第1章特殊平行四边形 同步自主提升训练 北师大版数学九年级上册（含答案）
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北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》同步自主提升训练（附答案）一、单选题1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角2．如图，在菱形中，对角线，，则菱形的边长是（ ） A．5 B．9 C． D．403．如图，矩形的对角线交于点，，，则的长为（ ） A． B． C． D．4．如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则的度数为（ ） A． B． C． D．5．如图，是矩形内一点，过的两直线分别与矩形的边平行，下列说法不一定成立的是（ ） A． B．C． D．6．如图，在矩形中，为边延长线上一点，连接，．若，则的度数为（ ） A． B． C． D．7．如图，已知正方形的边长为4，点在上，，点是上的一个动点，那么的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．58．如图，正方形的边上取一点E，以为边作正方形，当点A、B、G三点共线时，若，则面积等于（ ） A．0.5 B．0.75 C．1 D．1.5二、填空题9．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为 ． 10．如图，矩形中，，，点在折线上运动，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．若时，则 ． 11．如图，点E是正方形中延长线上一点，连接，点F是的中点，连接，若，，则的长为 ． 12．如图，E，F分别是矩形的边上的点，．若，的面积为10，则线段的长 ． 13．如图，以正方形的边为腰在右侧作等腰三角形，其中，连接，若，则的度数为 ． 14．如图，矩形中，点O、M分别是、的中点，，，则的长为 ． 15．如图，正方形边长为4，E是的中点，正方形的顶点F在上，H是的中点，则的面积是 ． 16．已知矩形中，，，E是上的点，将沿折痕折叠，使点D落在边上的点F处，P点是线段延长线上的动点，连接，若是等腰三角形，则的长为 ． 三、解答题17．如图，已知菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，求线段的长． 18．如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，过点作交于点，求的长． 19．如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：四边形为菱形；(2)若，，求的长． 20．如图，在正方形中，动点在上，过点作，过点作，点是的中点，连接交于点． (1)求证：；(2)请探究线段长度之间的等量关系，并证明你的结论；(3)设，若点沿着线段从点运动到点，则在该运动过程中，线段所扫过的图形面积为________（直接写出答案）． 21．在矩形中，点F，H是边上的点，点E是边上的点，且，．连接，，，连接交于点P． (1)如图1，求证：①；② (2)如图2，连接交于点Q，连接．探究，的数量关系并证明． 22．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． (1)思路梳理∵，∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．∵，∴，点F、D、G共线．根据______，易证______，得．(2)类比引申如图2，四边形中，，，点E、F分别在边上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系______时，仍有．(3)联想拓展如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．猜想应满足的等量关系，并写出推理过程．
参考答案1．解：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．故矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．故选：C．2．解：∵四边形是菱形，∴，，，在中，，故选：C．3．解：∵四边形是矩形，∴，，∴是等腰三角形，又，∴，∵，∴，在中，，，，∴，则，∴，故选：．4．解：∵四边形是正方形，∴，，∵是角平分线，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，故选：．5．解：∵四边形是矩形，是对角线，∴，故A正确；∵∴，，∴四边形，四边形都是矩形，∴四边形，四边形都是矩形，∴，，故B正确；∴，即，故C正确；∵∴∴，故D错误；故选D．6．解：连接，交与点，如图所示， ∵四边形是矩形，∴，，∴∴，∵，∴，∵，，∴，∴是等腰三角形，∴．故选：D．7．解：四边形是正方形，点与关于直线对称，连接，交于，连接，即为所求的点， 则的长即为的最小值，是线段的垂直平分线，又，在中，，故的最小值是5．故选：D．8．解：作交的延长线于点，则， 四边形和四边形都是正方形，，，，，，，，在和中，，，，在和中，，，，设，，，，，，，解得，，，故选：B．9．解：∵四边形是菱形∴∵∴∴∴故答案为：2010．解：①如图，当E点在上时，过F点作于G点， 则，∵四边形是矩形， ，．根据旋转的性质得，，即，，，．中，，，，．②如图，当E点在上时， ∵四边形是矩形，∴，，又，．根据旋转的性质得，，即．中，，，，，．作于G点，则，，．，，， ，，．综上，的长为或．故答案为：或．11．解：过F作分别交于G，H，则四边形为矩形，∴，，，∵四边形是正方形，∴，，∵F是的中点，∴，在与中，，∴，∴，，在中，，∴，，∴，∴，在中，，故答案为：． 12．解：∵在中，，∴，∴，又∵四边形是矩形，∴，∴，∴，在和中，，∴∴；在中，，的面积为10，∴，∴，在中，，又∵四边形是矩形，∴,∴在中，．故答案为：2．13．解：过作交于， ，四边形是正方形，，，， ，，，，，，，，．故答案：．14．解：在矩形中，，，∵点O是的中点，∴，∵M是的中点，∴，∴，故答案为：8．15．解：如图，连接，过点H作于点P，设交于点O，则，， ∵四边形，均是正方形，∴，，，∴点B，G，D三点共线，，∵E是的中点，∴，∴，在等腰中，，∴，∴，∵H是的中点，∴，∴，，，，在中，，∴，∴．故答案为：516．解：∵四边形是矩形，∴，，，则，由折叠对称性可知：，． 在中，，∴，要使为等腰三角形，分三种情况：①若，如图，连接， ∵，∴；②若，连接，如图， 则，即，解得；③若，连接，如图， 则，在中，，即，解得，综上可得或4或．故答案为：6或4或17．解：四边形是菱形，，，，，，，，，，点为的中点，，，18．解：如图，连接， ∵四边形是矩形，且，，∴，，，∵，∴垂直平分，∴，设，，在中，，即，解得，即，∴．19．（1）证明：，，∴四边形 为平行四边形，，又平分，∴，∴，∴，故四边形为菱形；（2）解：由（1）四边形为菱形，，，∴，，，∴，又，即，∴CE＝．20．（1）证明：连接，如图所示： ∵四边形是正方形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∵在中，点E是中点，∴，∵，，∴点B，E在的垂直平分线上，∴垂直平分，∴．（2）解：，理由如下：∵，，∴，∵点E是中点，∴，∴是的中位线．∴，∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，∵，∴．（3）解：在点M沿着线段从点C运动到点D的过程中，线段所扫过的图形为四边形， ∵，，∴，∴四边形为梯形，∵，∴，，∴．故答案为：3．21．（1）证明：①∵四边形是矩形，∴，，∵，∴，∴；②连接，交于点Q, ∵四边形是矩形，∴，，∵，∴，∴四边形矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，∵，∴，，∴,∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2），理由如下： 连接，， ∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵四边形是矩形，∴，∴．22．（1）证明：，把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．，，，，，，，在和中，，，即：．（2）解：时，；把绕点A逆时针旋转至，如图， ，把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，，，，， ，，当，点、、共线时，在和中，，，∵，即：．故答案为：；（3）解：猜想：．把绕点A顺时针旋转得到，连接，，，， ，，在中，，，，即，，又，，，即，在和中， ，，．
