2022-2023学年陕西省西安市铁一中学高一（上）第一次月考数学试卷

这是一份2022-2023学年陕西省西安市铁一中学高一（上）第一次月考数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省西安市铁一中学高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，共计32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知全集，集合，则　　A．， B．，， C．， D．，，2．（4分）命题“，”的否定是　　A．， B．， C．， D．，3．（4分）已知集合且，则的非空真子集的个数为　　A．14 B．15 C．30 D．314．（4分）下列从集合到集合的对应中是函数的是　　A．， B．，，， C．， D．，，5．（4分）已知函数若，则　　A．或1 B． C．1 D．36．（4分）若不等式的解集是，则的解集为　　A．，， B． C． D．7．（4分）若两个正实数x，y满足x+y＝3，且不等式＞m2﹣3m+5恒成立，则实数m的取值范围为（　　）A．{m|﹣4＜m＜1} B．{m|m＜﹣1或m＞4} C．{m|﹣1＜m＜4} D．{m|m＜0或m＞3}8．（4分）对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式成立的充分不必要条件是　　A． B．， C．， D．，二、选择题（共4小题，每小题4分，共计16分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．（4分）下列命题为命题的是　　A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则10．（4分）若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”，已知函数，，，则下列函数中，与是“同象函数”的有　　A．，， B．，， C．，， D．，，11．（4分）已知函数，则　　A．（1） B． C．的最小值为 D．的图象与轴只有1个交点12．（4分）已知，为正实数，且，则　　A．的最大值为8 B．的最小值为8 C．的最小值为 D．的最小值为三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在答题卡中的横线上）13．（4分）已知集合，，，，若，则　　．14．（4分）已知函数的定义域是，，则的定义域是　　．15．（4分）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 　　．16．（4分）已知函数，若存在互不相等的实数，，满足，且，则　　；的取值范围为 　　．四、解答题：本大题共6小题，共56分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。17．（8分）已知，．（Ⅰ）求（1），（1），（1）的值；（Ⅱ）求，的值域．18．（8分）已知集合，．（1）若时，求；（2）若，求实数的取值范围．19．（8分）已知函数．（1）若，解不等式；（2）解关于的不等式．20．（10分）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．已知集合，，．（1）求集合，；（2）若是成立的_______条件，判断实数是否存在？21．（10分）若市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元），处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）．（Ⅰ）设分配给植绿护绿项目的资金为（单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为（单位：百万元），试将表示成关于的函数；（Ⅱ）试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少．22．（12分）已知二次函数，（Ⅰ）已知，，是正实数，且（1），求证：；（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求的最大值．
2022-2023学年陕西省西安市铁一中学高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，共计32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知全集，集合，则　　A．， B．，， C．， D．，，【考点】补集及其运算【解答】解：，，，，，故选：．2．（4分）命题“，”的否定是　　A．， B．， C．， D．，【考点】特称命题的否定【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“，”的否定是：，．故选：．3．（4分）已知集合且，则的非空真子集的个数为　　A．14 B．15 C．30 D．31【考点】子集与真子集【解答】解：集合且，2，3，，所以的非空真子集的个数为，故选：．4．（4分）下列从集合到集合的对应中是函数的是　　A．， B．，，， C．， D．，，【考点】31：函数的概念及其构成要素【解答】解：中，当时，，不满足函数的定义；中，，，，，满足中每个数在中都有数有对应，而且对应是唯一的；中，，当时不中存在元素与之对应，当时，中每个数在中都有两个数有对应，不满足函数的定义；中，当时，无意义，不满足函数的定义；故选：．5．（4分）已知函数若，则　　A．或1 B． C．1 D．3【考点】函数的值；分段函数的应用【解答】解：根据题意，函数当时，，解可得，又由，则，当时，，解可得，不符合题意，综合可得：，故选：．6．（4分）若不等式的解集是，则的解集为　　A．，， B． C． D．【考点】一元二次不等式及其应用【解答】解：的解集是，，，解得，，故可化为，解得或，故不等式的解集为，故选：．7．（4分）若两个正实数x，y满足x+y＝3，且不等式＞m2﹣3m+5恒成立，则实数m的取值范围为（　　）A．{m|﹣4＜m＜1} B．{m|m＜﹣1或m＞4} C．{m|﹣1＜m＜4} D．{m|m＜0或m＞3}【考点】不等式恒成立的问题．菁优网版权所有【解答】解：∵两个正实数x，y满足x+y＝3，∴x+1+y＝4，∴＝（）（x+1+y）＝（20++）≥（20+2）＝9，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，∴（）min＝9，∴若不等式＞m2﹣3m+5恒成立，则应9＞m2﹣3m+5，解得，﹣1＜m＜4，故选：C．8．（4分）对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式成立的充分不必要条件是　　A． B．