广东省广州大学附属中学2023-2024学年九年级上学期开学数学模拟试卷（含答案）

这是一份广东省广州大学附属中学2023-2024学年九年级上学期开学数学模拟试卷（含答案），共27页。
2023-2024学年广东省广州大学附中九年级上学期开学数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列四组数中，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52
C．，， D．30，40，50
3．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（　　）

A．18 B．19 C．20 D．21
4．（3分）下列平面直角坐标系中的图象，不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）“整体思想”在数学计算中有着很广泛的应用，用这一思想方法可求得函数y＝﹣（x2﹣2x）2﹣4（x2﹣2x）+2的最大值是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．（3分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含45°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（　　）

A．48cm B．24cm C．48cm D．24cm
7．（3分）若a＜0，则化简|a﹣3|﹣的结果为（　　）
A．3﹣2a B．3 C．﹣3 D．2a﹣3
8．（3分）若一次函数y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第三象限，则一次函数y＝x+kb的图象（　　）
A．不经过第二象限 B．不经过第四象限
C．经过一、二、三象限 D．经过一、三、四象限
9．（3分）灿灿妈妈在网上销售装饰品．最近五天，每天销售某种装饰品的个数为：9，12，13，12，14．灿灿对这组数据的分析，其中错误的是（　　）
A．众数是12 B．平均数是12 C．方差是 D．中位数是13
10．（3分）将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为（　　）

A．11 B．12 C．13 D．14
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如果式子在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 　 　．
12．（3分）一次函数y＝﹣2x+b向上平移3个单位后经过（2，0），则b＝　 　．
13．（3分）新春佳节，某班数学兴趣小组的x名同学互发短信祝贺（每名同学给其余同学每人只发一条短信），一共有90条短信发出，则可列方程为　 　．
14．（3分）已知方程x2﹣8x﹣2＝0的两根分别是x1和x2，那么x1+x2的值为　 　．
15．（3分）如图，点C、B分别在两条直线y＝﹣3x和y＝kx上，点A、D是x轴上两点，若四边形ABCD是正方形，则k的值为 　 　．

16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E是AD上一点，且AE＝1，F是边AB上的动点，以EF为边作矩形EFGH，使EH＝EF，矩形E'F'G'H'是矩形EFGH关于对角线BD的轴对称图形．
（1）当点G'落在BD上时，tan∠GFB＝　 　；
（2）在F从A到B的运动过程中当矩形E'F'G'H'与矩形ABCD的边只有两个交点时，AF的取值范围是 　 　．

三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（1）计算：（）2﹣（2018﹣2019）0+（+1）（﹣1）+tan30°；
（2）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
18．（4分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；并写出对称轴方程和顶点坐标．
（2）当﹣1＜x＜3时，写出y的取值范围．

19．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝50°．
（1）作∠BAD的平分线AE交DC于E； （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）．
（2）按（1）作图所示，若BC＝7，AB＝11，求CE的长．

20．（6分）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为（2，3），B点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣1）．
（1）求AC的长；
（2）求证：AC⊥BC．

21．（8分）为了解某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了若干名学生的实验操作得分（满分为10分），根据获取的样本数据，制作了如下所示的统计图①，②．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽查的学生人数为 　 　，m＝　 　；
（2）求抽取的学生实验操作得分数据的平均数、众数和中位数；
（3）若该校九年级共有1000名学生，估计该校理化生实验操作得满分的学生有多少人？
22．（10分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）连接BE．若AB＝2，∠BAC＝60°，求BE的长．

23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，3），点B坐标为（3，0），过点C（2，0）作直线CD⊥x轴，垂足为C，交线段AB于点D．
（1）如图1，过点A作AE⊥CD，垂足为E，连接BE．
①填空：△ABE的面积为 　 　；
②点P为直线CD上一动点（点P与点E不重合），当S△ABP＝S△ABE时，点P的坐标是 　 　；
（2）如图，长方形AOCE以每秒1个单位长度的速度向右平移，得到长方形A′O′C′E′，同时点M从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在点M使A′M∥E′B，若存在，求出t值，若不存在，请说明理由．

