2023年内蒙古九年级数学中考模拟题分项选编：锐角三角函数(含解析)

这是一份2023年内蒙古九年级数学中考模拟题分项选编：锐角三角函数(含解析)，共47页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年内蒙古九年级数学中考模拟题分项选编：锐角三角函数

一、单选题
1．（2023·内蒙古赤峰·统考三模）如图，由边长为的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（    ）
  
A． B． C． D．
2．（2023·内蒙古包头·二模）如图，在矩形中，是对角线，，垂足为，连接．若，则的值为（    ）
  
A． B． C． D．
3．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考二模）如图，在中，，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点P，作射线交于点D，若，则的值为（    ）．

A． B． C． D．
4．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）某车库出口安装的栏杆如图所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝1.18米，AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（　　）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

A． B． C． D．

二、填空题
5．（2023·内蒙古包头·统考二模）如图，点在等边的边上，，将绕点逆时针旋转得到，其中点的对应点为点，点的对应点为点的延长线与的延长线相交于点，则的值为________．
  
6．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）如图，与x轴交于点，，与y轴的正半轴交于点C．若，则的值为____．

7．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考一模）如图，点，将线段平移得到线段，若，则点的坐标是_______．

8．（2023·内蒙古通辽·统考一模）如图，点E是斜边AC上一点，，将沿BE翻折，得到，再在AC边上取点F，使点C关于BF的对称点恰好落在上，连接，当是直角三角形时，AE的长是_______．


三、解答题
9．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考二模）计算：．
10．（2023·内蒙古包头·统考二模）如图，在正方形中，，分别是，边上的点，连接，，，是上一点．
  
(1)如图，连接，当，，时，求的度数；
(2)如图，连接，与相交于点，当，时：
①求的值；
②若，，求的长．
11．（2023·内蒙古鄂尔多斯·三模）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中x满足．
12．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考一模）计算：；
13．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考二模）先化简，再求值：，其中．
14．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）计算求解
(1)计算：；
(2)先化简，再求值：，其中．
15．（2023·内蒙古呼和浩特·模拟预测）（1）计算；
（2）解不等式组．
16．（2023·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在中，，点在上，作，使与相切于点，与交于点，过点作，交的延长线于点，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的值．
17．（2023·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．

(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BE＝6，试求cos∠CDA的值．
18．（2023·内蒙古通辽·统考一模）计算：．
19．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考二模）计算：．
20．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考二模）如图1，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点．

（1）求二次函数的表达式；
（2）过点作轴分别交线段，抛物线于点，，连接．当时，求的面积；
（3）如图2，将线段绕点逆时针旋转90得到线段．
①当点在抛物线上时，求点的坐标；
②点在抛物线上，连接，当平分时，直接写出点P的坐标．
21．（2023·内蒙古通辽·统考一模）如图，AB是的直径，AC是的一条弦，点P是上一点，且PA=PC，PD//AC，与BA的延长线交于点D.
（1）求证:PD是的切线；
（2）若tan∠PAC= ，AC = 12.求直径AB的长.

22．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考二模）如图，在中，弦与弦相交于点G，于点E，过点B的直线与的延长线相交于点F．
  
(1)若，求证：是的切线．
(2)连接，若，，求的半径．
23．（2023·内蒙古包头·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，点的坐标是，点的坐标是，与轴交于点，是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点．
  
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，若线段将分成面积比为两部分，求点的坐标；
(3)如图2，连接，是否存在点，使得．若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2023·内蒙古包头·统考二模）如图，是⊙的两条切线，是切点，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，交⊙于点，连接．
  
(1)求证：；（用两种证法解答）
(2)若，试探究与之间的数量关系，写出并证明你的结论．
25．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考一模）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，（，，在同一条直线上）．根据以上数据，求灯管支架的长度（结果精确到，参考数据：）．

