小学人教版7 数学广角——植树问题导学案及答案

课题

植树问题（1）

课型

新授课

设计说明

本节课的主要任务是向学生渗透一种思想，一种在数学上、在研究问题上都很重要的思想——化归思想。这种思想的渗透能很好地帮助学生理解寻求解决复杂问题的一般方法，那就是从简单问题、简单事例入手，寻求规律，最终依据规律解决问题。因此，本节教学设计通过让学生解决在较短的小路边植树的问题，发现植树问题中棵数、段数与间隔数的关系，从而使学生领悟到当解决复杂问题时，要先从简单问题入手寻找解题规律，如探究在20m的路上栽树时，每隔5m栽一棵（两端要栽），能栽几棵树必须明确4个间隔是什么意思，是怎么得到的，为什么是5棵树，它跟4个间隔有什么关系。

在经历了从简单事例入手之后，各部分名称的实际意义已经得到了强化。与此同时，植树问题（两端栽树）的一般解法也已经得到了归纳。通过步步渗透，最后求在100m的小路一边栽多少棵树也是自然而然的事。在这里我着重强调两个方面的内容：一是算式的渗透。用算式来表示学习的过程与结果是数学教学的特色，这一点必须贯穿整个研究过程。二是关注和强化理解间隔数的概念，因为它是解决一切植树问题的基础与起点。只有在理解间隔数的基础上来研究棵数，学生学习起来才得心应手。

学习目标

1.理解在一条线段上植树（两端都栽）的情况下“棵数=间隔数+1”的关系。

2.能将植树问题推广到生活中的其他问题，会通过画线段图的方法来分析题意。

3.培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。初步体验数学与生活的密切联系，培养学生的主动探究意识。

学习重点

从实际问题中探索并总结棵数与间隔数之间的关系。

学习难点

运用植树问题的思想方法解决生活中的实际问题。

学习准备

教具准备：PPT课件

课时安排

1课时

教学环节

导 案

学 案

达标检测

一

谜语导入，揭示课题。（5分钟）

1.出示谜语：两棵小树十个杈，不长叶子不开花，能写会算还会画，天天干活不说话。（手）

2.介绍间隔。

（1）大家的小手上也隐藏着数学的奥秘哟，伸出你的左手，看看5个手指间有几个空？

（2）说明：在数学上，我们把像这样的空叫做间隔，手上每两个手指间都有一个间隔。5个手指间有4个间隔，间隔数为4。（老师伸出4个手指、3个手指、2个手指）现在有几个间隔？

（3）大家发现手指数和间隔数的关系了吗？谁能说一说？

3.引入课题。

老师：在生活中，间隔随处可见。每相邻两棵树之间的距离也是一个间隔，这节课我们就一起来研究和解决一些简单的、与间隔有关的问题。（板书课题）

1.学生猜谜语。

2.（1）伸出自己的手指观察，思考老师提出的问题。（2）认真思考并回答老师的问题。

（3）学生交流后明确：手指数比间隔数多1。

3.明确本节课的学习内容，进入新课的学习。

1.数一数。

（1）数自己所在的小组，第一名和最后一名同学之间有多少个空隙？

（2）数自己的左手或右手的手指间有多少个空隙？

答案：略

2.填一填。

（1）在一条路的一边上，每隔10m有一根电线杆（两端都有），一共有24根电线杆，这条路长（    ）m。

（2）把65棵树栽在一条长640m的水渠一边（两端都栽），每相邻两棵树之间的距离是（      ）m。

答案：（1）230

（2）10

3.（1）一段路长720m，在路的一边每隔3m栽一棵树（两端要栽）。一共要栽多少棵树？

720÷3＝240

240+1＝241（棵）

答：一共要栽241棵树。

（2）在某城市一条柏油马路上，从始发站到终点站共有14个车站，每两个车站间的平均距离是1200m。这条马路有多长？

1200×（14-1）

＝15600（m）

答：这条马路有15600m长。

4.一根木头长8m，每2m锯一段。一共要锯多少次？

8÷2-1＝3（次）

答：一共要锯3次。

二

引导探究，发现问题。（25分钟）

1.分析题意，猜测结果。（课件出示教材第106页例1）

（1）自由读题，说一说从题中你获得了哪些信息？

（2）根据学生的汇报和教师说明：两棵树之间的一段距离，我们可以看作一个间隔。

（3）学生根据题意，动笔尝试计算。

（4）全班交流自己是怎样计算的。（教师板书）

2.小组探究，发现规律。

老师：同学们大胆的猜想，算出了这么多结果，到底该栽多少棵树呢？下面就让我们来验证一下吧!

