2022-2023学年四川省成都市树德中学高二（上）期末数学试卷（理科）

2022-2023学年四川省成都市树德中学高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．某社区有400个家庭，其中高等收入家庭120户，中等收入家庭180户，低收入家庭100户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本记作①；某校高一年级有12名女排球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②；那么，完成上述2项调查应采用的抽样方法是　　

A．①用随机抽样法，②用系统抽样法 

B．①用分层抽样法，②用随机抽样法 

C．①用系统抽样法，②用分层抽样法 

D．①用分层抽样法，②用系统抽样法

2．下面命题正确的是　　

A．“若，则”的否命题为真命题 

B．命题“若，则”的否定是“存在，则” 

C．设，，则“且”是“”的必要不充分条件 

D．设，，则“”是“”的必要不充分条件

3．直线被圆截得的弦长为2，则直线的倾斜角为　　

A． B．或 C．或 D．或

4．执行下面的程序框图，如果输入的，那么输出的　　

A．1 B． C． D．

5．已知双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为　　

A． B． C． D．

6．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是　　

A．至少有一个白球与都是红球 

B．恰好有一个白球与都是红球 

C．至少有一个白球与都是白球 

D．至少有一个白球与至少一个红球

7．已知点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是　　

A．， B．， C． D．

8．变量与的数据如表所示，其中缺少了一个数值，已知关于的线性回归方程为，则缺少的数值为　　

A．24 B．25 C．25.5 D．26

9．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，于，若，则　　

A．4 B．12 C． D．

10．设集合，，命题，命题．若“”为真命题，“”为假命题，则的取值范围是或或　　

A． B． C． D．

11．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，以为直径的圆与的两条渐近线分别交于与原点不重合的点，，若，则的周长为　　

A．6 B． C． D．

12．设椭圆的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点（点在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线与直线交于点，且满足，设为坐标原点，若，，则该椭圆的离心率为　　

A． B． C．或 D．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．抛物线的焦点到其准线的距离为 　　．

14．执行如图的程序后输出的第3个数是 　　．

15．在定圆上随机取三点、、，则是锐角三角形的概率等于 　　．

16．已知直线与椭圆交于，两点，弦平行轴，交轴于，的延长线交椭圆于，下列说法中正确的命题有 　　．

①椭圆的离心率为；②；③；④以为直径的圆过点．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（10分）已知圆上有两个点，，且为直径．

（1）求圆的方程；

（2）已知，求过点且与圆相切的直线方程．

18．（12分）某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率分布直方图，其统计数据分组区间为，，，，，，，，，，，．

（Ⅰ）求频率分布直方图中的值；

（Ⅱ）求这50名问卷评分数据的中位数；

（Ⅲ）从评分在，的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在，的概率．

19．（12分）已知双曲线的焦点在轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为．

（1）求的标准方程；

（2）若直线与双曲线交于，两点，求．

20．（12分）某书店销售刚刚上市的高二数学单元测试卷，按事先拟定的价格进行5天试销，每种单价试销1天，得到如下数据：

由数据知，销量与单价之间呈线性相关关系．

（1）求关于的回归直线方程；附：，．

（2）预计以后的销售中，销量与单价服从（1）中的回归直线方程，已知每册单元测试卷的成本是10元，为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为多少元？

21．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知过点的动直线与椭圆交于，两点，试判断以为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．

22．（12分）如图，已知点为抛物线的焦点．过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记，的面积分别为，．

（Ⅰ）求的值及抛物线的准线方程；

（Ⅱ）求的最小值及此时点的坐标．

2022-2023学年四川省成都市树德中学高二（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．某社区有400个家庭，其中高等收入家庭120户，中等收入家庭180户，低收入家庭100户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本记作①；某校高一年级有12名女排球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②；那么，完成上述2项调查应采用的抽样方法是　　

A．①用随机抽样法，②用系统抽样法 

B．①用分层抽样法，②用随机抽样法 

C．①用系统抽样法，②用分层抽样法 

D．①用分层抽样法，②用系统抽样法

【解析】：社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响

而社区中各个家庭收入差别明显

①用分层抽样法，

而某校高一年级有12名女排球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况的调查中

个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，

②用随机抽样法

故选：．

2．下面命题正确的是　　

A．“若，则”的否命题为真命题 

B．命题“若，则”的否定是“存在，则” 