26．（2023·内蒙古通辽·统考一模）某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为．

(1)求坡顶到地面的距离；
(2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，）
27．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）如图，某测量小组为了测量山的高度，在地面处测得山顶的仰角，然后沿着坡角为（即）的坡面走了米到达处，此时在处测得山顶的仰角为，求山高（结果保留根号）

28．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考三模）如图，某社区一建筑物上，悬挂“创文明小区，建和谐社会”的宣传条幅，小明站在位于建筑物正前方的台阶点处测得条幅顶端的仰角为，朝着条幅的方向走到台阶下的点处，测得条幅顶端的仰角为，已知台阶的坡度为，米，则条幅的长度为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据，，，）

29．（2023·内蒙古包头·统考一模）阅读下面的材料，并回答所提出的问题：如图所示，在锐角三角形中，求证：
这个三角形不是一个直角三角形，不能直接使用锐角三角函数的知识去处理，所以必须构造直角三角形，过点A作，垂足为D，则在和中由正弦定义可完成证明．
解：如图，过点A作，垂足为D，
在中，，则
中，，则
所以，即

(1)在上述分析证明过程中，主要用到了下列三种数学思想方法的哪一种（　　）
A、数形结合的思想；B、转化的思想；C、分类的思想
(2)用上述思想方法解答下面问题．
在中，，求和的面积．
(3)用上述结论解答下面的问题（不必添加辅助线）
在锐角三角形中，，求的度数．
30．（2023·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知支架与支架所成的角，点A、H、F在同一条直线上，支架段的长为1米，段的长为1.50米，篮板底部水平支架的长为0.75米，篮板顶端F到地面的距离为4.4米．

(1)求篮板底部支架与支架所成的角的度数．
(2)求底座的长．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，，
31．（2023·内蒙古通辽·统考一模）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．求证：BD⊥CF；
(3)在（2）小题的条件下， AC与BG的交点为M， 当AB=4，AD=时，求线段CM的长．
32．（2023·内蒙古鄂尔多斯·三模）图1、图2分别是某型号拉杆箱的实物图与示意图，小张获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．
（1）求AC的长度：
（2）直接写出拉杆端点A到水平滑杆ED所在直线的距离 cm．

33．（2023·内蒙古赤峰·统考三模）两栋居民楼之间的距离米，楼和均为层，每层楼高米．
(1)上午某时刻，太阳光线与水平面的夹角为，此刻楼的影子落在楼的第几层？
(2)当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，楼的影子刚好落在楼的底部．


参考答案：
1．D
【分析】首先根据圆周角定理的推论可知，，然后在中，根据锐角三角函数的定义求出．
【详解】解：如图，连接、．
  
和所对的弧长都是，
根据圆周角定理的推论知，．
∵为直径，
∴,
在中，根据锐角三角函数的定义知，
，
，，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，解答本题的关键是利用圆周角定理的推论把求的余弦值转化成求的余弦值，本题是一道比较不错的习题．
2．C
【分析】过C作于F，设，根据矩形的性质和含30度角的直角三角形的性质求得，，，在中，利用勾股定理求得，然后根据余弦定义求解即可．
【详解】解：过C作于F，则，设，
  
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
则，
在中，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及余弦定义，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键．
3．B
【分析】过D点作于G点，根据角平分线的性质有，在中，，即有 ，则可得，进而在中，有，再证明，问题得解．
【详解】过D点作于G点，如图，

根据作图可知：平分，
∵，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，解直角三角形，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，掌握角平分线的性质定理，是解答本题的关键．
4．A
【分析】延长BA、FE，交于点D，根据AB⊥BC，EF∥BC知∠ADE=90°，由∠AEF=143°知∠AED=37°，根据sin∠AED，AE=1.2米求出AD的长，继而可得BD的值，从而得出答案．
【详解】如图，延长BA、FE，交于点D．

