2023年内蒙古九年级数学中考模拟题分项选编：二次函数(含解析)

这是一份2023年内蒙古九年级数学中考模拟题分项选编：二次函数(含解析)，共55页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年内蒙古九年级数学中考模拟题分项选编：二次函数

一、单选题
1．（2023·内蒙古赤峰·统考三模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象关于x轴对称后，再向下平移2个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为(    )
A． B． C． D．
2．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）如图，已知二次函数（为常数，且）的图像顶点为，经过点；有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而增大；⑤对于任意实数，总有，其中正确的有（   ）

A．个 B．个 C．个 D．个
3．（2023·内蒙古呼和浩特·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴的交点为A，过点A作直线垂直于轴．将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，组成图形．点，为图形上任意两点．若对于，，都有，则的取值范围（   ）
A． B． C． D．
4．（2023·内蒙古包头·模拟预测）下列关于二次函数的图像和性质的叙述中，正确的是（    ）
A．点在函数图像上 B．开口方向向上
C．对称轴是直线 D．与直线有两个交点
5．（2023·内蒙古包头·模拟预测）若二次函数的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式的最小值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023·内蒙古包头·模拟预测）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023·内蒙古呼和浩特·模拟预测）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：
①向右平移2个单位长度     ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度     ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有(   )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023·内蒙古包头·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数的图象上有且只有一个雅系点，且当时，函数的最小值为－6，最大值为－2，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
9．（2023·内蒙古包头·模拟预测）二次函数a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如下表：
x
…
－1
0
1
2
4
…
y
…
－1
0.5
1
0.5
－3.5
…
有下列结论：
①函数有最大值，且最大值为1；
②b＝1；
③若满足，则或；
④若方程有两个不等的实数根则；
其中正确结论的个数是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2023·内蒙古包头·二模）已知二次函数的图象交轴于两点．若其图象上有且只有三点满足，则的值是（    ）
A．1 B． C．2 D．4
11．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考三模）如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1
12．（2023·内蒙古包头·一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n）．下列结论：①abc＜0；②8a+c＜0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等实数根；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中正确的结论共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题
13．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，则点的限变点是____________．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是____________．
14．（2023·内蒙古包头·模拟预测）小明经探究发现：不论字母系数m取何值，函数的图像恒过一定点P，则P点坐标为______．
15．（2023·内蒙古包头·模拟预测）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为_______．
16．（2023·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知关于x的函数，，若对于任意实数x，与的值至少有一个为正数．则实数a的取值范围是______．
17．（2023·内蒙古通辽·统考一模）若函数y=mx+（m+2）x+m+1的图象与 x 轴只有一个交点，那么m的值为_______．

三、解答题
18．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，，以A为顶点的抛物线经过点，交y轴于点，动点P在对称轴上．

(1)求抛物线的解析式．
(2)若点P从A点出发，沿方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作交于点D，过点D且平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接，当t为何值时，的面积最大？最大值是多少？
(3)抛物线上是否存在点M，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，且经过x轴上的两点A、B与y轴交于点C，直线的解析式为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，过点P作轴于M，交于Q，求的最大值；
(3)当取最大值时，求的面积．
20．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）已知，二次函数与轴的一个交点为，且过和点．
(1)求a、b、c的值，并写出该抛物线的顶点坐标；
(2)将二次函数向右平移个单位，得到的新抛物线，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，若m是整数，请求出所有符合条件的新抛物线的解析式；
(3)已知M、P、Q是抛物线上互不重合的三点，已知P、Q的横坐标分别是，，点M与点P关于该抛物线的对称轴对称，求．
21．（2023·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴交于点，若点关于轴的对称点在一次函数的图象上．

(1)求的值；
(2)若一次函数与一次函数交于，且点关于原点的对称点为点．求过，，三点对应的二次函数表达式；
(3)为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点．
①当四边形为菱形时，求点的坐标；
②若点的横坐标为，当为何值时，四边形的面积最大？请说明理由．
22．（2023·内蒙古包头·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．

(1)求抛物线的解析式．
(2)点是第三象限抛物线上一点，直线与轴交于点，的面积为12，求点的坐标．
(3)在（2）的条件下，若点是线段上点，连接，将沿直线翻折得到，当直线与直线相交所成锐角为时，求点的坐标．
23．（2023·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标分别为、．抛物线交y轴于点C，顶点P在线段上运动．当顶点P与点A重合时，点C的坐标为．设点P的横坐标为m．

(1)求a的值．
(2)用含m的代数式表示点C的纵坐标，并求当m为何值时，点C的纵坐标最小，写出最小值．
(3)当点C在y轴的负半轴上且点C的纵坐标随m的增大而增大时，求m的取值范围．
(4)过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接．当的边与坐标轴有四个公共点时，直接写出m的取值范围．
24．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（-1 ，0），C（0，3）．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
25．（2023·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知二次函数y=ax2+4ax+b．

