第1章特殊的平行四边形单元综合练习题 含答案 北师大版九年级数学上册

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2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊的平行四边形》
单元综合练习题（附答案）
一．选择题
1．如图两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是（　　）

A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC上的一点且CE＝3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（　　）

A．3.5 B．5.5 C．6.5 D．3.5或6.5
4．如图，已知在正方形ABCD中，AD＝4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF＝45°，EC＝1，点G在CB延长线上且GB＝DE，连接EF，则以下结论：①DE+BF＝EF，②BF＝，③AF＝，④S△AEF＝中正确的个数有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，点E为矩形ABCD的边BC上的点，作DF⊥AE于点F，且满足DF＝AB．下面结论：
①DE平分∠AEC；
②△ADE为等腰三角形；
③AF＝AB；
④AE＝BE+EF．其中正确的结论有多少个（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上的一点，且AB＝AE，过点A作AF⊥BE，垂足为F，交BD于点G．点H在AD上，且EH∥AF．若正方形ABCD的边长为2，下列结论：①OE＝OG；②EH＝BE；③AH＝2﹣2；④AG•AF＝2．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若△AEP与△BPQ全等，则点Q的运动速度是（　　）

A．2或 B．6或 C．2或6 D．1或
8．已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（　　）

A．AD＝4AE B．AD＝2AB C．AB＝2AE D．AB＝3AE
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，O是对角线的交点，过C作CE⊥BD于点E，EC的延长线与∠BAD的平分线相交于点H，AH与BC交于点F．给出下列四个结论：①AF＝FH；②BF＝BO；③AC＝CH；④BE＝3DE．其中正确结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，则正方形EFGH的边长为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
二．填空题
11．在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD是正方形，点A（2a，﹣a）在第四象限上，点B与点A关于原点对称，点C在y轴上，点D（4，m）在第一象限内，则m的值是 　 　．
12．如图，坐标系中四边形ABCO是正方形，D是边OC上一点，E是正方形边上一点．已知B（﹣3，3），D（0，1），当AD＝CE时，点E坐标为　 　．

13．如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上．在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有　 　个．

14．在面积为36的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，F是CB上一点，CF＝AE，连接EF、DF，过点D作DG垂直EF于点H，连接CH，若△BEF的面积是16，则点F到线段CH的距离是 　 　．

15．如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，连接AD，DE，DF，有下列结论：
①四边形AEDF一定是平行四边形；
②若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形；
③若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是正方形；
④若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形．
其中正确的有 　 　．（填序号）

16．如图，正方形ABCD的边长为2，连接BD，点P是线段AD延长线上的一个动点，∠PBQ＝45°，点Q是BQ与线段CD延长线的交点，当BD平分∠PBQ时，PD　 　QD（填“＞”“＜”或“＝”）；当BD不平分∠PBQ时，PD•QD＝　 　．

三．解答题
17．如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF；
（2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．


18．如图，O为坐标原点，四边形OABC为长方形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标．



19．已知BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）如图1，求证：△BDE是等腰三角形．
（2）如图2，在过点D作DF∥AB，连接EF，过点E作EG⊥BC，连接EC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出面积与△BEF相等的所有三角形．

20．已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G．
（1）求证：AF＝CG；
（2）连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？

21．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝3，BD＝4，求OE的长．

22．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．

（1）如图1，求证：∠BAF＝∠DAE；
（2）如图2，若∠ABC＝45°，AE⊥BC，连接BD分别交AE，AF于G，H，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的只含有一个3∠ABD的三角形．
23．在正方形ABCD中，点P是边BC上一动点（不包含端点），线段AP的垂直平分线与AB、AP、BD、CD分别交于点M、E、F、N．
（1）如图1，若PB＝a，AB＝3a，求线段MN的长度；
（2）用等式表示ME、EF、NF之间的数量关系并证明．

24．如图，在正方形ABCD中，点E是BD上一点，连接AE，过点C作CF∥AE，交BD于点F，连接AF．CE．
（1）求证：△AEB≌△CFD；
（2）求证：四边形AECF是菱形；
（3）填空：若AB＝4，DE＝3，则菱形AECF的面积是　 　．




25．如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，F为AB边上一点，满足CF⊥CP，过点B作BM⊥CF，分别交AC、CF于点M、N
（1）若AC＝AP，AC＝4，求△ACP的面积；
（2）若BC＝MC，证明：CP﹣BM＝2FN．