24．（12分）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，），其图象与x轴交于A、B两点，其中点B（4，0），与y轴交于点C．

（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为线段BC上方抛物线上的一点，当点P到线段BC的距离最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，已知点M为对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，求点N的坐标．
25．（12分）如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，且AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC＝10cm．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如图（2），若动点Q从点C出发，在CA边上以每秒5cm的速度向A点匀速移动，同时动点P从点B出发，在BC边上以每秒4cm的速度向C点匀速移动，运动时间为t秒（0≤t＜2），连接BQ、AP，若AP⊥BQ，求t的值；
（3）如图（3），若点Q在对角线AC上，CQ＝4cm，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止．设点P运动了t秒，请你探索：从运动开始，经过多少时间，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？请求出所有可能的结果．


2023-2024学年广东省广州大学附中九年级上学期开学数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、＝2，被开方数含能开得尽方的因数，故A不符合题意；
B、＝|x|，被开方数含能开得尽方的因式，故B不符合题意；
C、，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C符合题意；
D、＝＝|a﹣b|，被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；
故选：C．
2．（3分）下列四组数中，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52
C．，， D．30，40，50
【答案】D
【解答】解：A、0.32+0.42＝0.52，但0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数，不符合题意；
B、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股数，不符合题意；
C、（）2+（）2≠（）2，不是勾股数，不符合题意；
D、302+402＝502，是勾股数，符合题意．
故选：D．
3．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（　　）

A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，
∴OA＝AC＝6，BD＝2OB，
∵AB⊥AC，AB＝8，
∴OB＝＝10，
∴BD＝2OB＝20．
故选：C．
4．（3分）下列平面直角坐标系中的图象，不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：设在某一变化过程中存在两个变量x，y，对于变量x的每一个确定的值，变量y都有唯一确定的值与它对应，我们称y是x的函数，x是自变量，
∵B选项中，对于变量x的每一个确定的值，变量y有两个值与x对应，
∴B选项值的图象不能表示y是x的函数，而其他图象都符合上述特征，
故选：B．
5．（3分）“整体思想”在数学计算中有着很广泛的应用，用这一思想方法可求得函数y＝﹣（x2﹣2x）2﹣4（x2﹣2x）+2的最大值是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解答】解：设y＝﹣（x2﹣2x）2﹣4（x2﹣2x）+2＝﹣t2﹣4t+2＝﹣（t+2）2+6，
∴抛物线y＝﹣（t+2）2+6开口向下，对称轴为直线t＝﹣2，
∴t＞﹣2时，y随t的增大而减小，
∵t＝x2﹣2x＝（x+1）2﹣1，
∴t≥﹣1，
∴t＝﹣1时，﹣（t+2）2+6＝5为函数最大值，
故选：B．
6．（3分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含45°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（　　）