(1)求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；
(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(−1，e)，(−3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；
(3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当−2≤m≤1时，n的取值范围是−1≤n≤1，求二次函数的表达式．
26．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考二模）“樱花红陌上，邂逅在咸安”，为迎接我区首届樱花文化旅游节，某工厂接到一批纪念品生产订单，要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（）每件产品的成本价是y元，y与x之间关系为：，任务完成后，统计发现工人小王第x天生产产品P（件）与x（天）之间的关系如下图所示，设小王第x天创造的产品利润为W元．

(1)直接写出P与x之间的函数关系；
(2)求W与x之间的函数关系式，并求小王第几天创造的利润最大？最大利润是多少？
(3)最后，统计还发现，平均每个工人每天创造的利润为288元，于是，工厂制定如下奖励方案：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金，请计算，在生产该批纪念过程中，小王能获得多少元的奖金？
27．（2023·内蒙古鄂尔多斯·三模）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A、B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同．
(1)求A、B两种型号汽车的进货单价；
(2)销售中发现A型汽车的每周销量（台）与售价（万元/台）满足函数关系，B型汽车的每周销量（台）与售价（万元/台）满足函数关系，A型汽车的售价比B型汽车的售价高2万元/台．问A、B两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？
(3)疫情期间，该店店主为了保证每周的销售利润不低于24万元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定这两种汽车的销售价格？
28．（2023·内蒙古通辽·统考一模）清明是二十四节气之一，也是我国的传统节日，清明节吃青团是很多地方的习俗．清明节前市场上肉松蛋黄青团比芝麻青团的进价每盒便宜10元，某商家用800元购进的芝麻青团和用600元购进的肉松蛋黄青团盒数相同．在销售中，该商家发现芝麻青团每盒售价50元时，每天可售出100盒，当每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
(1)求芝麻青团和肉松蛋黄青团的进价；
(2)已知芝麻青团每盒的售价不高于65元，表示该商家每天销售芝麻青团的利润（单位；元），芝麻青团每盒售价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？
29．（2023·内蒙古包头·一模）某批发市场批发甲、乙两种水果，甲种水果的销售利润（万元）与进货量（吨）近似满足函数关系；乙种水果的销售利润（万元）与进货量（吨）近似满足函数关系（其中，，为常数），且进货量为吨时，销售利润为万元；进货量为吨时，销售利润为万元．
(1)求（万元）与（吨）之间的函数关系式；
(2)如果市场准备进甲、乙两种水果共吨，设乙种水果的进货量为吨，销售完毕，这两种水果所获最大利润是多少？
30．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品的销售工作，已知该商品的进价为元/件，售价为元/件，下面是他们在活动结束后的对话：
小丽：我发现此商品如果按元/件销售，每星期可卖出件．
小强：我发现在售价元/件的基础上调整价格，每涨价元，每星期比小丽所调查的销售量件要少卖出件．
小红：我发现在售价元/件的基础上调整价格，每降价元，每星期比小丽所调查的销售量件要多卖出件．
(1)若设每件涨价元，则每星期实际可卖出__________件，每星期售出商品的利润（元）与的关系式为__________，的取值范围是__________．
(2)若设每件降价元，则每星期售出商品的利润（元）与的关系式为__________．
(3)在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？
31．（2023·内蒙古呼和浩特·模拟预测）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．
(1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表，
售价x（元/件）


销售量（件）
100

①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值．
32．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考三模）科技发展飞速，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）．
(1)该商家每天想获得1250元的利润，又要让利于顾客，应将销售单价定为多少元？
(2)若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值．
33．（2023·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，若平分，求点P的坐标；
(3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
34．（2023·内蒙古包头·模拟预测）某景点投入40辆同型号电动代步车，准备成立代步车租赁公司，市运管所规定每辆代步车的日租金按10元的整数倍收取，但不得超过250元．经市场调研发现：当每辆代步车的日租金不超过150元时，40辆代步车可以全部租赁出去；当每辆代步车的日租金超过150元时，每增加10元，租赁出去的代步车数量将减少2辆．已知租赁出去的代步车每辆一天各项支出共需20元，没有租赁出去的代步车每辆一天各项支出共需10元，另外公司每天还需支出其他各项费用共1800元．
(1)若40辆代步车能全部租出，当每天总租金不低于总支出时，每辆代步车的日租金至少是多少元？
(2)求该代步车租赁公司一天的总利润最多是多少元？
35．（2023·内蒙古包头·模拟预测）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元．
(1)如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；
(2)求w与x之间的函数关系式；
(3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
36．（2023·内蒙古包头·模拟预测）某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．

(1)请求出y与x的函数关系式；
(2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？
37．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考二模）某公司分别在，两城生产同种产品，共100件．城生产产品的成本（万元）与产品数量（件之间具有函数关系，城生产产品的每件成本为60万元．
(1)当城生产多少件产品时，，两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？
(2)从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元件和3万元件；从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元件和2万元件．地需要90件，地需要10件，在（1）的条件下，怎样调运可使，两城运费的和最小？