∵AB⊥BC，EF∥BC，
∴BD⊥DF，即∠ADE=90°．
∵∠AEF=143°，
∴∠AED=37°．
在Rt△ADE中，
∵sin∠AED，AE=1.2米，
∴AD=AE•sin∠AED=1.2×sin37°≈0.72(米)，
则BD=AB+AD=1.18+0.72=1.9(米)．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，并熟练掌握正弦函数的概念．
5．
【分析】由旋转的性质得到，，，由直角三角形的性质求得的长，由相似三角形的判定与性质可求的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作于点H，过点E作于点N，
  
为等边三角形，，
，
，
，
将绕点逆时针旋转得到，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
解得，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，添加正确的辅助线是解题的关键．
6．
【分析】连接，，，过点作于，于，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，由垂径定理得到，解直角三角形得到，，根据勾股定理得到的长，进而求出的长，再根据正切的定义求解即可．
【详解】解：连接，，，过点作于，于，

，
，
，
，
，，

，
，
，，，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
在中，，即
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
7．
【分析】如图：过D作；由可得；再根据平移的性质可得四边形是平行四边形，再结合可得四边形是矩形，即；然后再说明，再利用三角函数可求得,进而求得即可解答．
【详解】解：如图：过D作于点E，
∵，
∴,
∵将线段平移得到线段，
∴,
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴点的坐标是．
故答案为．

【点睛】本题主要考查了三角函数的应用、矩形的判定与性质、平移的性质等知识点，灵活利用三角函数列式求解是解答本题的关键．
8．或
【分析】由题意，可知当是直角三角形时，可分和两种情况进行讨论．
【详解】在中，．
由轴对称的性质，可得，
∴．
①当时，点在AC上，如解图1所示，
则，
解得，
②当时，如解图2所示，
则，
解得，
综上所述，AE的长是或．

故答案为：或．
【点睛】本题考查了解直角三角形，轴对称的性质，熟练运用直角三角形的边角关系是解题的关键．
9．3
【分析】根据零指数幂、负指数幂、有理数的乘法、特殊角的三角函数值的运算法则，进行计算即可得到答案．
【详解】解：


．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂、负指数幂、有理数的乘法、特殊角的三角函数值的运算法则，是解题的关键．
10．(1)20°
(2)①2；②

【分析】（1）由正方形的性质得，，可证明，得，则，所以；
（2） 设正方形ABCD的边长为m，则，，，所以，可证明，得，，再证明，则；
②连接GF，先证明得，再证明得，由，得，则，再推导所以 ，则，所以垂直平分，根据勾股定理得，则，即可求得．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
的度数是．
（2）设正方形的边长为，则，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
的值是．
如图，连接，
  
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点、点都在的垂直平分线上，
垂直平分，
，，
，
，
的长是．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、根据等面积法求线段的长度等知识与方法，灵活运用所学知识是解题的关键．此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
11．（1）；（2），
【分析】（1）首先计算特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，绝对值，化简二次根式，然后计算加减即可求解；
（2）首先利用分式的混合运算法则化简，然后解方程求出x的值，最后代入求解即可．
【详解】解：（1）


；
（2）




∵
∴

∴解得
∴将代入．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，分式的化简求值等知识，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
12．12
【分析】根据二次根式的性质，零次幂，负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，进行计算即可求解．
【详解】解：

．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质，化简绝对值，零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值是解题的关键．
13．，原式
【分析】先算括号里面的，再算除法，根据特殊角的三角函数值先得出，再代入即可．
【详解】解：
当时，原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握基础知识是解题的关键．
14．(1)；
(2)，．

【分析】（1）根据负整数指数幂、锐角三角函数、零指数幂和绝对值可以解答本题；
（2）先化简式子，再将x的值代入即可解答本题．
【详解】（1）解：


；
（2）解：


，
当时，原式．
【点睛】本题考查含有特殊角的三角函数的混合运算以及分式的化简求值，解题的关键是明确分式化简求值的方法以及熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
15．（1）4；（2）
【分析】（1）先根据有理数的乘方，绝对值，特殊角的三角函数值和二次根式的性质进行计算，再算加减即可；
（2）先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求出不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）


