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四川省资阳市2022-2023学年高二上学期期末理科数学试题
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这是一份四川省资阳市2022-2023学年高二上学期期末理科数学试题，共12页。试卷主要包含了某四面体的三视图如右图所示等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并认真校准条形码上的考号、姓名等信息，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在区间随机取一个数，则取到的满足的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．椭圆的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．某公司有职工340人，其中男职工180人，用分层抽样的方法从该公司全体职工中抽取一个容量为68的样本，则此样本中男职工人数为（ ）
A．40B．36C．34D．32
4．已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次，射中环数频率分布如图所示：
令，分别表示甲、乙射中环数的均值；，分别表示甲、乙射中环数的方差，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．已知过原点的直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
7．设为直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
8．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（ ）
A．133B．85C．70D．50
9．“木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度．某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水．根据该同学的说法，若有一个如图①所示圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口的距离为2，若按图②的方式盛水，木桶倾斜到与水平面成60°时，水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平，并形成一个椭圆水面，且为椭圆的长轴，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．某四面体的三视图如右图所示（3个三角形都是直角边为1的等腰直角三角形），则该四面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
11．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为（ ）
A．B．5C．10D．11
12．如图，已知正方体的棱长为2，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则的最大值为（ ）
A．5B．6C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．命题“”的否定是________．
14．如图，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的底面边长为2，侧棱长为4，则与侧面所成角的正弦值为________．
15．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，蟋蟀鸣叫的频率（单位：次数/分钟）与气温（单位：）有较强的线性相关关系．某同学在当地通过观测，得到如下数据，并利用最小二乘法建立了关于的线性回归方程．当蟋蟀每分钟鸣叫52次时，该地当时的气温预报值为________．
16．已知曲线的方程是，给出下列四个结论：
①曲线与坐标轴至少有一个公共点；
②曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形；
③若点P，Q在曲线上，则无最大值；
④曲线围成图形的面积为．
其中，所有正确结论的序号是________．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知．
（1）求证：是关于的方程有解的一个充分条件；
（2）当时，求关于x的方程有一个正根和一个负根的充要条件．
18．（12分）
某中学为了解高中一年级学生对《生涯规划》读本学习情况，在该年级1500名学生中随机抽取了40名学生作为样本，对他们一周内对《生涯规划》读本学习时间进行调查，经统计，这些时间全部介于10至60（单位：分钟）之间．现将数据分组，并制成如图所示的频率分布直方图．
为了研究的方便，该年级规定，若一周学习《生涯规划》读本时间多于50分钟的学生称为“精生涯生”，若一周学习《生涯规划》读本时间小于20分钟的学生称为“泛生涯生”．
（1）求图中a的值，并估计该年级学生一周内对《生涯规划》读本学习时间的均值；
（2）用样本估计总体，估计该年级“精生涯生”和“泛生涯生”的数量各为多少人？
（3）从样本中的“精生涯生”和“泛生涯生”中任选2名学生，求这两名学生一周内对《生涯规划》读本学习时间的差不超过10分钟的概率．
19．（12分）
已知的圆心为坐标原点，上的点到直线的距离的最小值为1．
（1）求的方程；
（2）过点作的两条切线，切点分别为A，B．求直线的方程．
20．（12分）
如图，四棱锥，平面，为等边三角形，，B，D位于的异侧，．
（1）若，求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦为，求的长．
21．（12分）
如图，多面体是将一个平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，点为三角形的重心．四边形是边长为1的正方形，且，．
（1）求证：；
（2）求线段的长；
（3）求异面直线与所成角的余弦值．
22．（12分）
已知椭圆经过三点，，中的两点．
（1）求的方程；
（2）过的右焦点的直线与交于两点，在直线上是否存在一点，使得是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．
资阳市2022-2023学年度高中二年级第一学期期末质量监测
理科数学参考答案和评分意见
评分说明：
1．本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分。选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1－5：BCBAD；6-10：DCBCA；11－12：DC
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（或填） 14． 15．33 16．②③
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
（1）当时，，显然有解，故结论得证．
（2）当，是开口向上的二次函数，
因为方程有一个正根和一个负根，
所以，即．
反之，当时，，且，
