2022-2023学年陕西省西安市长安一中高一（上）第一次月考数学试卷

2022-2023学年陕西省西安市长安一中高一（上）第一次月考数学试卷

一、单项选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（5分）命题“对任意，都有”的否定为　　

A．对任意，都有 B．不存在，都有 

C．存在，使得 D．存在，使得

2．（5分）王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（5分）设全集，，0，1，2，，集合，，，则　　

A．， B．， C．， D．，

4．（5分）已知实数，则的最小值是　　

A．24 B．12 C．6 D．3

5．（5分）设集合．若集合满足，2，，则满足条件的集合的个数为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

6．（5分）若，则不等式的解集为　　

A． B． C．或 D．或

7．（5分）有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是，，，，已知，，则这四个小球由重到轻的排列顺序是　　

A． B． C． D．

8．（5分）如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是　　

A． B． C． D．

9．（5分）命题“，”是假命题的一个必要不充分条件是　　

A． B． C． D．

10．（5分）已知正实数，，，满足，，则的最小值是　　

A．10 B．9 C． D．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

11．（5分）已知集合，，，且，则实数的值可以为　　

A．1 B． C．2 D．0

12．（5分）若，则下列不等式中一定不成立的是　　

A． B． C． D．

13．（5分）关于的不等式的解集为，，，则下列正确的是　　

A． 

B．关于的不等式的解集为 

C． 

D．关于的不等式的解集为，，

14．（5分）设正实数，满足，则下列说法正确的是　　

A．的最小值为2 B．的最大值为1 

C．的最大值为4 D．的最小值为

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡相应的位置.）

15．（5分）条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围是　　．

16．（5分）已知集合满足，则集合的个数有 　　个．

17．（5分）学校举办运动会时，高一（2）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径和球类比赛的同学有　　人．

18．（5分）若，，使得成立，则实数的取值范围是 　　．

三、解答题：（共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

19．（12分）设全集，集合，．

（1）若，求；

（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围．

20．（12分）（1）已知，，，求证：．

（2）已知，，，求证：．

21．（12分）已知集合，．

（1）若，求的取值范围；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．

22．（12分）已知命题：存在实数，使成立．

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）命题：任意实数，，使恒成立．如果，都是假命题，求实数的取值范围．

23．（12分）某公司销售一批新型削笔器，该削笔器原来每个售价15元，年销售18万个．

（1）据市场调查，若一个削笔器的售价每提高1元，年销售量将相应减少2000个．要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多为多少元？

（2）为了提高年销售量，公司立即对该削笔器进行技术革新和销售策略改革，并提高售价到元．公司计划投入万元作为技改费用，投入30万元作为固定宣传费用．试问：技术革新后，该削笔器的年销售量至少达到多少万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和？并求此时每个削笔器售价？

2022-2023学年陕西省西安市长安一中高一（上）第一次月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（5分）命题“对任意，都有”的否定为　　

A．对任意，都有 B．不存在，都有 

C．存在，使得 D．存在，使得

【考点】：命题的否定；：全称量词和全称命题

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题“对任意，都有”的否定为．存在，使得．

故选：．

2．（5分）王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】充分条件与必要条件

【解答】解：由题意可得“有志”不一定“能至”，

但是“能至”一定“有志”，

所以“有志”是“能至”的必要不充分条件，

故选：．

3．（5分）设全集，，0，1，2，，集合，，，则　　

A．， B．， C．， D．，

【考点】交、并、补集的混合运算

【解答】解：，，，，

，1，2，，

，，0，1，2，，

，，

故选：．

4．（5分）已知实数，则的最小值是　　

A．24 B．12 C．6 D．3

【考点】基本不等式及其应用

【解答】解：，，

，

当且仅当时，取得最小值24．

故选：．

5．（5分）设集合．若集合满足，2，，则满足条件的集合的个数为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】并集及其运算

【解答】解：，，，2，；

满足条件的为：，，，，，，2，，共4个．

故选：．

6．（5分）若，则不等式的解集为　　

A． B． C．或 D．或

【考点】73：一元二次不等式及其应用

【解答】解：不等式可化为，

且不等式对应方程的两根为和，

由知，，

不等式的解集为．

故选：．

7．（5分）有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是，，，，已知，，则这四个小球由重到轻的排列顺序是　　

