高中数学6.2.2 导数与函数的极值、最值背景图课件ppt

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1.理解极值、极值点的概念,明确极值存在的条件;2.会求函数的极值;3.会求函数在闭区间上的最值;4.能利用导数解决与函数极值、最值相关的综合问题.
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1.极值点与极值一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x,都有
(1)　　　　　,则称x0为函数f(x)的一个　　　　　,且f(x)在x0处取极大值; (2)　　　　　,则称x0为函数f(x)的一个　　　　　,且f(x)在x0处取极小值. 
f(x)f(x0)
极大值点与极小值点都称为　　　　　,极大值与极小值都称为　　　　　.显然,极大值点在其附近函数值最大,极小值点在其附近函数值最小. 
2.极值点的求法一般地,如果x0是y=f(x)的极值点,且f(x)在x0处可导,则必有　　　　　. 
名师点睛求函数y=f(x)极值的步骤第1步,求导数f'(x).第2步,求方程f'(x)=0的所有实数根.第3步,观察在每个根x0附近,从左到右,导函数f'(x)的符号如何变化.如果f'(x)的符号由正变负,则f(x0)是极大值;如果由负变正,则f(x0)是极小值.如果在f'(x)=0的根x=x0的左、右侧,f'(x)的符号不变,则f(x0)不是极值.
过关自诊1.[人教A版教材习题]函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,试找出函数f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.
解 函数f(x)的极值点有x2,x4,其中极大值点为x2,极小值点为x4.
2.[2023江苏南京鼓楼校级期末]若函数f(x)在x=x0处的导数存在,则“函数f(x)在x0处取得极值”是“f'(x0)=0”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
解析 当函数f(x)在x0处取得极值时,f'(x0)=0一定成立,即“函数f(x)在x0处取得极值”是“f'(x0)=0”的充分条件;当f'(x0)=0时,若f'(x0)左右两侧同号时,则不能推出在x0处取得极值,如f(x)=x3,其导函数为f'(x)=3x2,当x=0时,f'(x0)=0,但f(x)=x3是单调函数,无极值点,所以“函数f(x)在x0处取得极值”不是“f'(x0)=0”的必要条件.综上,“函数f(x)在x0处取得极值”是“f'(x0)=0”的充分不必要条件.故选A.
3.[2023重庆永川校级月考]函数y=xex的极小值是(　　)A.-1 B.-e
解析 由y=xex,得y'=ex+xex=(1+x)ex,令y'=0,得x=-1,所以当x0,所以当x=-1时,函数取得极小值 .故选C.
函数f(x)的最大(小)值是函数定义域内最大(小)的函数值.一般地,如果函数y=f(x)在定义域内的每一点都可导,且函数存在极值,则函数的最值点一定是某个极值点;如果函数y=f(x)的定义域为[a,b]且存在极值,函数y=f(x)在(a,b)内可导,那么函数的最值点要么是区间端点a或b,要么是极值点.
名师点睛求函数y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤第1步,求f(x)在开区间(a,b)内所有使f'(x)=0的点.第2步,计算函数f(x)在区间(a,b)内使f'(x)=0的所有点和端点的函数值,其中最大的为最大值,最小的为最小值.
过关自诊1.函数y=f(x),x∈[a,b]的图象如图所示,请写出它的极值和最值.
解f(x1),f(x3),f(x5)是函数y=f(x)的极小值,f(x2),f(x4),f(x6)是函数y=f(x)的极大值.函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值是f(x3),最大值是f(a).
2.[2023河南月考]函数f(x)=x-3x3,x∈[0,1]的最大值是(　　)
角度1.函数极值点的判定【例1】 (1)[2023河南月考]已知函数f(x)的导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则f(x)在开区间(a,b)内的极大值点的个数为(　　)
A.1B.2C.3D.4
解析 由导函数的图象可知,在区间(a,b)内,f'(x)与x轴共有5个交点,从左往右设为x1,x2,x3,x4,x5.第一个点x1处导数左负右正,第二个点x2处导数左正右负,第三个点x3处导数左负右正,第四个点x4处导数左正右正,第五个点x5处导数左正右负,所以极大值点是x2,x5,共两个.故选B.
(2)[2023四川自贡模拟]已知函数f(x)=3x4-8x3+6x2,则f(x)(　　)A.有2个极大值点B.有1个极大值点和1个极小值点C.有2个极小值点D.有且仅有一个极值点
解析 f'(x)=12x3-24x2+12x=12x(x2-2x+1)=12x(x-1)2,因为(x-1)2≥0(当且仅当x=1时取等号),则当x0,解得a>3或a