A．48cm B．24cm C．48cm D．24cm
【答案】A
【解答】解：作GM⊥EF于点M．

由题意得：S⑤＝S四边形ABCD﹣（S①+S②+S③+S④）＝11﹣14＝4cm2，
∴S菱形EFGH＝14+4＝18cm2，
又∵∠F＝45°，
设菱形的边长为x，则菱形的高为：GM＝GF＝x，
根据菱形的面积公式得：x•＝18，
解得：x＝6，
∴菱形的边长为6cm，
而①②③④四个平行四边形周长的总和＝2（AE+AH+HD+DG+GC+CF+FB+BE）＝2（EF+FG+GH+HE）＝48cm．
故选：A．
7．（3分）若a＜0，则化简|a﹣3|﹣的结果为（　　）
A．3﹣2a B．3 C．﹣3 D．2a﹣3
【答案】B
【解答】解：∵a＜0，
∴a﹣3＜0，
∴|a﹣3|﹣
＝3﹣a﹣（﹣a）
＝3﹣a+a
＝3，
故选：B．
8．（3分）若一次函数y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第三象限，则一次函数y＝x+kb的图象（　　）
A．不经过第二象限 B．不经过第四象限
C．经过一、二、三象限 D．经过一、三、四象限
【答案】A
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第三象限，
∴k＜0，b≥0，
∴kb≤0，
∴当kb＝0时，一次函数y＝x+kb的图象经过第一、三象限，
当kb＜0时，一次函数y＝x+kb的图象经过第一、三、四象限，
由上可得，一次函数y＝x+kb的图象一定不经过第二象限，
故选：A．
9．（3分）灿灿妈妈在网上销售装饰品．最近五天，每天销售某种装饰品的个数为：9，12，13，12，14．灿灿对这组数据的分析，其中错误的是（　　）
A．众数是12 B．平均数是12 C．方差是 D．中位数是13
【答案】D
【解答】解：数据由小到大排列为9，12，12，13，14，
它的平均数为＝12，
数据的中位数为12，众数为12，
数据的方差＝×[（9﹣12）2+（12﹣12）2+（12﹣12）2+（13﹣12）2+（14﹣12）2]＝．
所以A、B、C正确，D错误．
故选：D．
10．（3分）将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为（　　）

A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【解答】解：由图2可知，大正方形的面积＝5×5＝25，图3中小正方形的面积＝1×1＝1，
设直角三角形的较长边为a，较短边为b，
则由图2可得a2+b2+4×＝25，
即a2+b2+2ab＝25①，
由图3可得（a﹣b）2＝1，
即a2+b2﹣2ab＝1②，
联立①和②可得a2+b2＝13，
即图2中阴影部分的面积为13，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如果式子在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 　x≥1　．
【答案】x≥1．
【解答】解：由题意可得：x﹣1≥0，
解得：x≥1，
故答案为：x≥1．
12．（3分）一次函数y＝﹣2x+b向上平移3个单位后经过（2，0），则b＝　1　．
【答案】1．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知：直线y＝﹣2x+b向上平移3个单位后，其直线解析式为y＝﹣2x+b+3，
∵平移后的直线经过点（2，0），
∴﹣2×2+3+b＝0，
解得b＝1，
故答案为：1．
13．（3分）新春佳节，某班数学兴趣小组的x名同学互发短信祝贺（每名同学给其余同学每人只发一条短信），一共有90条短信发出，则可列方程为　x（x﹣1）＝90　．
【答案】x（x﹣1）＝90．
【解答】解：根据题意，得x（x﹣1）＝90．
故答案为：x（x﹣1）＝90．
14．（3分）已知方程x2﹣8x﹣2＝0的两根分别是x1和x2，那么x1+x2的值为　8　．
【答案】8．
【解答】解：∵方程x2﹣8x﹣2＝0的两根分别是x1和x2，
∴x1+x2＝8，
故答案为8．
15．（3分）如图，点C、B分别在两条直线y＝﹣3x和y＝kx上，点A、D是x轴上两点，若四边形ABCD是正方形，则k的值为 　　．

【答案】．
【解答】解：设C（a，﹣3a），B（b，kb），
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥x轴，
∴﹣3a＝kb，
∵BC＝AB，
∴b﹣a＝kb，
∴b﹣a＝﹣3a，
∴b＝﹣2a，
∴﹣3a＝﹣2ak，
∴k＝，
故答案为．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E是AD上一点，且AE＝1，F是边AB上的动点，以EF为边作矩形EFGH，使EH＝EF，矩形E'F'G'H'是矩形EFGH关于对角线BD的轴对称图形．
（1）当点G'落在BD上时，tan∠GFB＝　　；
（2）在F从A到B的运动过程中当矩形E'F'G'H'与矩形ABCD的边只有两个交点时，AF的取值范围是 　＜AF＜　．