（1）化繁为简。

以20米为例，看看20米的路可以栽几棵树，同学们合作讨论，仿照老师的课件演示，用画线段的方法独立完成。

（2）老师：间隔长度是几米？有几个间隔？种了几棵树？

（3）用画线段的方法，独立计算出在“25m的小路一边植树（两端都栽），每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵树”。

（4）提问：从上面的这些例子中，同学们发现间隔数和棵数之间的规律了吗？

（5）应用发现的规律口答：30m、35m要栽多少棵树？

3.应用规律，解决问题。

（1）运用上面学习的知识说说例1的三种解法中哪种解法是正确的？并说明自己的理由。

（2）教师总结：当遇到这类问题时，我们可以先化繁为简，然后对简单问题用画线段图或示意图的方法来帮助思考分析，发现规律，然后应用找到的规律来解决问题，使复杂问题简单化。

1.（1）学生交流自己了解到的信息。

（2）学生认真倾听、思考。

（3）学生在草稿本上尝试计算。

（4）学生交流自己的计算方法。

2.（1）学生动手尝试，教师巡视指导。

（2）学生根据自己的操作，汇报结果。

（3）学生独立解答，然后汇报，集体修正。

（4）同学们讨论后明确：总长÷间距=间隔数，棵数=间隔数+1。

（5）举手发言，集体订正。

3.（1）自由交流，并说明自己的理由。

（2）认真倾听、思考。

三

巩固深化。（8分钟）

完成教材第109页第2、3题。

学生分析题意后，画出线段图，独立列出算式，并汇报计算的思路及结果。

教学过程中老师的疑问：

四

课堂总结，布置作业。（2分钟）

1.通过今天的学习，你有什么收获？

2.布置作业。

1.交流自己本节课的收获。

2.独立完成作业。

五

教学板书

植树问题（1）

棵数=间隔数+1

100÷5=20（个）    20+1=21（棵）

六

教学反思

1.以学生熟悉的手为素材，初步感受手指数与间隔数的关系，使学生感受数学与生活的密切联系，在不知不觉中展开对数学问题的探索，激发探求植树问题的欲望。让学生进一步体会数学源于生活，数学就在我们身边，从而让学生感受到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣，也为下节课做好铺垫。

2.利用多媒体课件的演示，加深了学生的印象，也激发了学生的学习兴趣，使课题直观易懂。通过放手让学生自己去探索，使学生体会到了间隔数与棵数之间的关系，初步构建了两端都栽的一种模型。及时的巩固练习使所学知识得到了很好的应用，体现了数学知识在生活中的应用。

教师点评和总结：

课题

植树问题（2）

课型

新授课

设计说明

1.重视数学模型的建立过程。

学习数学的目的是为了应用数学，在应用数学解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步。因此，我在教学中设计了“形成猜想——化繁为简——合作交流——发现规律——梳理方法——应用规律”的教学流程，意在让学生经历“猜想——验证——建立数学模型——应用”这一过程，从而建立“植树问题”的数学模型。

2.在探究过程中感受数学。

《课程标准》特别强调：数学活动必须给学生提供充分地从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中获得广泛的数学活动经验。整节课，每一个环节我都会让学生动手操作，合作交流。学生在不断地操作和交流中，经历了观察、发现和感受的全过程，学到了解决问题的方法，并获得了更深层次的情感体验。