所以有一个正根和一个负根，满足条件．
所以，当，方程有一个正根和一个负根的充要条件为．
18．（12分）
（1）由直方图可得，解得；
由直方图可得样本均值为：
，
所以，该年级学生一周内对《生涯规划》读本学习时间的均值为34.5．
（2）由频率分布直方图可知，样本“精生涯生”的频率为0.1，
所以估计该年级学生中“精生涯生”的数量为（人），
该年级学生中“泛生涯生”的数量为（人）．
（3）在这40名学生样本中有2名“泛生涯生”，分别记为，；有4名“精生涯生”，分别记为，，，．从这6人中选取2人的所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15个．
这两名学生一周学习《生涯规划》的学习时间差不超过10分钟所含的基本事件为，，，，，，共7个，
故所求概率．
19．（12分）
（1）由题，的圆心到直线距离为，
设的半径为，
则上的点到直线距离的最小值为，
由，解得，
所以，的方程为．
（2）方法1：
设切点，，
由题知，切线，斜率存在，且均不为0，
直线的斜率为，则切线斜率为，
所以，切线方程为，
化简得，切线的方程为：，
同理，切线的方程为：，
由于切线，均过点，
所以，，，
所以，切点，在直线上，
所以，直线的方程为．
方法2：设切点，，
经过切点A，B的直线可以看作是以为直径的圆与的公共弦所在的直线．
以为直径的圆的圆心为，
又，则以为直径的圆的半径为，
所以，以为直径的圆的方程为：，即，
与的方程联立，得到，
所以，直线的方程为．
20．（12分）
（1）证明：因为，
所以四边形为平行四边形，
又为等边三角形，
可得，四边形为菱形，
所以，
因为平面，
所以，
所以平面，又平面，
所以，平面平面．
（2）取的中点，易知两两垂直，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系．
设的长度为，则，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则由得
令，得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则由得
令，得平面的一个法向量为，
由，
解得，即满足题意．
21．（12分）
由题，设，则，
．
所以
．
（1）证明：因为，
所以
，
所以．
（2）可得，
，
所以，线段的长为．
（3）设异面直线与所成的角为，
因为，，
所以，
，
则，
所以，异面直线与所成角的余弦值为．
【说明】本题也可以建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算解决．参考上述解答评分．
22．（12分）
（1）方法1：根据椭圆的对称性，
椭圆只能经过和这两点，则，，
此时，椭圆的方程为．
方法2：
若经过，，则，且，此时无解；
若经过，，则，且，此时，
与椭圆这一条件不符，不合题意；
若经过，，则，，
此时，椭圆的方程为．
（2）假设在直线上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形．
①当的斜率不存在时，只有当点为，才满足以为底边的等腰三角形，此时不妨取，，
显然与不垂直，则不是等腰直角三角形．
此时，不符合题意．
②当的斜率存在时，设，
联立方程组消去，得，
则，
设，，的中点为，
则，，
所以，
又可得，，，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以的斜率为，
又点的横坐标为2，
，
所以，即，得，无解，此时不存在这样的点．
综上，不存在这样的点，使是以为斜边的等腰直角三角形．
【说明】第（2）问也可以利用直线与圆的位置关系进行判断：判断以为直径的圆与直线的是相离的位置关系，由此可知直线上不存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形．（次数/分钟）
24
36
40
60
26
28.6
30
35.4
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并认真校准条形码上的考号、姓名等信息，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在区间随机取一个数，则取到的满足的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．椭圆的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．某公司有职工340人，其中男职工180人，用分层抽样的方法从该公司全体职工中抽取一个容量为68的样本，则此样本中男职工人数为（ ）
A．40B．36C．34D．32
4．已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次，射中环数频率分布如图所示：
令，分别表示甲、乙射中环数的均值；，分别表示甲、乙射中环数的方差，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．已知过原点的直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
7．设为直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
8．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（ ）
A．133B．85C．70D．50
9．“木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度．某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水．根据该同学的说法，若有一个如图①所示圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口的距离为2，若按图②的方式盛水，木桶倾斜到与水平面成60°时，水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平，并形成一个椭圆水面，且为椭圆的长轴，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．某四面体的三视图如右图所示（3个三角形都是直角边为1的等腰直角三角形），则该四面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
11．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为（ ）
A．B．5C．10D．11
12．如图，已知正方体的棱长为2，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则的最大值为（ ）
A．5B．6C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．命题“”的否定是________．
14．如图，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的底面边长为2，侧棱长为4，则与侧面所成角的正弦值为________．
15．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，蟋蟀鸣叫的频率（单位：次数/分钟）与气温（单位：）有较强的线性相关关系．某同学在当地通过观测，得到如下数据，并利用最小二乘法建立了关于的线性回归方程．当蟋蟀每分钟鸣叫52次时，该地当时的气温预报值为________．