【答案】（1）．
（2）＜AF＜．
【解答】解：（1）如图，作GK⊥AB于点K，则∠FKG＝∠BKG＝90°，GK∥AD，

∵点G′与点G关于直线BD对称，且点G′在BD上，
∴点G在BD上，
∴＝2，
∴BK＝2GK，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EFG＝90°，FG＝EH，
∴∠KFG＝90°﹣∠AFE＝∠AEF，
∵∠FKG＝∠A＝90°，
∴△KFG∽△AEF，
∴＝＝＝，
∴FA＝2GK，KF＝AE＝，
∴2GK+2GK+＝8，
∴GK＝，
∴tan∠GFB＝＝＝．
故答案为：；
（2）作△A′BD与△ABD关于直线BD对称，设A′B交CD于点L，
∴∠A′＝∠A＝90°，A′D＝AD＝4，A′B＝AB＝8，点E′、F′分别在A′D、A′B上，
∴A′F′＝AF，A′E′＝AE＝1，
∵CD∥AB，
∴∠LDB＝∠ABD，
∵∠ABD＝∠LBD，
∴∠LDB＝∠LBD，
∴LB＝LD，
∵A′B＝AB＝CD＝8，
∴A′L＝8﹣LB＝8﹣LD，
∵LD2＝A′L2+A′D2，
∴LD2＝（8﹣LD）2+42，
∴LD＝5，
∴A′L＝8﹣5＝3．
①当点G′落在边CD上时，如图3，作G′M⊥A′B于点M，
则∠G′ML＝∠G′MF′＝∠A′＝90°，
∵矩形E'F'G'H'与矩形EFGH关于直线BD对称，
∴∠E′F′G′＝∠EFG＝90°，
∴∠MG′F′＝90°﹣∠MF′G′＝∠A′F′E′，
∴△MG′F′∽△A′F′E′，
∴＝＝＝＝，
∴MG′＝A′F′，MF′＝A′E′＝，
∵＝＝tan∠A′LD＝，
∴ML＝MG′＝×A′F′＝A′F′，
∴A′F′++A′F′＝3，
∴A′F′＝．
∴AF＝．
②从点G′落在CD边上之后到点G′落在AB边上之前，矩形E'F'G'H'与矩形ABCD的边只有两个交点，
当点G′落在CD边上，如图3，由①得AF＝；
当点G′落在AB边上，如图4，作G′N⊥A′B于点N，∠G′NB＝∠G′NF′＝∠A′＝90°，
同理可得△NG′F′∽△A′F′E′，
∴＝＝＝＝，
∴NG′＝A′F′，NF′＝A′E′＝，
∵∠NBG′＝∠A′LD，
∴＝＝tan∠NBG′＝tan∠A′LD＝，
∴NB＝NG＝×A′F′＝A′F′，
∴A′F′++A′F′＝8，
∴A′F′＝，
∴AF＝，
∴AF的取值范围是＜AF＜．
故答案为：＜AF＜．


三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（1）计算：（）2﹣（2018﹣2019）0+（+1）（﹣1）+tan30°；
（2）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
【答案】（1）；
（2）x1＝5，x2＝﹣1．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+2﹣1+×
＝﹣1+2﹣1+1
＝；
（2）（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣1．
18．（4分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；并写出对称轴方程和顶点坐标．
（2）当﹣1＜x＜3时，写出y的取值范围．

【答案】（1）（x﹣2）2﹣1，x＝2，（2，﹣1）；
（2）﹣1≤y＜8．
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，﹣1）．
（2）当x＝2时，y有最小值，最小值为﹣1，
∵﹣1＜x＜3，
∴y的最大值为8．
∴y的取值范围是﹣1≤y＜8．
19．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝50°．
（1）作∠BAD的平分线AE交DC于E； （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）．
（2）按（1）作图所示，若BC＝7，AB＝11，求CE的长．

【答案】（1）作图见解析部分，证明见解析部分．
（2）证明见解析部分．
【解答】解：（1）线段AE 即为所求；
（2）∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝DE，
∵BC＝7，AB＝11，
∴AD＝DE＝7，CD＝AB＝11，
∴CE＝CD﹣DE＝4，
∴CE的长是4．

20．（6分）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为（2，3），B点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣1）．
（1）求AC的长；
（2）求证：AC⊥BC．

