广东省广州市培英中学2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试题（含答案）

2024届培英中学高三数学第一次月考试题参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.  

【详解】因为，又，

所以.故选：D．

2. 已知复数，为虚数单位，则（）

A.  B.  C.  D.

【详解】，

.故选：C

3. 已知直线m，n及平面，则“”是“”的（）

A充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【详解】由题意可知：当时，与可能平行，也可能相交，故充分性不成立；

当时，成立，故必要性成立；

所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B

4. 设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则(　　)

A.a＞b＞c B.b＞c＞aC.a＞c＞b  D.c＞b＞a

答案　A

【详解】　a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，∵log43＞log53＞log63，∴a＞b＞c.

5. 已知，都为锐角，，，则等于（）

A.  B.  C.  D.

【详解】解：，都是锐角，，，

，，

故选：A．

6. 古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线．这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义．若平面内一动点到定点和到定直线的距离之比是，则点的轨迹为（）

A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线

【详解】解：由题意得，整理得：，

所以点的轨迹为椭圆．故选：B．

7. 若等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为（）

A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023

详解】依题意，

又，即，则

则，且，

所以等差数列单调递减，，

所以对任意正整数，都有，则．故选，C．

8. 已知函数，则不等式的解集是（）

A.  B.  C.  D.

【详解】，

由于，所以的定义域为，

，所以是奇函数，

当时，为增函数，为增函数，

所以是增函数，由是奇函数可知，在上单调递增，

由得，

即，则，解得，

所以不等式的解集是.故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9.  为了解中学生参与课外阅读的情况，某校一兴趣小组持续跟踪调查了该校某班全体同学10周课外阅读的时长，经过整理得到男生、女生这10周课外阅读的平均时长（单位：h）的数据如下表：

以下判断中正确的是（）

A. 该班男生每周课外阅读的平均时长的平均值为7.85

B. 该班女生每周课外阅读的平均时长的80%分位数是9.0

C. 该班女生每周课外阅读的平均时长波动性比男生小

D. 由该班估计该校男生每周课外阅读的平均时长不低于8h的概率为0.5

【详解】由表可知，该班男生每周课外阅读的平均时长的平均值为

，故A错误；

因为，则该班女生每周课外阅读的平均时长的80%分位数是，故B错误；

由表可知，该班女生每周课外阅读的平均时长的极差为，

该班男生每周课外阅读的平均时长的极差为，所以该班女生每周课外阅读的平均时长波动性比男生小，故C正确；

由表可知，估计该校男生每周课外阅读的平均时长不低于8h的概率为，故D正确；

故选：CD

10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ）

A．是奇函数 B．是偶函数

C．在R上是增函数 D．的值域是

【答案】ACD

【详解】A选项：，

，∴，

∴为奇函数，故A正确；

B选项：∵∴，，

∵为奇函数，∴，∴，∴，故B错误；

C选项：，

∵，∴为增函数，∴为减函数，

∴为增函数，故C正确；

D选项：∵，∴，∴，∴．

又∵，∴的值域为，故D正确．

11．已知四面体的所有棱长均为，则下列结论正确的是（    ）

A．异面直线与所成角为B．点到平面的距离为

C．四面体的外接球体积为D．四面体的内切球表面积为

【答案】BCD

【详解】取中点,连接,可得面,则,故A错误；

在四面体中，过点作面于点,则为为底面正三角形的重心，因为所有棱长均为,,即点到平面的距离为,故B正确；

设为正四面体的中心则为内切球的半径，是外接球的半径，

因为，所以，即,

所以四面体的外接球体积,故C正确；

四面体的内切球表面积为，D正确；故选：BCD．

12. 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，则函数f(x)满足(　　)

A.f(0)＝0B.y＝f(x)是奇函数

C.f(x)在[1，2]上有最大值f(2)D.f(x－1)＞0的解集为{x|x＜1}

答案　ABD

【详解】　令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，故f(0)＝0，A正确；

令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，即f(x)＝－f(－x)，

故函数f(x)为奇函数，B正确；设x1＜x2，则x1－x2＜0，由题意可得f(x1－x2)＞0，

即f(x1)＋f(－x2)＝f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，故函数f(x)为R上的减函数，

∴f(x)在[1，2]上的最大值为f(1)，C错误；f(x－1)＞0等价于f(x－1)＞f(0)，

又f(x)为R上的减函数，故x－1＜0，解得x＜1，D正确.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 展开式中的各二项式系数之和为256，则的系数是

【答案】112

【详解】依题意得：解得

则由，解得

从而.故答案为：

14. 定义在R上的非常数函数满足：，且.请写出符合条件的一个函数的解析式______.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据已知，且得出对称轴和对称中心，确定一个具体函数即可.