C．设，，则“且”是“”的必要不充分条件 

D．设，，则“”是“”的必要不充分条件

【解析】：对于，若，则的否命题为若，则，故为假命题，

对于，若，则的否定是“存在，则”，故为假命题，

对于，令，，满足“”，不能推出且，必要性不成立，故错误，

对于，若，

则且，

故“”是“”的必要不充分条件，故正确．

故选：．

3．直线被圆截得的弦长为2，则直线的倾斜角为　　

A． B．或 C．或 D．或

【解析】：由题意可得圆的半径为2，由弦长可得圆心到直线的距离，而圆心到直线的距离，解得：，

所以直线的倾斜角为：或，

故选：．

4．执行下面的程序框图，如果输入的，那么输出的　　

A．1 B． C． D．

【解析】：由程序框图知：输入时，，，，

第一次循环，，；

第二次循环，，；

第三次循环，，；

满足条件，跳出循环，输出，

故选：．

5．已知双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为　　

A． B． C． D．

【解析】：根据题意，双曲线的离心率为2，

其焦点在轴上，其渐近线方程为，

又由其离心率，则，

则，即，

则其渐近线方程；

故选：．

6．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是　　

A．至少有一个白球与都是红球 

B．恰好有一个白球与都是红球 

C．至少有一个白球与都是白球 

D．至少有一个白球与至少一个红球

【解析】：从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，

对于，至少有一个白球与都是红球是对立事件，故错误；

对于，恰好有一个白球与都是红球不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立事件，故正确；

对于，至少有一个白球与都是白球能同时发生，不是互斥事件，故错误；

对于，至少有一个白球与至少一个红球能同时发生，不是互斥事件，故错误．

故选：．

7．已知点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是　　

A．， B．， C． D．

【解析】：由约束条件的平面区域作出可行域如图，

目标函数的几何意义是可行域内的动点

与定点连线的斜率，；．

，，

目标函数的取值范围是，；

故选：．

8．变量与的数据如表所示，其中缺少了一个数值，已知关于的线性回归方程为，则缺少的数值为　　

A．24 B．25 C．25.5 D．26

【解析】：设缺少的数为，则，，

把代入，得，解得．

故选：．

9．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，于，若，则　　

A．4 B．12 C． D．

【解析】：由题知抛物线，图象开口向右，，

记准线与轴交于点，如图所示：

因为，根据抛物线定义有，

因为，

所以为正三角形，

所以，

所以，

因为焦点到准线的距离为，

所以，

所以，

故选：．

10．设集合，，命题，命题．若“”为真命题，“”为假命题，则的取值范围是或或　　

A． B． C． D．

【解析】：因为集合，，命题，命题．

若“”为真命题，“”为假命题，

则当真假时．有，得，

当假真时，有，得，

综上，的取值范围为，，

故选：．

11．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，以为直径的圆与的两条渐近线分别交于与原点不重合的点，，若，则的周长为　　

A．6 B． C． D．

【解析】：设与轴交于点，

由双曲线的对称性可得轴，，，

又，

则，

即，

又点在以为直径的圆上，

则，

则，

即，，，

则的周长为，

故选：．

12．设椭圆的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点（点在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线与直线交于点，且满足，设为坐标原点，若，，则该椭圆的离心率为　　