参考答案
一．选择题
1．解：由图可知，过A点作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条纸条宽度相等，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵SABCD＝BC×AE＝CD•AF．
又∵AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD为菱形．
故选：B．
2．解：如图，连接BP，

在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∵AP＝CQ，
∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，
∴DP＝QB，DP∥BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB∥DQ，PB＝DQ，
则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB＝PE，
∴PC+PB＝PC+PE，
连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，
∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5，
∴CE＝＝13．
∴PC+PB的最小值为13．
故选：D．
3．解：如图，当点M在BC上时，
∵△ABM′和△DCE全等，
∴BM＝CE，
由题意得：BM′＝2t﹣4＝3，
所以t＝3.5（秒）；

当点M在AD上时，
∵△ABM″和△CDE全等，
∴AM″＝CE，
由题意得：AM″＝16﹣2t＝3，
解得t＝6.5（秒）．
所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时．△ABM和△DCE全等．
故选：D．
4．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠ABG＝90°，
∵EC＝1，
∴GB＝DE＝3，
∴AE＝AG＝5，
即△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，
∴∠DAE＝∠BAG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAE+∠BAF＝45°＝∠GAB+∠BAF＝∠GAF＝45°，
∵AG＝AE，∠FAE＝∠FAG＝45°，AF＝AF，
在△AFE和△AFG中，
，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
∵DE＝BG，
∴EF＝FG＝BG+FB＝DE+BF，故①正确；
∵BC＝CD＝AD＝4，EC＝1，
∴DE＝3，
设BF＝x，则EF＝x+3，CF＝4﹣x，
在Rt△ECF中，（x+3）2＝（4﹣x）2+12，
解得x＝，
∴BF＝，故②正确；
∴AF＝＝＝，故③错误；
∴GF＝3+＝，
∴S△AEF＝S△AGF＝AB×GF＝4×＝，故④正确．
所以正确的有①②④，共3个．
故选：C．

5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ABE＝90°，AD∥BC，AB＝CD，
∵DF＝AB，
∴DF＝CD，
∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝∠DFE＝90°，
在Rt△DEF和Rt△DEC中，，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），
∴∠FED＝∠CED，
∴DE平分∠AEC；
故①正确；
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
在△ABE和△DFA中，
，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴AE＝AD，
∴△ADE为等腰三角形；
故②正确；
∵△ABE≌△DFA，
∴不存在AF＝AB，
故③错误；
∵△ABE≌△DFA，
∴BE＝FA，
∴AE＝AF+EF＝BE+EF．
故④正确．
故正确的结论有①②④，三个．
故选：C．

6．解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OB，
∴∠AOG＝∠BOE＝90°，
∵AF⊥BE，
∴∠BFG＝90°，
∴∠OBE+∠BGF＝90°，∠FAO+∠AGO＝90°，
∵∠AGO＝∠BGF，
∴∠FAO＝∠EBO，
在△AGO和△BEO中，，
∴△AGO≌△BEO（ASA），
∴OE＝OG．
故①正确；
②∵EH∥AF，AF⊥BE，
∴EH⊥BE，
∴∠BEH＝90°，
如图1，过E作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则MN⊥AD，MN⊥BC，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠EAM＝45°，
∴△ENC是等腰直角三角形，
∴EN＝CN＝DM，
∵AD＝BC，
∴AM＝EM＝BN，
∵∠NBE+∠BEN＝∠BEN+∠HEM＝90°，
∴∠NBE＝∠HEM，
∴△BNE≌△EMH（ASA），
∴EH＝BE，
故②正确；
③如图2，Rt△ABC中，AB＝BC＝2，

