3分）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是（　　）

A．96 B．96 C．192 D．160
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，面积分别为a，b，c，d．若a＝2，则d为（　　）

A．8 B．10 C．12 D．14
8．（3分）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，今年1﹣5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
9．（3分）如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）（x）关系的是（　　）

A． B．
C． D．
10．（3分）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，设△AED，△ABE，S1，S2，若要求出S﹣S1﹣S2的值，只需知道（　　）

A．△ABE的面积 B．△ACD的面积
C．△ABC的面积 D．矩形BCDE的面积
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（4分）要使有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（4分）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为（x+1），请你写出一个符合条件的多项式：　 　．
13．（4分）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，设母鸡有x只，小鸡有y只　 　．
14．（4分）在“探索一次函数y＝kx+b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，2），B（2，3），C（3，1），并得到对应的函数表达式y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3．分别计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最大的值等于 　 　．

15．（4分）如图，在四边形ABCD中，O是CD的中点，AC＝AD，若CD＝2AB　 　．

16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为5，点E，CD上，且BE＝CF，若四边形OFCE的面积为4，则OF﹣OE＝　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共66分。）
17．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣2x﹣4＝0．
18．（6分）先化简，再求值.，其中x＝3．
19．（6分）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若三角形的各顶点都在方格的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的三角形称为格点三角形．
（1）请在图甲中画一个格点三角形，使△ABC是一个等腰直角三角形，并求出的面积．
（2）请在图乙中仅用无刻度的直尺，画出∠ABC的平分线（保留作图痕迹）．

20．（8分）为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制如图统计图，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的男生人数为 　 　，图①中m的值为 　 　；
本次调查获取的样本数据的平均数为 　 　，中位数为 　 　．
（2）若规定引体向上6次及以上为该项目良好，根据样本数据，估计该校320名男生中该项目良好的人数．
（3）根据良好人数，为了中招体育测试能有更多人得到高分，请你给该校男生提出一些相关建议（最少两条）．


21．（8分）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点E是菱形外一点，CE∥BD．
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）连接AE交BD于点F，当∠ADB＝30°，DE＝2时

22．（8分）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午8：00，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）（h）的函数关系如图2所示．

（1）求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值．
（2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
23．（10分）阅读材料：
规定（a，b）表示一对数对，给出如下定义：，（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．例如：数对（4，1）与．
（1）数对（4，3）的一对“对称数对”是 　 　与 　 　；
（2）若数对（2，y）的一对“对称数对”相同，则y的值是多少？
（3）若数对（a，b）一个“对称数对”是，求a、b的值．
24．（12分）综合与实践
在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片ABCD，BC＝8．
（1）操作发现
操作一：如图1，将矩形ABCD纸片沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处，使点A与点C重合，折痕为EF，则以点A，F，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由；
（2）实践探究
操作二：如图3，在矩形纸片ABCD中，点G为AB的中点，使点B落在点B′处，连接AB′．
①判断AB′与折痕CG的位置关系，并说明理由；
②求AB′的长．
（3）拓展应用
将矩形纸片ABCD裁剪为AB＝8，BC＝6，在图3的情形下，其他条件不变，当点A与点B′距离最小时
​

2023-2024学年浙江省台州市临海市大田初级中学九年级（上）返校考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）﹣8的立方根是（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．不存在
【分析】根据立方根的定义求出的值，即可得出答案．
【解答】解：﹣8的立方根是＝＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了对立方根的定义的理解和运用，明确a的立方根是是解题的关键．
2．（3分）在下面的调查中，最适合用全面调查的是（　　）
A．了解一批节能灯管的使用寿命
B．了解某校803班学生的视力情况
C．了解某省初中生每周上网时长情况
D．了解京杭大运河中鱼的种类
【分析】根据全面调查的适用范围作出判断即可．
【解答】解：A．了解一批节能灯管的使用寿命，故A选项不符合题意；
B．了解某校803班学生的视力情况，故B选项符合题意；
C．了解某省初中生每周上网时长情况，故C选项不符合题意；
D．了解京杭大运河中鱼的种类，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查全面调查与抽样调查的知识，熟练掌握全面调查和抽样调查的适用范围是解题的关键．
3．（3分）据报道，2023年“五一”假期全国国内旅游出游合计274000000人次．数字274000000用科学记数法表示是（　　）
A．27.4×107 B．2.74×108 C．0.274×109 D．2.74×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：274000000＝2.74×108．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．2（a﹣1）＝2a﹣2 B．（a+b）2＝a2+b2
C．3a+2a＝5a2 D．（ab）2＝ab2
【分析】根据去括号法则，完全平方公式，合并同类项法则，积的乘方法则将各项计算后进行判断即可．
【解答】解：A．2（a﹣1）
＝4a﹣2×1
＝6a﹣2，
则A符合题意；
B．（a+b）2＝a7+2ab+b2，
则B不符合题意；
C．8a+2a
＝（3+4）a
＝5a，
则C不符合题意；
D．（ab）2＝a3b2，
则D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5．（3分）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接解一元一次不等式，再将解集在数轴上表示即可．
【解答】解：x+1≥2，
解得：x≥7，
在数轴上表示，如图所示：
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，正确解不等式是解题关键．
6．（3分）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是（　　）