；
（2） ，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴等式组的解集是．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算和解一元一次不等式组等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解（2）的关键．
16．(1)见解析
(2)

【分析】（1）由平行线的性质得，证，则是的角平分线，再由切线的性质得，然后由角平分线的性质得，即可得出结论；
（2）由（1）知是的直径，求出，，再由勾股定理得，然后证，求出，然后由锐角三角函数定义求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
是的角平分线，
与相切于点，
是的半径，，
，
，
，
点在上，
，
是的切线；
（2）解：由（1）知：，是的半径，
是的直径，
，
，，
在中，
由勾股定理得：，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握切线的判定与性质，证明是解题的关键．
17．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠BDE+∠ADC＝90°，根据等腰三角形的性质以及对顶角相等可得∠ECB＝∠ADC，然后根据等腰三角形的性质可得∠E＝∠BDE，从而可得∠E+∠BCE＝90°，最后利用三角形内角和定理可得∠EBC＝90°，即可解答；
（2）设⊙O的半径为r，则AC＝AD＝3+r，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出r＝5，从而求出BC＝2，然后在Rt△EBC中，根据勾股定理可求出EC的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDE+∠ADC＝90°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACD＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠ADC，
∵EB＝DB，
∴∠E＝∠BDE，
∴∠E+∠BCE＝90°，
∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵OC＝3，
∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r，
∵BE＝6，
∴BD＝BE＝6，
在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，
∴36+（r+3）2＝（2r）2，
∴r1＝5，r2＝﹣3（舍去），
∴BC＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，
在Rt△EBC中，EC＝＝＝2，
∴cos∠ECB＝＝＝，
∴cos∠CDA＝cos∠ECB＝，
∴cos∠CDA的值为．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
18．
【分析】根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算．
【详解】解：

．
【点睛】此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
19．-3
【分析】根据特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等运算法则计算即可．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等知识点，熟知相关运算法则是解题的关键．
20．（1）；（2）；（3）①或；②或．
【分析】（1）根据点的坐标以及已知条件，将的坐标代入即可求得的值，进而求得抛物线的解析式；
（2）依题意根据（1）的解析式求得的坐标，进而求得，据此求得，根据进而求得的坐标，根据即可求得的面积；
（3）①过作轴，分点在轴上方和下方两种情况讨论，证明，设，将点的坐标代入（1）中抛物线解析式中即可求得点的坐标情形2，方法同情形1；
②分当不平行于轴和轴两种情况讨论，当当不平行于轴时，过点作交于点,过点作于点，证明进而可得的坐标，当轴时，结合已知条件即可求得的坐标．
【详解】（1）二次函数的图象经过

解得


（2）由，令
解得


当时，

,则
；
（3）如图，当点在轴下方时，过点作于点，

由，令，
解得
，
，
将线段绕点逆时针旋转90得到线段，





，，
设，


点在抛物线上，

解得（舍）

当点在轴上方时，如图，

过点作于点，设
同理可得


点在抛物线上，

解得（舍去），

综上所述，或；
②当不平行于轴时，过点作交于点,过点作于点，如图，

平分，，
，
,
，








当不平行于轴时，重合，
，


当轴时，如图，

此时
则
综上所述，当平方时，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，正切的定义，三角形全等的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
21．（1）证明过程见解析；（2）AB=13，过程见解析
【分析】（1）连接OP，因为PDAC，两直线平行内错角相等，且PA=PC，可得∠DPA =∠PAC=∠PCA=∠PBA，又因为直径所对圆周角为直角，故∠APO+∠OPB=90°，其中∠OPB=∠OBP，即可证得∠DPO=90°，即PD为⊙O的切线；
（2）作PEAC，在等腰PAC中，三线合一，PE既为高线，也为AC边的中垂线，已知tan∠PAC=，AC=12，用勾股定理可得AP的长度，且∠PAC=∠PBA，故PB的长度也可算得，再用勾股定理即可求得AB的长度．
【详解】解：（1）如图所示，连接OP，