A． B． C． D．

【考点】不等式的基本性质

【解答】解：，，

，即．

因此．

，

，

综上可得：．

故选：．

8．（5分）如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是　　

A． B． C． D．

【考点】图表达集合的关系及运算

【解答】解：图中的阴影部分是：

的子集，

不属于集合，属于集合的补集

即是的子集则阴影部分所表示的集合是

故选：．

9．（5分）命题“，”是假命题的一个必要不充分条件是　　

A． B． C． D．

【考点】充分条件与必要条件

【解答】解：由已知得：原命题的否定即，”为真命题，

即在，上有解，显然时，，

故，即时，“，”是假命题，

结合选项可知，只有，，，故正确，错误．

故选：．

10．（5分）已知正实数，，，满足，，则的最小值是　　

A．10 B．9 C． D．

【考点】：基本不等式及其应用

【解答】解：，，，，当且仅当时，取等号．

则，

当且仅当时，且，时，的最小值为9，

故选：．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

11．（5分）已知集合，，，且，则实数的值可以为　　

A．1 B． C．2 D．0

【考点】并集及其运算

【解答】解：，，

当时，，符合题意；

当时，，或，解得或，

的值为1或或0．

故选：．

12．（5分）若，则下列不等式中一定不成立的是　　

A． B． C． D．

【考点】：不等式的基本性质

【解答】解：对于，由糖水原理可知选项一定不成立；

对于，不妨取，，则，故选项可能成立；

对于，不妨取，，则，故选项可能成立；

对于，，故，故选项一定不成立；

故选：．

13．（5分）关于的不等式的解集为，，，则下列正确的是　　

A． 

B．关于的不等式的解集为 

C． 

D．关于的不等式的解集为，，

【考点】一元二次不等式及其应用

【解答】解：由已知可得且，3是方程的两根，正确，

则由根与系数的关系可得：，解得，，

则不等式可化为：，即，所以，错误，

，正确，

不等式可化为：，即，

解得或，正确，

故选：．

14．（5分）设正实数，满足，则下列说法正确的是　　

A．的最小值为2 B．的最大值为1 

C．的最大值为4 D．的最小值为

【考点】基本不等式及其应用

【解答】解：因为正实数，满足，

所以，当且时取等号，正确；

，当且仅当时取等号，正确；

，当且仅当时取等号，

所以，错误；

，当且仅当时取等号，错误．

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡相应的位置.）

15．（5分）条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围是　　．

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件

【解答】解：，故；

，

若是的充分不必要条件，

则，

故答案为：．

16．（5分）已知集合满足，则集合的个数有 　8　个．

【考点】子集与真子集；集合的包含关系判断及应用

【解答】解：集合，2，3，5，，

因为集合满足，

所以集合的个数即为集合，5，的子集个数，

所以集合的个数为．

故答案为：8．

17．（5分）学校举办运动会时，高一（2）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径和球类比赛的同学有　3　人．

【考点】图表达集合的关系及运算

【解答】解：设全班同学组成全集，参加径赛的同学组成集合，参加田赛的同学组成集合，参加球类比赛的同学组成集合，

根据题意，画出韦恩图如图所示，

在相应的位置填上数字，则，

解得，

所以同时参加田赛和球类比赛的有3人；

故答案为：3．

18．（5分）若，，使得成立，则实数的取值范围是 　　．

【考点】函数恒成立问题；全称量词和全称命题

【解答】解：，则，当且仅当，即时等号成立，

，

又，即，使得成立，

，则，

故实数的取值范围是．

故答案为：．

三、解答题：（共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

19．（12分）设全集，集合，．

（1）若，求；

（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围．

【考点】交、并、补集的混合运算

【解答】解：（1），若，则，

全集，或，或，

则或；

（2），或，

若中只有一个整数，则，即．

实数的取值范围是，．

20．（12分）（1）已知，，，求证：．

（2）已知，，，求证：．

【考点】不等式的证明

【解答】证明：（1），，即，，

，，，

则，

；

（2），

，

，，

，当且仅当，即时等号成立，

，

即．

21．（12分）已知集合，．

（1）若，求的取值范围；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件

【解答】解：，．

（1），或，即或．

的取值范围是，，；

（2） “”是“”的充分不必要条件，，

则，解得．

的取值范围是，．

22．（12分）已知命题：存在实数，使成立．

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）命题：任意实数，，使恒成立．如果，都是假命题，求实数的取值范围．

【考点】复合命题及其真假；函数恒成立问题；命题的真假判断与应用

【解答】解：（1）：存在实数，使成立△或，

实数的取值范围为，，；

（2）：任意实数，，使恒成立，，，，

当且仅当即时取得等号，

，

由题，都是假命题，那它们的补集取交集，，，，

实数的取值范围．

23．（12分）某公司销售一批新型削笔器，该削笔器原来每个售价15元，年销售18万个．

（1）据市场调查，若一个削笔器的售价每提高1元，年销售量将相应减少2000个．要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多为多少元？

（2）为了提高年销售量，公司立即对该削笔器进行技术革新和销售策略改革，并提高售价到元．公司计划投入万元作为技改费用，投入30万元作为固定宣传费用．试问：技术革新后，该削笔器的年销售量至少达到多少万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和？并求此时每个削笔器售价？

【考点】根据实际问题选择函数类型

【解答】解：（1）设每件售价为元，依题意，有

，即，

解得．

故要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多为90元；

（2）当时，有解，

即当时，有解，

由于，当且仅当，即时等号成立，

．

技术革新后，该削笔器的年销售量至少达到20万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每个削笔器售价30元．

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