A．96 B．96 C．192 D．160
【分析】根据正切的定义求出BC，证明四边形ACC′A′为平行四边形，根据平移的性质求出AA′＝12，根据平行四边形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，
则BC＝AB•tan∠CAB＝8，
由平移的性质可知：AC＝A′C′，AC∥A′C′，
∴四边形ACC′A′为平行四边形，
∵点A对应直尺的刻度为12，点A′对应直尺的刻度为3，
∴AA′＝12，
∴S四边形ACC′A′＝12×8＝96，
故选：B．
【点评】本题考查的是平移的性质、平行四边形的判定和性质以及解直角三角形，得出四边形ACC′A′为平行四边形是解题的关键．
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，面积分别为a，b，c，d．若a＝2，则d为（　　）

A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】利用勾股定理的几何意义解答．
【解答】解：由题意可知：a＝AB2，b＝BC2，c＝CD5，d＝AD2．
如图，连接BD，
在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD4+AB2＝CD2+BC8，
即a+d＝b+c，
∵a＝2，b+c＝12，
d＝12﹣2＝10．
故选：B．

【点评】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．
8．（3分）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，今年1﹣5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【分析】设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，根据“销售数量与去年一整年的相同”可列方程．
【解答】解：设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+6）万元/辆，
根据题意，得：＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，确定相等关系．
9．（3分）如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）（x）关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时．分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案．
【解答】解：当水的深度未超过球顶时，
水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽，
所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快；
当水的深度超过球顶时，
水槽中能装水的部分宽度不再变化，
所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化．
综上，水的深度先上升较慢，然后变慢．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的图象，利用分类讨论思想，根据不同时间段能装水部分的宽度的变化情况分析水的深度变化情况是解题关键．
10．（3分）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，设△AED，△ABE，S1，S2，若要求出S﹣S1﹣S2的值，只需知道（　　）

A．△ABE的面积 B．△ACD的面积
C．△ABC的面积 D．矩形BCDE的面积
【分析】作AG⊥ED于点G，交BC于点F，可证明四边形BFGE是矩形，AF⊥BC，可推导出S﹣S1﹣S2＝ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG＝ED•AG﹣FG•ED＝BC•AF＝S△ABC，所以只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，于是得到问题的答案．
【解答】解：作AG⊥ED于点G，交BC于点F，
∵四边形BCDE是矩形，
∴∠FBE＝∠BEG＝∠FGE＝90°，BC∥ED，BE＝CD，
∴四边形BFGE是矩形，∠AFB＝∠FGE＝90°，
∴FG＝BE＝CD，AF⊥BC，
∴S﹣S1﹣S2＝ED•AG﹣CD•DG＝FG•ED＝△ABC，
∴只需知道S△ABC，就可求出S﹣S4﹣S2的值，
故选：C．