【答案】（1）2．
（2）证明见解析部分．
【解答】解：（1）根据勾股定理，得
AC＝＝2．

（2）同理BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，
AC2＝20，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．
∴AC⊥BC．
21．（8分）为了解某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了若干名学生的实验操作得分（满分为10分），根据获取的样本数据，制作了如下所示的统计图①，②．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽查的学生人数为 　40　，m＝　15　；
（2）求抽取的学生实验操作得分数据的平均数、众数和中位数；
（3）若该校九年级共有1000名学生，估计该校理化生实验操作得满分的学生有多少人？
【答案】（1）40，15；
（2）平均数为8.3分，数是9分，中位数为8分；
（3）175人．
【解答】解：（1）本次随机抽查的学生人数为4+6+11+12+7＝40（人），
m%＝11﹣17.5%﹣10%﹣30%﹣27.5%＝15%，即m＝15；
故答案为：40，15；
（2）平均数为：（4×6+6×7+11×8+12×9+7×10）÷40＝8.3（分），
由图表得知，众数是9分；
40名同学，中位数为从小到大排名第20和第21名同学的平均数，
由图表得知，排名后第20和第21名同学得分均为8分，
因此，中位数为8分；
（3）根据题意得：
17.5%×1000＝175（人），
答：估计该校理化生实验操作得满分的学生有175人．
22．（10分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）连接BE．若AB＝2，∠BAC＝60°，求BE的长．

【答案】（1）证明见解析；
（2）2．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴平行四边形OCED是菱形；
（2）解：如图，过E作EF⊥BC，交BC的延长线于F，则∠EFC＝90°，
由（1）可知，OC＝OA＝OB，
∵∠BAC＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OC＝OA＝AB＝2，∠ABO＝60°，
∴AC＝2OC＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴BC＝＝＝2，∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝30°，
由（1）可知，四边形OCED是菱形，
∴CE＝OC＝2，
∵CE∥BD，
∴∠ECF＝∠OBC＝30°，
∴EF＝CE＝1，
∴CF＝＝＝，
∴BF＝BC+CF＝3，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE＝＝＝2．

23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，3），点B坐标为（3，0），过点C（2，0）作直线CD⊥x轴，垂足为C，交线段AB于点D．
（1）如图1，过点A作AE⊥CD，垂足为E，连接BE．
①填空：△ABE的面积为 　3　；
②点P为直线CD上一动点（点P与点E不重合），当S△ABP＝S△ABE时，点P的坐标是 　（2，﹣1）　；
（2）如图，长方形AOCE以每秒1个单位长度的速度向右平移，得到长方形A′O′C′E′，同时点M从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在点M使A′M∥E′B，若存在，求出t值，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）①3；
②（2，﹣1）；
（2）存在，t的值为．
【解答】解：（1）①∵CD⊥x轴，AE⊥CD，
∴AE∥x轴，四边形AECO为矩形，点B到AE的距离为OA，
∵点A（0，3），点C（2，0），
∴AE＝OC＝2，OA＝CE＝3，
S△ABE＝AE•OA＝×2×3＝3，
故答案为：3；
②∵点B坐标为（3，0），
∴OB＝3，
设P（2，y），如图，

∵S△ABP＝S△APD+S△BPD＝DP•OB＝DP，
S△ABP＝S△ABE＝3，
∴DP＝3，
∴DP＝2，
∵点A坐标为（0，3），点B坐标为（3，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝2时，y＝1，
∴D（2，1），
∴|y﹣1|＝2，解得y＝﹣1或3，
∵点P与点E不重合，
∴y＝﹣1，
∴点P的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）；

（2）由题意，A′（t，3），M（2t，0），E′（2+t，3），
设直线A′M的解析式为y＝k1x+b1，
∴，解得，
∴直线A′M的解析式为y＝﹣x+6，
同理：直线E′B的解析式为y＝x+，
∵A′M∥E′B，
∴＝﹣，
∴t＝，经检验，t＝是方程的解，
∴存在，t的值为．
24．（12分）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，），其图象与x轴交于A、B两点，其中点B（4，0），与y轴交于点C．

