初中数学北师大版八年级上册1 探索勾股定理优秀随堂练习题

2023年北师大版数学八年级上册

《探索勾股定理》巩固基础卷

一              、选择题

1.下列四组数分别表示三角形的三条边长，其中能构成直角三角形的是(　　)

A.2、3、4                     B.2、3、                      C.、、                     D.1、1、2

2.在下列四组数中，不是勾股数的一组数是(    )

A.a＝15，b＝8，c＝17        B.a＝9，b＝12，c＝15

C.a＝7，b＝24，c＝25        D.a＝3，b＝5，c＝7

3.如下图中，边长k=5的直角三角形有(　　)

A.1个    B.2个    C.3个    D.4个

4.若直角三角形的三边长分别为6、10、m，则m2的值为(　　)

A.8       B.64       C.136       D.136或64

5.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(﹣2，3)，以点O为圆心，以OP为半径画弧，交x轴负半轴于点A，则点A的横坐标介于(　　)

A.﹣4和﹣3之间     B.3和4之间     C.﹣5和﹣4之间   D.4和5之间

6.直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的，斜边长为10，则它的面积为(　　)

A.10        B.15          C.20          D.30

7.下列命题中，错误的是(    )

A.若＝5，则x＝5

B.若a(a≥0)为有理数，则是它的算术平方根

C.化简的结果是π﹣3

D.在直角三角形中，若两条直角边长分别是，2，则斜边长为5

8.根据图形(图1，图2)的面积关系，下列说法正确的是(    )

A.图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式

B.图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理

C.图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式

D.图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理

9.Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为(　　)

A.8       B.4         C.6         D.无法计算

10.如图是边长为10 cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是(　 　)

二              、填空题

11.点Q(5，﹣12)到原点的距离是         ．

12.如图所示，直角三角形中较长的直角边是较短的直角边长度的2倍，且两个顶点在数轴上对应的数分别为﹣1和1，以斜边为半径的弧交数轴于点A，点C所表示的数为2，点A与点B关于点C对称，则点B表示的数为         ．

13.某直角三角形三条边的平方和为200，则这个直角三角形的斜边长为　　    ．

14.如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为_________

15.直角三角形三边长分别为3，4，a，则a＝     ．

16.如图，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8.则△ABC的周长为　 　　.

三              、作图题

17.如图，是6×6的正方形网格，每个小正方形的单位长为1.请在下列三个网格图中各画一个三角形，要求同时满足以下三个条件：

(1)三角形的顶点在网格点上；

(2)三角形是一个腰长为无理数的等腰三角形；

(3)三角形的面积为6.

四              、解答题

18.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c

根据你发现的规律，请写出

(1)当a＝19时，求b、c的值；

(2)当a＝2n＋1时，求b、c的值；

(3)用(2)的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由.

19.如图，在边长为a cm的等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D.

(1)求AD的长；

(2)当a＝2时，求AD的长.

20.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝12cm，BC＝16cm，求AD、CD的长.

21.请在方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为2，2，4.

(1)求△ABC的面积；

(2)求出最长边上的高.

22.如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A∶∠C＝1∶2，AB＝2，CD＝1.

求：(1)∠A，∠C的度数；

(2)AD，BC的长度；

(3)四边形ABCD的面积.

23.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°.请完成以下任务.

(1)尺规作图：①作∠A的平分线，交CB于点D；

②过点D作AB的垂线，垂足为点E.请保留作图痕迹，不写作法，并标明字母.

(2)若AC＝3，BC＝4，求CD的长.

24.如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF．

(1)求证：BF＝2AE； 

(2)若CD＝，求AD的长．

答案

1.C.

2.D

3.B.

4.D.

5.A

6.B

7.A

8.B

9.A.

10.A.

11.答案为：13．

12.答案为：﹣1.

13.答案为：10．

14.答案为：2．

15.答案为：5或.

16.答案为：48.

17.解：如图所示：

.

18.解：(1)观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1

∵a＝19，a2＋b2＝c2，

∴192＋b2＝(b＋1)2，

∴b＝180，

∴c＝181；

(2)通过观察知c﹣b＝1，

∵(2n＋1)2＋b2＝c2，

∴c2﹣b2＝(2n＋1)2，

(b＋c)(c﹣b)＝(2n＋1)2，

∴b＋c＝(2n＋1)2，

又c＝b＋1，

∴2b＋1＝(2n＋1)2，

∴b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1；

19.解：(1)在△ABC中，BD＝AB＝a，

∴AD＝＝ a(cm).

答：AD的长为 a cm

(2)当a＝2时，AD＝ ×2＝(cm).

答：当a＝2时，AD的长为 cm.

20.解：∵∠ACB＝90°AC＝12cm，BC＝16cm，

∴AB＝20cm.

根据直角三角形的面积公式，得CD＝9.6cm.

在Rt△ACD中，AD＝7.2cm.

21.解：画图如图所示.

(1)S△ABC＝2.

(2)最长边上的高为.

22.解：(1)∵∠B＝∠D＝90°，∠A＋∠C＋∠B＋∠D＝360°，

∴∠A＋∠C＝180°.

又∠A∶∠C＝1∶2，

∴∠A＝60°，∠C＝120°.

(2)延长BC，AD交于点E，

∵∠A＝60°，

∴∠E＝30°，

∴AE＝2AB＝4，EC＝2CD＝2.

∴BE＝2，DE＝.

∴AD＝AE﹣DE＝4﹣，BC＝BE﹣EC＝2﹣2.

(3)S四边形ABCD＝S△ABE﹣S△ECD＝×2×2﹣×1×＝2﹣＝.

23.解：(1)如图所示：①AD是∠A的平分线；

②DE是AB的垂线；

(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得：

AB＝5，

由作图过程可知：DE＝DC，∠AED＝∠C＝90°，

∵S△ACD＋S△ABD＝S△ABC，

∴AC•CD＋AB•DE＝AC•BC，

∴×3×CD＋×5×CD＝×3×4，解得：CD＝.

24.解：(1)证明:∵AD⊥BC,∠BAD＝45°,

∴△ABD是等腰直角三角形,

∴AD＝BD,

∵BE⊥AC,AD⊥BC

∴∠CAD+∠ACD＝90°,

∠CBE+∠ACD＝90°,

∴∠CAD＝∠CBE,

在△ADC和△BDF中,

∴△ADC≌△BDF(ASA),

∴BF＝AC,

∵AB＝BC,BE⊥AC,

∴AC＝2AE,

∴BF＝2AE;

(2)解:∵△ADC≌△BDF,

∴DF＝CD＝,

在Rt△CDF中,CF＝2,

∵BE⊥AC,AE＝EC,

∴AF＝CF＝2,

∴AD＝AF+DF＝2+.