∴AC＝2，
∵AB＝AE，
∴EC＝AC﹣AE＝2﹣2，∠AEB＝∠ABE，
∴∠EBC＝∠AEH，
由②知：EH＝BE，
∴△BCE≌△EAH（SAS），
∴AH＝CE＝2﹣2；
故③正确；
④如图2，S△ABE＝BE•AF，
∵BE＝AG，
∴AF•AG＝AE•OB＝2，
故④正确；
本题正确的有：①②③④，4个，
故选：D．
7．解：∵长方形ABCD，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵点E为AD的中点，AD＝8cm，
∴AE＝4cm，
设点Q的运动速度为xcm/s，
①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP＝BP，AE＝BQ，
，
解得，，
即点Q的运动速度cm/s时能使两三角形全等．
②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP＝BQ，AE＝BP，
，
解得：，
即点Q的运动速度6cm/s时能使两三角形全等．
综上所述，点Q的运动速度或6cm/s时能使两三角形全等．
故选：B．
8．解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，
∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）
＝ab﹣2[cx+（a﹣c）（b﹣x）]
＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx）
＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx
＝（a﹣2c）x+bc，
∵F为BC上一动点，
∴x是变量，（a﹣2c）是x的系数，
∵平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，为固定值，
∴x的系数为0，bc为固定值，
∴a﹣2c＝0，
∴a＝2c，
∴E是AB的中点，
∴AB＝2AE，
故选：C．
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠FAB＝45°，
∴∠AFB＝45°，
∴∠AFC＝135°，CF与AH不垂直，
∴点F不是AH的中点，即AF≠FH，
∴①错误；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AD＝，AB＝1，
∴∠ADB＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC＝BD，AC＝2AO，BD＝2BO，
∴AO＝BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝BO，∠AOB＝∠BAO＝60°＝∠COE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB，
∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
∵AB＝BO，
∴BF＝BO，∴②正确；
∵∠BAO＝60°，∠BAF＝45°，
∴∠CAH＝15°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEO＝90°，
∵∠EOC＝60°，
∴∠ECO＝30°，
∴∠H＝∠ECO﹣∠CAH＝30°﹣15°＝15°＝∠CAH，
∴AC＝CH，
∴③正确；
∵△AOB是等边三角形，
∴AO＝OB＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，
∴DC＝OC＝OD，
∵CE⊥BD，
∴DE＝EO＝DO＝BD，
即BE＝3ED，∴④正确；
所以其中正确结论有②③④，3个．
故选：C．
10．解：由图可得，S△AEH+S△BFE+S△CGF+S△DHG＝S△HJE+S△EKF+S△FLG+S△GIH，
设S△AEH+S△BFE+S△CGF+S△DHG＝S△HJE+S△EKF+S△FLG+S△GIH＝x，
则S正方形EFGH＝S正方形ABCD﹣x＝S正方形IJKL+x，
即196﹣x＝4+x，
解得x＝96，
∴S正方形EFGH＝196﹣96＝100，
∴正方形EFGH的边长为10，
故选：C．
二．填空题
11．解：如图，过点A作GH∥x轴，过点B作BG⊥GH于G，过点D作DH⊥GH于H，则∠G＝∠H＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAG+∠ABG＝∠BAG+∠DAH＝90°，
∴∠BAG＝∠DAH，
在△BGA和△AHD中，
，
∴△BGA≌△AHD（AAS），
∴BG＝AH，AG＝DH，
∵点A（2a，﹣a）在第四象限上，点B与点A关于原点对称，
∴B（﹣2a，a），且a＞0，
∵点D（4，m）在第一象限内，
∴4﹣2a＝a+a，m+a＝2a+2a，
解得：a＝1，m＝3．
故答案为：3．
12．解：如图，符合条件的点有两个，当点E在边AB和边OA上时，设为点E′和点E″，

∵B（﹣3，3），D（0，1），
∴AB＝OA＝3，OD＝1，
∵四边形ABCO是正方形，
∴AB＝BC＝OC＝OA＝3，∠B＝∠AOD＝90°，
∵AD＝CE′＝CE″，
在Rt△BCE′和Rt△OAD中，
，
∴Rt△BCE′≌Rt△OAD（HL），
∴BE′＝OD＝1，
∴AE′＝AB﹣BE′＝2，
∴E′（﹣3，2）；
同理Rt△OCE′≌Rt△OAD（HL），
∴OE″＝OD＝1，
∴E″（﹣1，0）．
所以点E坐标为（﹣3，2）或（﹣1，0）．
故答案为：（﹣3，2）或（﹣1，0）．
13．解：图中标出的5个点均为符合题意的点．