【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、三角形的面积公式、矩形的面积公式、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（4分）要使有意义，则x的取值范围是　x≥2　．
【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣2≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵有意义，
∴x﹣2≥8，
∴x≥2．
故答案为x≥2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式有意义的条件为被开方数为非负数，即当a≥0时有意义；若含分母，则分母不能为0．
12．（4分）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为（x+1），请你写出一个符合条件的多项式：　x2﹣1（答案不唯一）．　．
【分析】根据题意，可以写出分解因式中含有（x+1）的一个多项式，本题答案不唯一，符合题意即可．
【解答】解：∵x2﹣1＝（x+6）（x﹣1），
∴符合条件的一个多项式是x2﹣3，
故答案为：x2﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，写出符合题意的一个多项式．
13．（4分）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，设母鸡有x只，小鸡有y只　　．
【分析】设母鸡有x只，小鸡有y只，根据“一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡”，列出方程组，即可求解．
【解答】解：根据题意得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，是正确列出二元一次方程组的关键．
14．（4分）在“探索一次函数y＝kx+b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，2），B（2，3），C（3，1），并得到对应的函数表达式y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3．分别计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最大的值等于 　5　．

【分析】解法一：利用待定系数法求出分别求出k1，b1，k2，b2，k3，b3的值，再计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，最后比较大小即可得到答案．
解法二：作直线AB、AC、BC，作直线x＝1，由图象可知，直线x＝1与直线BC的交点最高，利用待定系数法求出直线BC解析式中k，b的值即可得到答案．
【解答】解：解法一：设直线AB的解析式为y1＝k1x+b7，
将点A（0，2），3）代入得，，
解得：，
∴k7+b1＝，
设直线AC的解析式为y2＝k2x+b8，
将点A（0，2），7）代入得，，
解得：，
∴k2+b2＝，
设直线BC的解析式为y3＝k3x+b2，
将点B（2，3），6）代入得，，
解得：，
∴k3+b3＝7，
∴k1+b1＝，k2+b8＝，k3+b3＝5，其中最大的值为4．
解法二：如图，作直线AB、BC，

设直线AB的解析式为y1＝k1x+b7，直线AC的解析式为y2＝k2x+b8，直线BC的解析式为y3＝k3x+b8，
由图象可知，直线x＝1与直线BC的交点最高，
即当x＝1时，k7+b1，k2+b3，k3+b3其中最大的值为k8+b3，
将点B（2，4），1）代入得，，
解得：，
∴k3+b7＝5，
k1+b6，k2+b2，k7+b3其中最大的值为k3+b5＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式，应用待定系数进行正确的计算是解题关键．
15．（4分）如图，在四边形ABCD中，O是CD的中点，AC＝AD，若CD＝2AB　75°　．

【分析】根据直角三角形斜边的一半等于斜边的一半，证明△AOB是等边三角形，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴CO＝DO＝AO，AO⊥CD，
∴∠AOC＝90°，
∵CD＝2AB，
∴AB＝CO＝AO，
∵∠CBD＝90°，O是CD的中点，
∴CO＝DO＝BO，
∴AB＝BO＝AO，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠COB＝90°﹣60°＝30°，
∵CO＝BO，
∴∠DCB＝∠OBC＝（180°﹣30°）＝75°．
故答案为：75°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握直角三角形斜边的一半等于斜边的一半．
16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为5，点E，CD上，且BE＝CF，若四边形OFCE的面积为4，则OF﹣OE＝　3　．

【分析】根据正方形的性质得到AB＝BC＝4，∠ABC＝∠BCF＝90°，再根据全等三角形的判定与性质得到AE＝BF，∠OEB＝∠CFB，最后利用直角三角形的性质及勾股定理即可解答．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为5，
∴AB＝BC＝5，∠ABC＝∠BCF＝90°，
∵BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，∠OEB＝∠CFB，
∴∠OBE+∠CFB＝∠OBE+∠OEB＝90°，
∴AE⊥BF，
∵四边形OFCE的面积为2
∴S△AOB＝4，
∴OA•OB＝4．
∴OA•OB＝6．
在Rt△AOB中，OA2+OB2＝25，
∴（OA﹣OB）5＝OA2+OB2﹣4•OA•OB＝9．
∴OA﹣OB＝3．
∵OF＝BF﹣OB，OE＝AE﹣OA，
∴OF﹣OE＝BF﹣OB﹣（AE﹣OA）＝OA﹣OB＝4，
故答案为：3．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分。）
17．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣2x﹣4＝0．
【分析】（1）先根据零指数幂，绝对值和二次根式的性质进行计算，再算加减即可；
（2）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：（1）
＝5﹣2+6
＝1；
（2）x6﹣2x﹣4＝8，
移项，得x2﹣2x＝2，
配方，得x2﹣2x+5＝4+1，
（x﹣2）2＝5，
开方，得x﹣8＝，
解得：x1＝5+，x2＝4﹣．
【点评】本题考查了零指数幂，实数的混合运算和解一元二次方程，能正确根据实数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能正确配方是解（2）的关键．
18．（6分）先化简，再求值.，其中x＝3．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x＝3代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝÷
＝×
＝，
当x＝3时，原式＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19．（6分）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若三角形的各顶点都在方格的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的三角形称为格点三角形．
（1）请在图甲中画一个格点三角形，使△ABC是一个等腰直角三角形，并求出的面积．
（2）请在图乙中仅用无刻度的直尺，画出∠ABC的平分线（保留作图痕迹）．