∵PDAC，
∴∠DPA =∠PAC（两直线平行，内错角相等），
又∵PA=PC，故PAC为等腰三角形，∠PAC=∠PCA，∠PAC是所对圆周角，∠PCA是所对圆周角，
∴=，且∠PBA是所对圆周角，故∠PAC=∠PCA=∠PBA，
∵AB是⊙O的直径，直径所对圆周角为直角，
∴∠APB=90°，故∠APO+∠OPB=90°，
又∵OP=OB，故OPB为等腰三角形，∠OPB=∠OBP，
∴∠APO+∠DPA=90°，即∠DPO=90°，
∴PD为⊙O的切线；
（2）如下图所示，作PEAC，

∵PA=PC，故PAC为等腰三角形，等腰三角形三线合一，PE既为高线，也为AC边的中垂线，已知AC=12，
∴AE=6，且tan∠PAC==，故PE=4，
由勾股定理可得：，
由（1）已证得∠PAC=∠PCA=∠PBA，故tan∠PBA=，
∴，故，
由勾股定理可得：．
【点睛】本题考查了等边对等角、等腰三角形三线合一、平行线间的性质、同弧所对圆周角相等、勾股定理，解题的关键在于应用等边对等角及平行线性质，证得图形中的相等角，利用角的代换来做题．
22．(1)证明见解析
(2)2

【分析】（1）先根据可得，再根据可得，从而可得出，即，然后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）如图所示，连接，由圆周角定理得到，由垂径定理得到，再解直角三角形求出，则的半径为2．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
，
∴，即，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为2．
  
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，等边对等角等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23．(1)
(2)或
(3)存在，

【分析】（1）利用待定系数法，将点，的坐标代入求解．
（2）设出点的坐标，易得，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解．
（3）在轴负半轴上取点，使得，连接，证明，设出点坐标，由计算求解．
【详解】（1）解：抛物线经过点，，
，
解得．
该抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线与轴交于点，且当时，，
．
设直线的解析式为．
直线经过点，，
，
解得．
直线的解析式为．
设点，则，．
．
轴，
，
又线段将分成面积比为两部分，
或．
或，
即，或，
解得或．
点的坐标为或
（3）解：存在点，使得，理由如下：
在轴负半轴上取点，使得，连接，如图．
  
设点的坐标为，
则，．
在中，，
，
解得，
，
．
，
，
，
，
．
，
即，
即，
设，
则，
解得或（舍去）．
存在点，当点的横坐标为时，．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角函数的应用等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)，见解析

【分析】（1）证法一：如图．连接．利用切线的性质证明（），进而可得结论；证法二：如图．连接与相交于点．证明直线是线段的垂直平分线，结合等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）如图，连接．由切线的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质证明，为等边三角形，即可得出结论．
【详解】（1）证法一：如图．连接．
    
是的切线，是切点，
．
在与中，
，，
（），
．
证法二：如图．
    
连接与相交于点．
是的切线，是切点，
．
，
，即，
，
∴点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线，即垂直平分．
，
．
（2）．
证明：如图．连接．
是的切线，是切点，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
．
．
在中，，
，
∵，
为等边三角形，
，
，
，
．
    
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，具有一定的综合性，但难度不大，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键．
25．
【分析】延长交于点，先解求出，再解求出，再证明是等边三角形，则．
【详解】解：延长交于点，
在中，，
∵，
，
，
，
在中，，
∴，

中，
，
，
是等边三角形，

答：灯管支架的长度约为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等边三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
26．(1)10米
(2)25米

【分析】（1）过点作，垂足为，根据已知可，从而可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）延长交于点，根据题意可得：米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义可，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，