学习目标

1.理解在一条线段上植树（两端不栽）的情况下“棵数=间隔数-1”的关系。

2.会通过线段图来分析理解两端不栽的植树问题。

3.能将两端不栽的植树问题推广到生活中去。

4.培养应用意识和解决实际问题的能力，增强学生学习数学的兴趣。

学习重点

理解和掌握两端不栽的植树问题的规律。

学习难点

理解两端不栽的植树问题的“棵数”与“间隔数”之间的关系。

学习准备

教具准备：PPT课件

课时安排

1课时

教学环节

导案

学案

达标检测

一

对比引入，揭示课题。（5分钟）

1.出示复习题：在一条21m长的小路一旁栽树，每隔3m栽一棵（两端都栽），一共要栽多少棵树？

（1）要求学生说一说自己是怎样解决这个问题的。

（2）对于两端都栽的植树问题，棵数和间隔数之间有怎样的关系？

2.引入新课。

同学们对于上节课的知识掌握得非常好！如果老师把上题改成：在一条21m长的小路的一旁栽树，每隔3m栽一棵（两端不栽），一共要栽多少棵树？

（1）想一想，这道题与上一道题比较，有什么变化？

（2）说一说你是怎么理解“两端不栽”的？

（3）这节课我们就来研究一下“两端不栽”的植树问题，看看棵数与间隔数之间有怎样的关系。（板书课题）

1.（1）学生交流如何解决这个问题。

（2）学生明确：棵数=间隔数+1。

2.(1)交流自己的发现。

（2）学生思考后自由汇报。

（3）明确本节课的学习任务。

1.选一选。

（1）一排礼炮共有29个间隔，共有（    ）门礼炮。

A.28   B.29   C.30

（2）一列共有25张凳子，有（    ）个间隔。

A.26   B.25   C.24

（3）公交车从东站到西站全长18 km，每相邻两站的距离是2 km。一共有（    ）个站点。（两端也设站点）

A.8   B.9   C.10

答案：C   C   C

2.（1）教室的两根柱子之间摆了6盆花，两端都不摆，每隔3 m摆一盆，两根柱子之间的距离有多少米？

3×（6+1）＝21（米）

答：两根柱子之间的距离为21米。

（2）学校门前有一条笔直的小路，在小路的一旁从一头到另一头每隔3 m栽一棵树，两端都不栽，一共栽了18棵，这条小路长多少米？

3×（18+1）＝57（m）

答：这条小路长57米。

3.在日常生活中你遇到过两端不栽的植树问题吗？（举例说明）

举例略。

二

合作探究，发现规律。（25分钟）

1.动手操作，发现规律。

（1）教师引导学生用画线段、摆图形、摆小棒等自己喜欢的方法在小组内研究，完成上面引入部分的题目。

（2）你是用什么方法操作的？从中你发现了什么规律？

（3）教师小结：同学们太了不起了，通过举简单的例子，发现了“两端不栽”的植树问题的规律：棵数=间隔数-1。

2.应用规律，自主解决问题。

（1）课件出示例2，引导学生读题，说说自己发现的数学信息。

（2）学生独立列式解答，并说说解题过程。

（3）教师小结：今天我们学习了植树问题的另一种情况，发现了两端不栽的规律：棵数=间隔数-1。以后同学们在做题时，一定要分清是“两端栽树”还是“两端不栽”中的哪种情形。

1.（1）学生选择自己喜欢的方式完成。

（2）学生汇报自己发现的规律和操作过程。

（3）认真倾听老师的小结，明确“两端不栽”的植树问题的规律。

2.（1）交流自己了解到的数学信息。

（2）学生独立列式解答，并说出每一步求的是什么。

（3）倾听老师的讲解，明确解题之前要认真审题，理解题意后再进行列式。

三

巩固练习。（7分钟）

完成教材第107页“做一做”第1、2题。

学生在小组内进行简单的操作，理解题意后，独立解答。

教学过程中老师的疑问：

四

课堂总结，布置作业。（3分钟）

1.通过今天的学习，你有什么收获？

2.布置作业。

1.交流自己本节课的收获。

2.独立完成作业。

五

教学板书

植树问题（2）

棵数＝间隔数－1

六

教学反思

1.通过自主探索的活动，让学生获得学习成功的体验，增强学生学好数学的信心。结合学生的年龄特点和教学内容，我设计了很多孩子喜闻乐见的教学环节。例如：让学生根据题意大胆进行猜测，激发学习兴趣。再如：在自主探究，发现规律这一环节中让学生选择自己喜欢的方法解题，探究“间隔数”与“棵数”之间的规律。

2.渗透一一对应的思想方法，培养学生数学思维能力和解决问题的能力。让学生通过观察、探究、交流等活动，既学会一些解决问题的一般方法和策略，又逐步形成求实态度和科学精神。

3.注意反映数学与人类生活的密切联系。本节课的教学内容本来就是来自生活，通过观察生活找出解决这类问题的规律，从而应用于生活。所以，我设计的每一环节都紧扣生活，以解决生活中的问题为主线，有目的地进行数学学习活动，使学生学得有趣，同时，增强了数学学习的应用价值。