A． B． C．或 D．

【解析】：如图，

直线的方程为，直线 的方程为，

则，，，

，

，，，

，①

，②

又，且，可得，，

代入②得，两边平方可得：，

，即，

解得或（舍．

该椭圆的离心率为．

故选：．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．抛物线的焦点到其准线的距离为 　　．

【解析】：由可得，根据抛物线的性质可知焦点到其准线的距离为，

故答案为：．

14．执行如图的程序后输出的第3个数是 　2　．

【解析】：，，输出第1个数1；

，，输出第2个数；

，，输出第3个数2．

故答案为：2．

15．在定圆上随机取三点、、，则是锐角三角形的概率等于 　　．

【解析】：设是半径为1的圆的任一内接三角形，且、所对的弧长分别为、，则所对的弧长为，

对于，有，，，

该不等式组所表示的区域面积为，

若为锐角三角形，则，，，

该不等式组所表示的区域面积为，

从而，所求的概率为．

故答案为：．

16．已知直线与椭圆交于，两点，弦平行轴，交轴于，的延长线交椭圆于，下列说法中正确的命题有 　②③④　．

①椭圆的离心率为；②；③；④以为直径的圆过点．

【解析】：由椭圆方程：可知：，，

因此离心率，故①错误；

设，，因为弦平行轴，交轴于，

则，，，，

由斜率公式可得，

，即，故②正确；

设，则直线的方程为，所以，

故，

联立直线与椭圆的方程，，消去可得，

由韦达定理可得，

代入中，

又，

故，

所以，

所以，所以以为直径的圆过点，故④正确，

，故③正确，

故答案为：②③④．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（10分）已知圆上有两个点，，且为直径．

（1）求圆的方程；

（2）已知，求过点且与圆相切的直线方程．

【解析】：（1）由题意可得的中点，

圆的半径，

所以圆的方程为：；

（2）因为，

所以点在圆上，所以，

所以过点的切线的斜率为，

所以过点的切线方程为．

18．（12分）某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率分布直方图，其统计数据分组区间为，，，，，，，，，，，．

（Ⅰ）求频率分布直方图中的值；

（Ⅱ）求这50名问卷评分数据的中位数；

（Ⅲ）从评分在，的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在，的概率．

【解析】：（Ⅰ）由频率分布直方图，可得，

解得．

（Ⅱ）由频率分布直方图，可设中位数为，

则有，

解得中位数．

（Ⅲ）由频率分布直方图，可知在，内的人数：，

在，内的人数：．

设在，内的2人分别为，，在，内的3人分别为，，，

则从，的问卷者中随机抽取2人，基本事件有10种，分别为：

，，，，，，，，，，

，，，，，，，，，，

其中2人评分都在，内的基本事件有，，，，，共3种，

故此2人评分都在，的概率为．

19．（12分）已知双曲线的焦点在轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为．

（1）求的标准方程；

（2）若直线与双曲线交于，两点，求．

【解析】：（1）因为焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，

由题意得，

所以，①

又双曲线的一条渐近线为，

所以，②

又，③

联立上述式子解得，，

故所求方程为；

（2）设，，，，

联立，整理得，

由，

所以，，

即．

20．（12分）某书店销售刚刚上市的高二数学单元测试卷，按事先拟定的价格进行5天试销，每种单价试销1天，得到如下数据：

由数据知，销量与单价之间呈线性相关关系．

（1）求关于的回归直线方程；附：，．

（2）预计以后的销售中，销量与单价服从（1）中的回归直线方程，已知每册单元测试卷的成本是10元，为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为多少元？

【解析】：（1），，

，，

，

，

关于的回归直线方程为；

（2）获得的利润，

即，

二次函数的图象开口向下，

当时，取最大值，

故当单价定为21.5元时，可获得最大利润．

21．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知过点的动直线与椭圆交于，两点，试判断以为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．

【解答】解（1）由题意，故，（1分）

又椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为，所以，

（2分）

解得，，所以，（4分）

所以椭圆的标准方程为．（6分）

（2）当直线的斜率为0时，令，则，

此时以为直径的圆的方程为．（7分）

当直线的斜率不存在时，以为直径的圆的方程为，（8分）

联立解得，，即两圆过点．

猜想以为直径的圆恒过定点．（9分）

对一般情况证明如下：

设过点的直线的方程为与椭圆交于，，，，

则整理得，

所以．（12分）

（注：如果不猜想，直接写出上面的联立方程、韦达定理，正确的给3分）

因为

，

所以．

所以存在以为直径的圆恒过定点，且定点的坐标为．（16分）

22．（12分）如图，已知点为抛物线的焦点．过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记，的面积分别为，．

（Ⅰ）求的值及抛物线的准线方程；

（Ⅱ）求的最小值及此时点的坐标．

【解析】：（Ⅰ）由抛物线的性质可得：，

，

抛物线的准线方程为；

（Ⅱ）设，，，，，，重心，，

令，，则，

由于直线过，故直线的方程为，

代入，得：，

，即，，，

又，，重心在轴上，

，

，，，，

直线的方程为，得，，

在焦点的右侧，，

，

令，则，

，

当时，取得最小值为，此时．