， C．， D．，【考点】充分条件与必要条件【解答】解：，解得．，时，得．可得：，时是不等式成立的充分不必要条件．经过验证不满足条件．故选：．二、选择题（共4小题，每小题4分，共计16分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．（4分）下列命题为命题的是　　A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质【解答】解：若，，则，则，正确；当由不等式性质，显然成立；若，则，，所以，正确；当，，，时，显然不成立．故选：．10．（4分）若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”，已知函数，，，则下列函数中，与是“同象函数”的有　　A．，， B．，， C．，， D．，，【考点】判断两个函数是否为同一函数【解答】解：函数，，，值域是，，对于的值域是，，是同象函数，对于，值域不同，不是同象函数，对于的值域是，，是同象函数，对于的值域是，，是同象函数，故选：．11．（4分）已知函数，则　　A．（1） B． C．的最小值为 D．的图象与轴只有1个交点【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法【解答】解：设，则，，所以，所以，故错误；所以（1），故正确；因为开口向上，对称轴为，所以在，上单调递增，故，故错误，因为在，上单调递增且，所以与轴只有一个交点，故正确；故选：．12．（4分）已知，为正实数，且，则　　A．的最大值为8 B．的最小值为8 C．的最小值为 D．的最小值为【考点】基本不等式及其应用【解答】解：因为，为正实数，且，当且仅当时取等号，解得，即的最大值为8，正确；由得，所以，当且仅当，即时取等号，正确；，当且仅当即时取等号，正确；，当且仅当时取等号，错误．故选：．三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在答题卡中的横线上）13．（4分）已知集合，，，，若，则　1　．【考点】集合的相等【解答】解：，，，，，，解得，．故答案为：1．14．（4分）已知函数的定义域是，，则的定义域是　，　．【考点】33：函数的定义域及其求法【解答】解：函数定义域是，，由，解得．即函数的定义域为，．故答案为：，．15．（4分）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 　，　．【考点】命题的真假判断与应用【解答】解：因为命题“，”是假命题，所以其否定“任意，”是真命题，即在上恒成立，当时，不等式化为恒成立，当时，若在上恒成立，则，解得，综上所述，实数的取值范围为，，故答案为：，．16．（4分）已知函数，若存在互不相等的实数，，满足，且，则　6　；的取值范围为 　　．【考点】分段函数的应用【解答】解：作出函数的图象：可得时，的图象是二次函数的一部分，顶点为；当时，是一次函数的一部分，令，则实数，，即为与有三个交点时，对应的三个实数根，此时，结合，可知；令，解得，故，所以，即．故答案为：6，，．四、解答题：本大题共6小题，共56分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。17．（8分）已知，．（Ⅰ）求（1），（1），（1）的值；（Ⅱ）求，的值域．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值；函数的值域【解答】解：（Ⅰ），，（1），（1），（1）．（Ⅱ），故的值域为，．，故函数的值域为，，．18．（8分）已知集合，．（1）若时，求；（2）若，求实数的取值范围．【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用【解答】解：（1），，当时，，，，；（2），，，①当时，满足，，；②当时，又，，解得，综合可得实数的取值范围为，．19．（8分）已知函数．（1）若，解不等式；（2）解关于的不等式．【考点】一元二次不等式及其应用【解答】解：（1）当时，不等式可化为，由，得，．因为抛物线开口向上，且其两个零点为，，所以不等式的解集为，，．（2）对于二次函数，其对应的二次方程为，计算判别式△，其两根为，．当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为；综上，时，不等式的解集为；时，不等式无解；时，不等式的解集为．20．（10分）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．已知集合，，．（1）求集合，；（2）若是成立的_______条件，判断实数是否存在？【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解答】解：（1）由得，故集合，由得，，因为，故集合．（2）若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合是集合的真子集，则有，解得，所以，实数的取值范围是，．若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合是集合的真子集，则有，解得，所以，实数的取值范围是，．若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合等于集合，则有，方程组无解．所以，不存在满足条件的实数．故答案为：若是成立的充分不必要条件，则，若是成立的必要不充分条件，则，若是成立的充要条件，则不存在，21．（10分）若市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元），处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）．（Ⅰ）设分配给植绿护绿项目的资金为（单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为（单位：百万元），试将表示成关于的函数；（Ⅱ）试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少．【考点】根据实际问题选择函数类型【解答】解：由题意可得，处理污染项目投放资金为百万元，则，故．由可得，，当且，即时，等号成立，此时，故的最大值为52百万元，分别投资给植树护绿向量、处理污染项目的资金为40百万元，60百万元．22．（12分）已知二次函数，（Ⅰ）已知，，是正实数，且（1），求证：；（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求的最大值．【考点】不等式的证明；二次函数的性质与图象【解答】（Ⅰ）证明：已知，，是正实数，且（1），，由柯西不等式可得，当且仅当时取等号，；（Ⅱ）解：恒成立，，，，令，，．．令．当时，，当时，，的最大值为．