【详解】因为.得出对称中心，且得出对称轴为轴，且周期为4的函数都可以.故答案为：

15. 已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________．

【答案】

【详解】试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．

16.函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________.

【答案】　[－1，＋∞)

【详解】　设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图).

当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点.

设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1.

当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解.综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.  （10分）求下列关于x的不等式的解集

（1）＜1   （4分）

【详解】：　＜1，即－1＜0，即＜0，解得－7＜x＜2，

因此不等式的解集为(－7，2).（不写集合或区间扣1分）

（2）x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R).（6分）

【详解】：将不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0变形为(x－a)(x－a2)＞0.（1分）

当a＜0时，a＜a2，∴原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；（2分）

当a＝0时，a＝a2＝0，∴原不等式的解集为{x|x≠0}；（3分）

当0＜a＜1时，a＞a2，∴原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；（4分）

当a＝1时，a＝a2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}；（5分）

当a＞1时，a＜a2，∴原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}.（6分）

综上所述，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；

当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；

当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；

当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}.

（不写综上所述不扣分，每两个地方不写区间或集合扣1分）

18. (12分） 已知的内角，，的对边分别为，，，且.

（1）求角大小；

（2）若的中点为且，,请写出与的关系式，并求出的最大值.

【小问1详解】

因为，所以由正弦定理得，

所以，所以，

又，所以，所以，又，所以；(5分)

【小问2详解】

，则在中，由知，

由正弦定理得，所以，，

又，所以，，(8分）所以

，（10分）

因为，所以，所以，所以，

所以的最大值为.（12分）

19.（12分）已知数列的前项和为，且满足．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）设，求数列的前项和．

【详解】解：（1）因为①

当时，得．（1分）

当时，②，①②两式相减得

即，（4分）

所以数列是以2为公比，以2为首项的等比数列，（6分）（不写n大于等于2扣1分)

（2）由（1）知，即．（7分）

∵，（9分）

则（12分）

20. （12分）如图，四棱柱中，底面是菱形，，对角面是矩形，且平面平面.

（1）证明：侧棱平面：

（2）设，若，求二面角的余弦值.

【小问1详解】

四棱柱四边形是矩形，，(1分）

又平面平面，平面平面，（2分）平面，

平面.（4分）

【小问2详解】

四边形为菱形，，

以为坐标原点，正方向为轴，平行于直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系（5分）

设，则，，，

，，（7分）

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；（9分）

平面轴，平面的一个法向量（10分）

（11分）

二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.（12分）

21．（12分）设为实数，函数，.

(1)求的极值；

(2)对于，，都有，试求实数的取值范围.

21.(1)【详解】：函数的定义域为，，（1分）

令，可得或，列表如下：

（3分）故函数的极大值为，（4分）极小值为.（5分）

（不列表格，只要说明详细的单调性也可以，不说明单调性扣2分）

(2)【详解】：对于，，都有，则.（6分）

由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，（7分）

故当时，，（8分）因为，且，则且不恒为零，故函数在上单调递增，故，（10分）

由题意可得，故.（12分）

22．（12分）已知椭圆的焦距为2，且经过点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．

22．【详解】（1）由椭圆C的焦距为2，故，则，（1分）

又由椭圆C经过点，代入C得，得，（3分）

所以椭圆的方程为：（4分）．

（2）【详解】：根据题意，直线的斜率显然不为零，令

由椭圆右焦点，故可设直线l的方程为，（5分）

与联立得，，则，

设，，，，（7分）

设存在点T，设T点坐标为，由，得，

又因为，所以，，

所以直线TA和TB关于x轴对称，其倾斜角互补，即有，（9分）

则：，所以，

所以，，（10分）

即，即，

解得，符合题意，即存在点T满足题意.（12分）