参考答案：
1．C
【分析】先确定二次函数的顶点坐标为，然后求得关于x轴对称的二次函数为，再利用点平移的规律得到平移后的顶点坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可．
【详解】解：二次函数顶点坐标为，点关于x轴对称的点为，开口向下，
∴二次函数的图象关于x轴对称的二次函数为，
再向下平移2个单位长度的二次函数顶点为，
∴将二次函数的图象关于x轴对称后，再向下平移2个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：关于x轴对称的二次函数，a互为相反数，由于抛物线平移后形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可以利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，掌握平移规律是解题的关键．
2．B
【分析】根据图像判断二次函数中系数符号，根据对称轴判断的符号，根据点的坐标及函数最值等即可求解．
【详解】解：根据图示可知，，，
∵对称轴为，
∴，
∴①，正确；
②，故②错误；
∵二次函数（为常数，且）的图像经过点，
∴，故③正确；
∵函数的对称轴为，
∴当，，随的增大而减小，故④错误；
∵当时，函数有最大值，且最大值为，
∴对于任意实数，总有，即，故⑤正确；
综上所述，正确的有①③⑤，个，
故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质，对称轴的计算方法，函数最值的计算方法是解题的关键．
3．D
【分析】由抛物线解析式可求出其对称轴为直线，又可用m表示出点M和点N的坐标，且点M和点N关于直线对称，再分类讨论当变化时，轴与点，的相对位置，即可解答．
【详解】解：抛物线的对称轴为，
点，为图形上任意两点，，，
∴当时，，
当时，，
，为抛物线上关于对称轴对称的两点．
分类讨论当变化时，轴与点，的相对位置：
如图，当轴在点左侧时含点，

经翻折后，得到点，的纵坐标相同，，不符题意；
如图，当轴在点右侧时含点，

经翻折后，点，的纵坐标相同，，不符题意；
如图，当轴在点，之间时不含，，

经翻折后，点在下方，点，重合，在上方，，符合题意．
此时，
解得：．
综上所述，的取值范围为．
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．
4．D
【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；C、根据对称轴公式计算；D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
【详解】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），
得y＝6≠2，
∴A错误；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，
∵a＝﹣3＜0，
∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线x
∴C错误；
D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，
∴﹣3x2+3x+6＝3x，
∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，
∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
5．A
【分析】先求得a=1，推出，原式化简得，利用偶次方的非负性，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象经过P（1，3），
∴，
∴a=1，
∴二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象经过Q（m，n），
∴即，
∴


，
∵，
∴的最小值为1，
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法的应用，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，非负数的性质，利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．
6．D
【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．
【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．
7．D
【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．
【详解】解：①将二次函数向右平移2个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
②将二次函数向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
③将二次函数向下平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
④将二次函数沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
综上所述：正确的个数为4个；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
8．C
【分析】根据雅系点的概念令ax2-4x+c=x，即ax2-5x+c=0，由题意，△=（-5）2-4ac=0，即4ac=25，方程的根为，从而求得a=-1，c=-，所以函数y=ax2-4x+c+=-x2-4x-6，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．
【详解】解：令ax2-4x+c=x，即ax2-5x+c=0，
由题意，=（-5）2-4ac=0，即4ac=25，
又方程的根为，
解得a=-1，c=-，
故函数y=ax2-4x+c+=-x2-4x-6，
∵y=-x2-4x-6=-（x+2）2-2，
∴函数图象开口向下，顶点为（-2，-2），与y轴交点为（0，-6），由对称性，该函数图象也经过点（-4，-6）．
由于函数图象在对称轴x=-2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y=-x2-4x-6的最小值为-6，最大值为-2，
∴-4≤m≤-2，

故选：C．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．
9．C
【分析】由表格知，当x=0时及x=2时的函数值都是0.5，根据公式求出函数的顶点横坐标，再利用函数的性质即可判断①正确；将x=-1时y=-1，x=1时y=1代入解析式即可判断②正确；由满足得函数图象与x轴的交点坐标为（，0），根据抛物线的对称性及表格判断③正确；根据二次函数y=ax2+bx+c经过（-1，-1），顶点是（1，1），求出抛物线的解析式，利用一元二次方程根的判别式判断④错误．
【详解】解：由表格知，当x=0时及x=2时的函数值都是0.5，
∴函数的顶点横坐标为，
在表格中，当x1时y随x的增大而减小，
∴函数有最大值，且最大值为1，故①正确；
∵当x=-1时y=-1，x=1时y=1，
∴a-b+c=-1，a+b+c=1,
得b=1，故②正确；
由满足得函数图象与x轴的交点坐标为（，0），
由抛物线的对称性可知，当x=3时y=-1，
由表格知y=0时-1d；当a>0时，e=f< cd；
当a>0时，画出草图如图：

∴e=f< c