教师点评和总结：

课题

植树问题（3）

课型

新授课

设计说明

本节课在设计上比较注重新知识和旧知识的联系，关注学生的知识经验和思维特点。能创造性地使用教材，采用更适合学生的素材。提供给学生的学习内容是现实的、有意义的、富有挑战性的。教师的教学方式很明显地发生了变化，不再是教教材、教学生，而是让学生自己去探索。学生的学习方式也发生了很大的变化，不再是教师教什么，学生就学什么，而是通过动手操作、自主探索、合作交流完成自己知识体系的建构。在整个学习活动中，学生是学习活动的主人，教师是学习活动的组织者、引导者、合作者。本节课在转变教师的教学方式和学生的学习方式上、在创造性地使用教材上、在教师的角色转变上，都有较好的体现。

学习目标

1.了解沿封闭图形植树的特征。

2.结合具体情境，掌握解决沿封闭图形植树问题的方法。

3.运用多种方法解决沿封闭图形植树问题。

4.培养学生热爱生活、学以致用的意识，感受数学与现实生活的密切联系。

学习重点

在封闭路线上探讨植树问题。

学习难点

掌握沿封闭图形植树的规律。

学习准备

教具准备：PPT课件

课时安排

1课时

教学环节

导案

学案

达标检测

一

复习旧知，引入课题。（5分钟）

1.课件出示复习题。

（1）学校开展校园文化建设，我们班的植树任务是在一条8m长的小路的一旁，每隔2m栽一棵树，可以怎么栽？

（2）学生汇报。

2.引入新课。

（课件展示在封闭路线上的植树图）生活中，还有把树、花沿着各种封闭图形种植，这节课我们就来研究封闭路线上的植树问题。（板书课题）

1.（1）学生根据已学知识，进行汇报。

（2）学生交流后汇报：

①两端都栽：8÷2+1=5（棵）

②两端都不栽：8÷2-1=3（棵）

2.明确本节课的学习任务。

1.我会填。

一根木棒，要锯成6段，需要锯（     ）次；如果锯3段需要2分钟，那么锯完这根木棒需要（     ）分钟。

答案：55

2.学校教学楼和多功能教室的长廊相距24m，每隔3m放一盆花，两端都要放。一共要放多少盆花？

24÷3+1＝9（盆）

答：一共要放9盆花。

3.一个湖泊周长是180m。沿湖泊周围每隔3m栽两棵柳树，湖泊周围栽了多少棵柳树？

180÷3×2＝120（棵）

答：湖泊周围栽了120棵柳树。

4.同学们围绕圆形池塘栽树，每两棵树之间的距离是3m，照这样计算，种15棵树的距离是多少米？

15×3＝45（m）

答:种15棵树的距离是45米。

二

动手操作，感受新知。

（20分钟）

1.动手操作，发现规律。

（1）沿封闭图形植树，棵数与间隔数之间又有什么关系呢？

（2）利用学具中的绳子和牙签，围一个封闭图形，固定在泡沫板上，数一数牙签数和间隔数，汇报你的发现。

（3）老师：我们虽然围的图形不同，用的牙签根数不同，间隔数也不同，但我们有一个共同的发现，那就是：棵数=间隔数。

2.应用规律，自主学习教材第108页例3。

（1）自主读题，分析题意，明确已知条件和所求问题。

（2）应用规律，独立列式计算。

（3）指名汇报算式，并引导学生理解算式的意义。

3.总结。

通过同学们用不同的方法对封闭路线上的植树问题进行验证，得出了规律，我们可以用这个规律解决很多生活中的实际问题。

1.（1）学生认真倾听、思考。

(2)学生分小组按要求动手操作，教师巡视指导。操作好后汇报自己的发现。

（3）倾听老师的小结，明确封闭图形棵数与间隔数之间的关系。

2.（1）完成老师的要求。

（2）学生用发现的规律独自解答例3。

（3）认真倾听，交流算式的意义。

3.倾听老师的总结，明确在封闭路线上的植树问题的规律：棵数=间隔数。

三

巩固练习。（10分钟）

1完成教材第108页“做一做”。

2.完成教材第111页第13题。

1.学生读题，分析、理解题意，尝试独立解答。

2.学生认真分析题意，发现此题的规律，独立解答。

教学过程中老师的疑问：

四

课堂总结，布置作业。（5分钟）

1.通过今天的学习，你有什么收获？

2.布置作业。

1.交流自己本节课的收获。

2.独立完成作业。

五

教学板书