（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为线段BC上方抛物线上的一点，当点P到线段BC的距离最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，已知点M为对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，求点N的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；
（2）（2，4）；
（3）（3，）、（5，）或（﹣3，）．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，），
∴设该函数解析式为y＝a（x﹣1）2+，
∵该函数过点B（4，0），
∴0＝a×（4﹣1）2+，
解得a＝﹣，
∴y＝（x﹣1）2+＝﹣x2+x+4，
即该函数的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q，如图1所示，
∵y＝﹣x2+x+4，
∴当x＝0时，y＝4，
即点C的坐标为（0，4），
设直线BC的函数解析式为y＝kx+d，
，得，
即直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
∵当点P到BC的距离取得最大值时，△PCB的面积最大，
∴当△PCB的面积取得最大值时点P的坐标即为所求，
设点P的坐标为（p，﹣p2+p+4），则点Q的坐标为（p，﹣p+4），
则PQ＝﹣p2+p+4﹣（﹣p+4）＝﹣p2+2p，
∴S△PAB＝＝﹣（p﹣2）2+4，
∴当p＝2时，S△PAB取得最大值，此时点P的坐标为（2，4），
由上可得，点P的坐标是（2，4）；
（3）∵函数y＝（x﹣1）2+，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，
设点M的坐标为（1，ym），点N的坐标为（xn，yn），
∵点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，4），
∴当BC为对角线时，
1+xn＝4+0，
解得xn＝3，
∴yn＝×（3﹣1）2+＝，
即点N的坐标为（3，）；
当BM为对角线时，
4+1＝xn+0，
解得xn＝5，
∴yn＝×（5﹣1）2+＝，
即点N的坐标为（5，）；
当BN为对角线时，
4+xn＝1+0，
解得xn＝﹣3，
∴yn＝×（﹣3﹣1）2+＝，
即点N的坐标为（﹣3，）；
由上可得，点N的坐标为（3，）、（5，）或（﹣3，）．

25．（12分）如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，且AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC＝10cm．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如图（2），若动点Q从点C出发，在CA边上以每秒5cm的速度向A点匀速移动，同时动点P从点B出发，在BC边上以每秒4cm的速度向C点匀速移动，运动时间为t秒（0≤t＜2），连接BQ、AP，若AP⊥BQ，求t的值；
（3）如图（3），若点Q在对角线AC上，CQ＝4cm，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止．设点P运动了t秒，请你探索：从运动开始，经过多少时间，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？请求出所有可能的结果．

【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
AB2+BC2＝62+82＝100，AC2＝100，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形；
（2）解：作QE⊥BC于E，
由题意得CQ＝5t，BP＝4t，
∵QE⊥BC，AB⊥BC，
∴QE∥AB，
∴△CQE∽△CAB，
∴＝，即＝，
解得，QE＝3t，
∴EC＝＝4t，
∴BE＝8﹣4t，
∵AP⊥BQ，AB⊥BC，
∴∠BAP＝∠EBQ，又∠ABP＝∠BEQ，
∴△ABP∽△BEQ，
∴＝，即＝，
解得，t＝；
（3）解：当CP＝CQ＝4cm时，BP＝8﹣4＝4cm，
则点P运动了4秒；
当QP＝QC时，作QE⊥BC于E，
由（2）可知，△CQE∽△CAB，
＝，即＝，
解得，CE＝3.2，
∵QP＝QC，QE⊥BC，
∴PE＝CE＝3.2cm，
∴BP＝8﹣6.4＝1.6cm，
则点P运动了1.6秒；
当P′C＝P′Q时，作P′H⊥CA于H，
则CH＝HQ＝2cm，
∵AB⊥BC，P′H⊥CA，
∴△CP′H∽△CAB，
∴＝，即＝，
解得，CP′＝2.5，
∴BP′＝8﹣2.5＝5.5cm，
则点P运动了5.5秒，
综上所述，从运动开始，经过4秒或1.6秒或5.5秒，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形．