甘肃省靖远县第一中学等2校2023届高三上学期期末文科数学试题

高三数学试卷（文科）

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。

2．请将各题答案填写在答题卡上。

3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则的元素个数为（    ）

A．1 B．3 C．5 D．7

2．（    ）

A． B． C． D．

3．下列坐标所表示的点是函数图象的对称中心的是（    ）

A． B． C． D．

4．抛物线的准线方程为（    ）

A． B． C． D．

5．若，则（    ）

A． B． C． D．

6．函数的零点为（    ）

A．4 B．5 C．4或5 D．或5

7．下图是2010年—2021年（记2010年为第1年）中国创新产业指数统计图，由图可知下列结论不正确的是（    ）

A．从2010年到2021年，创新产业指数一直处于增长的趋势

B．2021年的创新产业指数超过了2010年-2012年这3年的创新产业指数总和

C．2021年的创新产业指数比2010年的创新产业指数的两倍还要大

D．2010年到2014年的创新产业指数的增长速率比2017年到2021年的增长速率要慢

8．若是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

9．从甲、乙等6名专家中任选2人前往某地进行考察，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为（    ）

A． B． C． D．

10．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则的面积为（    ）

A． B． C．27 D．36

11．已知，则（    ）

A． B． C． D．

12．已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线经过且与的左支交于P，Q两点，在以为直径的圆上，，则的离心率是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设x，y满足约束条件则的最大值为________．

14．已知向量，，若，则________．

15．若甲、乙两个圆柱形容器的容积相等，且甲、乙两个圆柱形的容器内部底面半径的比值为2，则甲、乙两个圆柱形容器内部的高度的比值为________．

16．如图，在正三棱柱中，，，D为的中点，则与所成角的余弦值为________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

2022年11月15日9时38分，长征四号丙运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后将遥感三十四号03星送入预定轨道发射，大量观众通过某网络直播平台观看了发射全过程．为了解大家是否关注航空航天技术，该平台随机抽取了100名用户进行调查，相关数据如下表．

（1）补充表格数据并根据表中数据分别估计男、女性用户关注航空航天技术的概率；

（2）能否有的把握认为是否关注航空航天技术与性别有关？

附：，．

18．（12分）

在等比数列中，，且．

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

19．（12分）

如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，E，F，G分别是，，的中点，平面，，且．

（1）证明：平面．

（2）求四棱锥的体积．

20．（12分）

已知椭圆与椭圆的离心率相同，点为椭圆上一点．

（1）求椭圆的方程．

（2）若过点的直线与椭圆相交于A，B两点，试问以为直径的圆是否经过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（12分）

已知函数．

（1）若，证明：存在唯一极值点．

（2）若，证明：，．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（2）若曲线与曲线交于A，B两点，的直角坐标为，求．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为，求的最小值．

高三数学试卷参考答案（文科）

1．C  因为，，所以．

2．C  ．

3．A  由，可知是函数图象的对称中心．

4．A  因为，所以，所以抛物线的准线方程为．

5．C  因为，所以．

6．B  由，得，则，解得或，又，所以．

7．B  由图可知，2021年的创新产业指数低于2010年-2012年这3年的创新产业指数总和．

8．A  因为是偶函数，所以，即，所以，则，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为．

9．D  记其他4名专家分别为a，b，c，d，从这6人中任选2人，有（甲，乙），（甲，），（甲，），（甲，），（甲，），（乙，，（乙，），（乙，），（乙，），，，，，，，共15种情况，其中甲、乙2人中至少有1人被选中有（甲，乙），（甲，），（甲，），（甲，），（甲，），（乙，），（乙，），（乙，），（乙，），共9种情况，故所求的概率为．

10．C  因为，，，所以由，

可得，所以．

因为，所以的面积为．

11．A  由可得，所以，则，，所以．

12．B  不妨设，，因为在以为直径的圆上，所以，即，则．因为在的左支上，所以，得，则．因为，所以，故．

13．22  作出可行域（图略），当直线经过点时，取得最大值，最大值为22．

14．  因为，所以，则，解得．

15．  由圆柱形容器的容积，得，所以甲、乙两个圆柱形容器内部的高度的比值为．

16．  如图，取的中点，连接，．在中，为中位线，所以，所以为与所成的角．在中，，，，所以．

17．解：（1）补充的表中数据如下：

估计男性用户关注航空航天技术的概率；女性用户关注航空航天技术的概率．

（2），

因为，

所以没有的把握认为是否关注航空航天技术与性别有关．

18．解：（1）设公比为，因为，且，所以，

则．

故．

（2）因为，

所以

．

19．（1）证明：在菱形中，因为E，G分别是，的中点，所以．

又是的中点，所以．

因为，，所以平面平面．因为平面，所以平面．

（2）解：连接，因为平面，所以，

又，所以．

因为为的中点，所以．

又，所以为正三角形．

延长至点，使得．

由（1）知平面，则，

又，所以底面．

因为，所以，

所以．

故．

20．解：（1）设椭圆的焦距为，

由题意可得解得

故椭圆的方程为．

（2）当直线的斜率为0时，以为直径的圆方程为．

当直线的斜率不存在时，以为直径的圆方程为．

联立解得故若存在定点，则此定点为．

当直线的斜率存在，且不为0时，设直线，，，

联立整理得，

则，．

因为

，

所以以为直径的圆经过定点．

综上，以为直径的圆经过定点．

21．证明：（1）因为，所以，则．易知在上单调递减．

又，，所以，．

当时，，单调递增；当时，，单调递减．

故是唯一的极值点且为极大值点．

（2）因为，所以．

又，所以，则．

令函数，则．

当时，显然，则在上单调递增．

故当时，，

从而，．

22．解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），

所以曲线的普通方程为．

因为曲线的极坐标方程为，

所以曲线的直角坐标方程为．

（2）因为在直线上，所以的参数方程为

将其代入的普通方程，得．

设A，B对应的参数分别为，，

则，．

因为，，所以．

23．解：（1）由，得．

当时，由，得，所以；

当时，由，得，所以；

当时，由，得，所以．

故不等式的解集为．

（2）因为，所以．

因为，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为3．