植树问题（3）

1.一一对应

2.化繁为简

棵数=间隔数

六

教学反思

教学中，我创设了情境，给学生提供多次体验的机会，为学生创设了一种自主、宽松、和谐的学习氛围，给学生充分的时间与空间。如果说生活经验是学习的基础，学生间的合作交流是学习进步的能量，那么借助图形帮助理解就是学生建构知识的催化剂。在例3的教学中，在实际的教学中发现，利用在黑板上画图，分析每一种解法，更加有利于学生对每种解法的理解。学生有了这个催化剂，加上我的这种不拘泥于课件的教学方式，同学们的学习效果就能发生良好的质变。

教师点评和总结：

学习目标

1.利用学生熟悉的生活情境，通过探索让学生进一步从实际问题中发现间隔数与植树棵数之间的规律，培养应用规律解决问题的能力。

2.能够借助图形，利用规律来解决实际生活中的简单植树问题。培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。

3.通过小组合作观察、探索、交流的实践活动,发现间隔数与植树棵数之间的关系，经历和体验“复杂问题简单化”的解题过程和思想。

学习重点

能够正确运用所学的三种植树的情况解决各种实际问题。

学习准备

教具准备：PPT课件  

课时安排

1课时

教学环节

导案

达标检测

知识点1：不封闭路线两端都栽树的问题。

课件出示教材第109页练习二十四第2题。

5路公共汽车行驶路线全长12km，相邻两站之间的路程都是1km。一共设有多少个车站？

分析：此题是两端都栽树的情况，我们运用两端都栽树的规律来求解。

答案：

12÷1=12

12+1=13（个）

答：一共设有13个车站。

1.有一条长1800m的公路，在公路的一侧从头到尾每隔6m栽一棵树，一共需要准备多少棵树苗？

1800÷6=300

300+1=301（棵）

答：一共需要准备301棵树苗。

2.一根木料锯成3段要8分钟。如果每锯一段所用的时间相同，那么锯成7段需要花多少分钟？

3-1=2

8÷2=4（分钟）

7-1=6

4×6=24（分钟）

答：锯成7段需要花24分钟。

3.为了保护公园里的一棵千年古树，园林局决定为它做一个圆形防护栏。如果护栏有10个间隔，一共需要打多少根木桩？

解析：这是封闭路线上植树的情况，植树的数量与间隔数相等。所以，一共需要打10根木桩。

答：一共需要打10根木桩。

知识点2：不封闭路线两端都不栽树的问题。

课件出示教材第109页练习二十四第6题。

一条走廊长32m，每隔4m摆放一盆植物（两端不放）。一共要放多少盆植物？

分析：此题是两端都不栽树的情况，我们运用两端都不栽树的规律来求解。

答案：

32÷4=8

8-1=7（盆）

答：一共要放7盆植物。

知识点3：封闭路线上的植树问题。

课件出示教材第111页练习二十四第12题。

一条项链长60cm，每隔5cm有一颗水晶。这条项链上共有多少颗水晶？

分析：此题是封闭路线上的植树情况，我们运用封闭路线上的植树规律来求解。

答案：

60÷5=12（颗）

答：这条项链上共有12颗水晶。

布置作业

完成教材第109~110页第1、4、5、7、8、9、11题。

教学过程中老师的疑问：

课堂总结

1.说一说本节课的收获。

2.谈谈在解决实际问题中有哪些需要注意或不太懂的地方。

1.自评本节课的收获。

2.自由谈一谈。

教学反思

本节课通过联系实际，调动学生积极性，让学生自主学习，学生经历了猜猜、画画、算算等多种学习形式，自主探究出规律。整个过程培养了学生的动手操作能力和自主探究能力。学生自由选择方案，体现教学方法的开放性，在教师的引导下，学生很快地发现了规律，并构建起植树问题的数学模型。在练习巩固环节中，让学生运用新获得的数学知识来解决生活中的实际问题，让学生意识到生活中处处有数学，数学源于生活，又用于生活，激发学生的学习热情。最后与学生一起找找生活中的原型，学生举例：排队，教室里灯的排列等。

本课设计的立足点在于学生的发展，把学生探索规律的过程作为课堂的中心点，把学习的主动权交给学生，激发了学生的潜能，培养了学生的实践能力和创新意识。

教师点评和总结：