16．已知曲线的方程是，给出下列四个结论：
①曲线与坐标轴至少有一个公共点；
②曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形；
③若点P，Q在曲线上，则无最大值；
④曲线围成图形的面积为．
其中，所有正确结论的序号是________．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知．
（1）求证：是关于的方程有解的一个充分条件；
（2）当时，求关于x的方程有一个正根和一个负根的充要条件．
18．（12分）
某中学为了解高中一年级学生对《生涯规划》读本学习情况，在该年级1500名学生中随机抽取了40名学生作为样本，对他们一周内对《生涯规划》读本学习时间进行调查，经统计，这些时间全部介于10至60（单位：分钟）之间．现将数据分组，并制成如图所示的频率分布直方图．
为了研究的方便，该年级规定，若一周学习《生涯规划》读本时间多于50分钟的学生称为“精生涯生”，若一周学习《生涯规划》读本时间小于20分钟的学生称为“泛生涯生”．
（1）求图中a的值，并估计该年级学生一周内对《生涯规划》读本学习时间的均值；
（2）用样本估计总体，估计该年级“精生涯生”和“泛生涯生”的数量各为多少人？
（3）从样本中的“精生涯生”和“泛生涯生”中任选2名学生，求这两名学生一周内对《生涯规划》读本学习时间的差不超过10分钟的概率．
19．（12分）
已知的圆心为坐标原点，上的点到直线的距离的最小值为1．
（1）求的方程；
（2）过点作的两条切线，切点分别为A，B．求直线的方程．
20．（12分）
如图，四棱锥，平面，为等边三角形，，B，D位于的异侧，．
（1）若，求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦为，求的长．
21．（12分）
如图，多面体是将一个平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，点为三角形的重心．四边形是边长为1的正方形，且，．
（1）求证：；
（2）求线段的长；
（3）求异面直线与所成角的余弦值．
22．（12分）
已知椭圆经过三点，，中的两点．
（1）求的方程；
（2）过的右焦点的直线与交于两点，在直线上是否存在一点，使得是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．
资阳市2022-2023学年度高中二年级第一学期期末质量监测
理科数学参考答案和评分意见
评分说明：
1．本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分。选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1－5：BCBAD；6-10：DCBCA；11－12：DC
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（或填） 14． 15．33 16．②③
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
（1）当时，，显然有解，故结论得证．
（2）当，是开口向上的二次函数，
因为方程有一个正根和一个负根，
所以，即．
反之，当时，，且，
所以有一个正根和一个负根，满足条件．
所以，当，方程有一个正根和一个负根的充要条件为．
18．（12分）
（1）由直方图可得，解得；
由直方图可得样本均值为：
，
所以，该年级学生一周内对《生涯规划》读本学习时间的均值为34.5．
（2）由频率分布直方图可知，样本“精生涯生”的频率为0.1，
所以估计该年级学生中“精生涯生”的数量为（人），
该年级学生中“泛生涯生”的数量为（人）．
（3）在这40名学生样本中有2名“泛生涯生”，分别记为，；有4名“精生涯生”，分别记为，，，．从这6人中选取2人的所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15个．
这两名学生一周学习《生涯规划》的学习时间差不超过10分钟所含的基本事件为，，，，，，共7个，
故所求概率．
19．（12分）
（1）由题，的圆心到直线距离为，
设的半径为，
则上的点到直线距离的最小值为，
由，解得，
所以，的方程为．
（2）方法1：
设切点，，
由题知，切线，斜率存在，且均不为0，
直线的斜率为，则切线斜率为，
所以，切线方程为，
化简得，切线的方程为：，
同理，切线的方程为：，
由于切线，均过点，
所以，，，
所以，切点，在直线上，
所以，直线的方程为．
方法2：设切点，，
经过切点A，B的直线可以看作是以为直径的圆与的公共弦所在的直线．
以为直径的圆的圆心为，
又，则以为直径的圆的半径为，
所以，以为直径的圆的方程为：，即，
与的方程联立，得到，
所以，直线的方程为．
20．（12分）
（1）证明：因为，
所以四边形为平行四边形，
又为等边三角形，
可得，四边形为菱形，
所以，
因为平面，
所以，
所以平面，又平面，
所以，平面平面．
（2）取的中点，易知两两垂直，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系．
设的长度为，则，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则由得
令，得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则由得
令，得平面的一个法向量为，
由，
解得，即满足题意．
21．（12分）
由题，设，则，
．
所以
．
（1）证明：因为，
所以
，
所以．
（2）可得，
，
所以，线段的长为．
（3）设异面直线与所成的角为，
因为，，
所以，
，
则，
所以，异面直线与所成角的余弦值为．
【说明】本题也可以建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算解决．参考上述解答评分．
22．（12分）
（1）方法1：根据椭圆的对称性，
椭圆只能经过和这两点，则，，
此时，椭圆的方程为．
方法2：
若经过，，则，且，此时无解；
若经过，，则，且，此时，
与椭圆这一条件不符，不合题意；
若经过，，则，，
此时，椭圆的方程为．
（2）假设在直线上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形．
①当的斜率不存在时，只有当点为，才满足以为底边的等腰三角形，此时不妨取，，
显然与不垂直，则不是等腰直角三角形．
此时，不符合题意．
②当的斜率存在时，设，
联立方程组消去，得，
则，
设，，的中点为，
则，，
所以，
又可得，，，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以的斜率为，
又点的横坐标为2，
，
所以，即，得，无解，此时不存在这样的点．
综上，不存在这样的点，使是以为斜边的等腰直角三角形．
【说明】第（2）问也可以利用直线与圆的位置关系进行判断：判断以为直径的圆与直线的是相离的位置关系，由此可知直线上不存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形．（次数/分钟）
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