故答案为 5．
14．解：如图，连接DE，过H作HP⊥CH，交CB的延长线于P，过F作FM⊥CH于M，

∵正方形ABCD的面积为36，
∴正方形ABCD的边长为6，
设CF＝x，则BF＝6﹣x，BE＝6+x，
∵△BEF的面积是16，
∴（6﹣x）（6+x）＝16，
∴x＝±2（负值舍去），
∴AE＝CF＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠BAD＝∠FCD＝90°，
∴∠EAD＝∠FCD＝90°，
∴△EAD≌△FCD（SAS），
∴ED＝FD，∠ADE＝∠CDF，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∵DG⊥EF，
∴EH＝FH，
∴DH＝FH，
∵∠DHF＝∠CHP，
∴∠DHC＝∠FHP，
∵∠DHF＝∠DCF＝90°，
∴∠CDH+∠CFH＝180°，
∵∠CFH+∠PFH＝180°，
∴∠CDH＝∠PFH，
∴△DHC≌△FHP（ASA），
∴DC＝PF＝6，CH＝PH，
∴PC＝6+2＝8，
过点H作HQ⊥PC于Q，
∵△PHC是等腰直角三角形，
∴HQ＝PC＝4，CH＝4，
∴S△CFH＝CF•HQ＝CH•FM，
∴2×4＝4FM，
∴FM＝，
即点F到线段CH的距离是．
故答案为：．
15．解：①∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DE、DF为△ABC的中位线，
∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；DF∥AB，且DF＝AB＝AE，
∴四边形AEDF一定是平行四边形，故正确；
②若∠BAC＝90°，则平行四边形AEDF是矩形，故正确；
③若AD平分∠BAC，则∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
又∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，
∴不能判定四边形AEDF是正方形，故错误；
④若AD⊥BC，则AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
又∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，故正确．
故答案为：①②④．
16．解：①当BD平分∠PBQ时，
∵∠PBQ＝45°，
∴∠QBD＝∠PBD＝22.5°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴∠ABP＝∠CBQ＝22.5°+45°＝67.5°，
在△ABP和△CBQ中，
∵，
∴△ABP≌△CBQ（ASA），
∴BP＝BQ，
在△QBD和△PBD中，
∵，
∴△QBD≌△PBD（SAS），
∴PD＝QD；
②当BD不平分∠PBQ时，
∵AB∥CQ，
∴∠ABQ＝∠CQB，
∵∠QBD+∠DBP＝∠QBD+∠ABQ＝45°，
∴∠DBP＝∠ABQ＝∠CQB，
∵∠BDQ＝∠ADQ+∠ADB＝90°+45°＝135°，
∠BDP＝∠CDP+∠BDC＝90°+45°＝135°，
∴∠BDQ＝∠BDP，
∴PD•QD＝BD2＝22+22＝8，
故答案为：＝，8．
三．解答题
17．（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示

∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF；
∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90°
∴∠1＝∠2，
∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°，
∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE，
在△AHE和△ECF中，
，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：AE＝EF成立，
理由如下：如图2，延长BA到M，使AM＝CE，

∵∠AEF＝90°，
∴∠FEG+∠AEB＝90°．
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∴∠MAE＝∠CEF．
∵AB＝BC，
∴AB+AM＝BC+CE，
即BM＝BE．
∴∠M＝45°，
∴∠M＝∠FCE．
在△AME与△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
（3）存在，
理由如下：如图3，作DM⊥AE于AB交于点M，则有：DM∥EF，连接ME、DF，

在△ADM与△BAE中，
，
∴△ADM≌△BAE（ASA），
∴DM＝AE，
由（1）AE＝EF，
∴DM＝EF，
∴四边形DMEF为平行四边形．
18．解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP＝PD≠5；
（2）OD是等腰三角形的一条腰时：
①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
在直角△OPC中，CP＝＝＝3，
则P的坐标是（3，4）．
②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
过D作DM⊥BC于点M，
在直角△PDM中，PM＝＝＝3，
当P在M的左边时，CP＝5﹣3＝2，则P的坐标是（2，4）；
当P在M的右侧时，CP＝5+3＝8，则P的坐标是（8，4）．
故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．