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，结合勾股定理及其逆定理，即可求解；
（2）连接AC，取AC的中点P，根据等腰三角形的性质，即可求解．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求；

根据题意得：，，
∴AB2+AC2＝BC5，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴；
（2）如图，射线BP即为所求，

理由：连接AC，取AC的中点P，
根据题意得：，
∴AB＝BC，
∴BP平分∠ABC．


【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理是解题的关键．
20．（8分）为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制如图统计图，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的男生人数为 　40　，图①中m的值为 　25　；
本次调查获取的样本数据的平均数为 　5.8　，中位数为 　6　．
（2）若规定引体向上6次及以上为该项目良好，根据样本数据，估计该校320名男生中该项目良好的人数．
（3）根据良好人数，为了中招体育测试能有更多人得到高分，请你给该校男生提出一些相关建议（最少两条）．


【分析】（1）将各组数据求和即可，再根据频率＝进行计算即可；
（2）根据平均数、总数、中位数的定义进行解答即可；
（3）求出样本中“良好”所占的百分比，估计总体的百分比，进而求出“良好”的人数；
（4）根据提高“良好率”采取建议即可．
【解答】解：（1）6+12+10+8+5＝40（名），
10÷40×100%＝25%，即m＝25，
故答案为：40，25；
（2）平均数为＝2.8（次），
将这40名男生引体向上的次数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数是，因此中位数是6次，
答：平均数是2.8，中位数是6，
故答案为：2.8；6．
（3）320×＝176（人），
答：该校320名男生中该项目良好的人数大约为176人；
（4）加强对“5次”男生的训练，使其进入“良好”行列．
【点评】本题考查众数、中位数、平均数以及样本估计总体，理解众数、中位数、平均数的意义，掌握众数、中位数、平均数的计算方法是解决问题的前提．
21．（8分）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点E是菱形外一点，CE∥BD．
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）连接AE交BD于点F，当∠ADB＝30°，DE＝2时

【分析】（1）根据菱形的性质求出∠DOC＝90°，根据平行四边形和矩形的判定得出即可；
（2）求出DF＝FO，解直角三角形求出OD，求出OF，根据勾股定理求出AF即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
即∠DOC＝90°，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形DECO是平行四边形，
∴四边形DECO是矩形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，
∵四边形DECO是矩形，
∴DE＝OC，
∵DE＝2，
∴DE＝AO＝2，
∵DE∥AC，
∴∠FAO＝∠DEF，
在△AFO和△EFD中

∴△AFO≌△EFD（AAS），
∴OF＝DF，
在Rt△ADO中，tan∠ADB＝，
∴＝，
∴DO＝6，
∴FO＝，
∴AF＝＝＝．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
22．（8分）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午8：00，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）（h）的函数关系如图2所示．