19．解：（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴△BDE是等腰三角形．
（2）∵ED∥BF，DF∥BE，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BE＝DE，
∴平行四边形EBFD是菱形，
∵EG⊥BC，
∴S▱EBFD＝BF•EG，
∴S△EFD＝S△BEF＝S△BED＝S△BFD．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠AEF＝∠CHG，
∵BE＝2AB，DH＝2CD，
∴BE＝DH，
∴BE﹣AB＝DH﹣DC，
∴AE＝CH，
∵∠BAD+∠EAF＝180°，∠BCD+∠GCH＝180°，
∴∠EAF＝∠GCH，
∴△EAF≌△HCG（ASA），
∴AF＝CG；
（2）当AD＝AB时，四边形BEDH是正方形，
理由：∵BE∥DH，BE＝DH，
∴四边形EBHD是平行四边形，
∵EH⊥BD，
∴四边形EBHD是菱形，
∴ED＝EB＝2AB，
当AE2+DE2＝AD2时，
则∠BED＝90°，
∴四边形BEDH是正方形，
即AB2+（2AB）2＝AD2，
∴AD＝AB，
∴当AD＝AB，四边形BEDH是正方形．
21．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝AC＝OA＝OC，
∵BD＝4，
∴OB＝BD＝2，
在Rt△AOB中，AB＝3，OB＝2，
∴OA＝＝＝，
∴OE＝OA＝．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF，
∴∠BAE+∠EAF＝∠DAF+∠EAF，
∴∠BAF＝∠DAE；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝∠CBD＝22.5°，
∴3∠ABD＝67.5°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BGE＝67.5°，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠AFD＝90°，
∴△BEG只含有一个3∠ABD；
同理可得：∠DHF＝67.5°，
∴△DFH只含有一个3∠ABD；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵AE⊥BC，∠AFD＝90°，
∴∠DAG＝∠BAH＝90°，
∵∠DHF＝∠AHB＝67.5°，∠BGE＝∠AGD＝67.5°，
∴△DAG只含有一个3∠ABD；△BAH只含有一个3∠ABD．
故图中所有的只含有一个3∠ABD的三角形有：△BEG，△BAH，△DFH，△DAG．．
23．解：（1）如图所示，过N作NG⊥AB，交AB于点G． 则四边形AGND是矩形，所以NG＝AD＝AB＝3a，
∵MN⊥AP∴∠MNG＝∠PAB 且∠PBA＝∠NGMAB＝NG∴△ABP≌△NGM
∴MN＝AP＝＝

（2）如图所示，过P作PH∥AB，过F作ST∥AB，连接AF，PF

∵NM垂直平分AP，则AE＝PE，∠AEM＝∠PEH＝90°，
∵PH∥AB∴∠PHE＝∠MEA，∠HPE＝∠MAE
∴△AME≌△PHE
∴ME＝HE
∠TDF＝∠FBP＝45°
∴TD＝TF，FS＝BS
∵BS＝AT＝FS
∵点F在线段AP的垂直平分线上，
∴FP＝FA
∴Rt△FPS≌Rt△ATF
∴PS＝TF＝TD＝SC＝PS
∵PH∥TS∥CD
∴HF＝FN
∴ME+NF＝EF
24．解：连接AC交BD于点O，如图所示：

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABE＝∠CBE＝∠CDF，
又∵CF∥AE，
∴∠AEF＝∠CFE，
又∵∠AEF+∠AEB＝180°，∠CFE+∠CFD＝180°，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△AEB≌△CFD（AAS）；
（2）∵△AEB≌△CFD，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
在△ABE和△CBE中
，
∴△ABE≌△CBE（SAS）
∴AE＝EC，
∴▱AECF是菱形；
（3）∵AB＝4，AB＝BC＝CD，
∴在Rt△BCD中，由勾股定理得，
BD＝＝＝，
又∵BD＝BE+ED，DE＝3，
∴BE＝
又∵BE＝DF，
∴DF＝，EF＝，
又∵AC＝BD，
∴AC＝4，
∴
＝
＝8
故答案为8．
25．解：（1）∵AC＝AP，AC＝4，
∴AP＝．AD＝CD＝4
∴S△ACP＝AP×CD
＝××4
＝7；
（2）在CF上截取FN＝NG，连接BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝CD，
∠CBF＝∠CDP＝∠BCF+∠FCD＝90°，
又∵CF⊥CP，
∴∠DCP+∠FCD＝90°，
∴∠BCF＝∠PCD，
在△BCF和△DCP中，
，
∴△BCF≌△DCP，
∴CF＝CP，
∵BC＝MC，BM⊥CF，
∴∠BCF＝∠ACF＝∠BCA＝22.5°，
∴∠CFB＝67.5°，
∵FC⊥BM，FN＝NG
∴BF＝BG
∴∠FBG＝45°，∠FBN＝22.5°
∴∠CBG＝45°，
在△BCG和△BAN中，
，
∴△BCG≌△ABM，
∴BM＝CG，
∴CF﹣CG＝FG，
∵BF＝BG，BM⊥CF，
∴FN＝NG，
∴CP﹣BM＝2FN．