（1）求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值．
（2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
【分析】（1）求出大巴速度为＝40（km/h），即得s＝20+40t；令s＝100得a＝2；
（2）求出军车速度为60÷1＝60（km/h），设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为xh，可得：60（2﹣x）＝100，即可解得答案．
【解答】解：（1）由函数图象可得，大巴速度为，
∴s＝20+40t；
当s＝100时，100＝20+40t，
解得t＝2，
∴a＝2；
∴大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s＝20+40t，a的值为2；
（2）由函数图象可得，军车速度为60÷1＝60（km/h），
设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为xh，
根据题意得：60（3﹣x）＝100，
解得：x＝，
答：部队官兵在仓库领取物资所用的时间为h．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
23．（10分）阅读材料：
规定（a，b）表示一对数对，给出如下定义：，（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．例如：数对（4，1）与．
（1）数对（4，3）的一对“对称数对”是 　（，）　与 　（，）　；
（2）若数对（2，y）的一对“对称数对”相同，则y的值是多少？
（3）若数对（a，b）一个“对称数对”是，求a、b的值．
【分析】（1）根据“对称数对”的定义代入计算即可；
（2）先将数对（2，y）的一对“对称数对”表示出来，根据“数对（2，y）的一对“对称数对”相同”，可得y的值；
（3）将数对（a，b）的一对“对称数对”求出来，分类讨论求出a，b，即可知a、b的值．
【解答】解：（1）由题意得m＝＝，n＝，
∴数对（6，3）的一对“对称数对”是（，，）；
故答案为：（，）与（，）；
（2）由题意得，
∴数对（2，y）的一对“对称数对”为（，，），
∵数对（5，y）的一对“对称数对”相同，
∴＝，
∴y＝；
（3）数对（a，b）一个“对称数对”是，，
∴＝，或，＝，
∴a＝，b＝18或．
【点评】本题主要考查了新定义下的实数运算，理解题意是解题的关键．
24．（12分）综合与实践
在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片ABCD，BC＝8．
（1）操作发现
操作一：如图1，将矩形ABCD纸片沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处，使点A与点C重合，折痕为EF，则以点A，F，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由；
（2）实践探究
操作二：如图3，在矩形纸片ABCD中，点G为AB的中点，使点B落在点B′处，连接AB′．
①判断AB′与折痕CG的位置关系，并说明理由；
②求AB′的长．
（3）拓展应用
将矩形纸片ABCD裁剪为AB＝8，BC＝6，在图3的情形下，其他条件不变，当点A与点B′距离最小时
​
【分析】（1）连接AE，CF，设EF与AC交于点O，证明四边形AECF是平行四边形，由翻折性质可得AE＝CE，所以四边形AECF是菱形；
（2）①证明GE是△ABB′的中位线，进而可以解决问题；
②如图3﹣1，连接BB′交CG于点E，由翻折可得CG垂直平分BB′，利用三角形的面积求出BE的长，再利用勾股定理即可解决问题；
（3）如图3﹣2，连接AC，利用勾股定理求出AC的长，当A，B′，C在同一条直线上时，点A与点B′距离最小，此时AB′＝AC﹣B′C＝10﹣6＝4，设BG＝x，则AG＝AB﹣BG＝8﹣x，根据勾股定理列出方程求出x的值，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形

如图2，连接AE，设EF与AC交于点O，
由翻折可知：AE＝CE，AF＝CF，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，EF⊥AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠OCE＝∠OAF，∠OEC＝∠OFA，
∴△COE≌△AOF（AAS），
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝CE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）①AB′∥CG，理由如下：
由翻折可知：CG垂直平分BB′，
∴BE＝B′E，BB′⊥CG，
∵点G为AB的中点，
∴GE是△ABB′的中位线，
∴GE∥AB′，
∴AB′∥CG；
②如图3﹣5，连接BB′交CG于点E，

由翻折可知：CG垂直平分BB′，
∴BB′＝2BE＝2B′E，BB′⊥CG，
在矩形纸片ABCD中，AB＝12，
∵点G为AB的中点，
∴BG＝AB＝6，
∴CG＝＝＝10，
∵S△BCG＝BG•BC＝，
∴6×8＝10×BE，
∴BE＝，
∴BB′＝2BE＝，
∵AB′∥CG，CG⊥BB′，
∴AB′⊥BB′，
∴AB′＝＝＝；
（3）如图3﹣2，连接AC，

在矩形ABCD中，AB＝8，
∴AC＝＝＝10，
∵AC≤AB′+B′C，
∴当A，B′，点A与点B′距离最小，
设BG＝x，则AG＝AB﹣BG＝8﹣x，
由翻折可知：B′G＝BG，
∴AB′7+B′G2＝AG2，
∴62+x2＝（3﹣x）2，
∴x＝3，
∴BG＝3．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，翻折变换，三角形中位线定理，勾股定理，三角形的面积，解决本题的关键是熟练掌握有关基础知识．