斜坡的坡度为：，
，
设米，则米，
在中，（米），
米，
，
，
米，米，
坡顶到地面的距离为米；
（2）解：延长交于点，

由题意得：米，，
设米，则米，
在中，，
（米），
米，
在中，，
，
，
，
解得：，
（米），
联通信号发射塔的高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
27．米．
【分析】作于．解直角三角形分别求出、即可解决问题
【详解】解：作于．

∵，米，
（米，
，
四边形是矩形，
（米，
，，
，
，，
，
，，
，
（米，
在中，，
（米，
（米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
28．米
【分析】要求的长，只要构造出直角三角形，利用锐角三角函数进行求解即可，过点D作于点F，然后根据题目中的数量关系，可以表示出关于的等式，从而可以得到的值．
【详解】解：过点D作于点F，如图，

由题意得，
∵台阶的坡度为，米，
∴米，
∵米，，
∴，
即，
又∵米，，
∴，
即，
∴，
解得米，
∴条幅的长度为米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，构造合适的直角三角形，利用锐角三角函数进行解答．
29．(1)B
(2)
(3)

【分析】（1）题中给出的解题的过程是通过构建直角三角形，将条件进行转化而得出的结果，因此应该选B；
（2）作于D，在直角三角形中求出和的长，进而求出的长，然后根据勾股定理即可求出的长，根据三角形的面积公式可求出的面积；
（3）可将的值代入题目给出的等量关系中求出的值，进而可求出的度数．
【详解】（1）由求解过程可知主要用到了转化的思想
故选：B；
（2）过A作于D，在直角三角形中，，
∴，
∴，
直角三角形中，根据勾股定理可得，
，
；

（3）由题意可得：＝，
即：，
∴sinB＝，
∴．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的知识，勾股定理，本题的重点是要学会题中给出的作辅助线的方法．
30．(1)
(2)0.6米

【分析】（1）根据锐角三角函数即可求出结果；
（2）延长交的延长线于，过作于，，可得，然后根据锐角三角函数，（米），进而可得底座的长．
【详解】（1）解：由题意可得：，
则；
（2）解：延长交的延长线于，过作于，
，
，
在中，
，，
，
（米），
（米），
（米），
在中，
，
（米），
答：底座的长0.6米．

【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
31．(1)成立，见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）根据等腰直角三角形及正方形的性质可得，，，利用各角之间的数量关系可得，依据全等三角形的判定和性质即可证明；
（2）设BG交AC于点M，由（1）中结论可得 ，利用相似三角形的判定和性质可得，，由此即可证明；
（3）过点F作于点N，由正方形性质及勾股定理可得，，根据等腰三角形及勾股定理可得，利用正切函数得出，，结合图形，由各线段间的数量关系即可得．
【详解】（1）解：成立．
理由：∵是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴，，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：设BG交AC于点M，如图所示：

由（1）可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点F作于点N，

∵在正方形中，，
∴，
∴，
∵在等腰直角 中，，
∴，，
∴在中，，
∴在中，，
∴，
∴．
【点睛】题目主要考查等腰三角形及正方形的性质，全等三角形及相似三角形的判定和性质，勾股定理，正切函数等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
32．（1）（40+40）cm；（2）（20）cm．
【分析】（1）过点F作FG⊥DE于点G，分别利用三角函数求出FG和DG，然后求出CD，进而求出CE，即可求出DE，最后根据AC＝2DE即可求出AC；
（2）作AH⊥ED延长线于H，根据AH＝AC·sin45°求出AH即可．
【详解】解：（1）过点F作FG⊥DE于点G，
∴∠FGD＝∠FGC＝90°，
在Rt△DGF中，
∵∠CDF＝30°，
∴FG＝FD•sin30°＝30×＝15（cm），
∴DG＝FD•cos30°＝30×＝15（cm），
在Rt△CGF中，
∵∠DCF＝45°，
∴CG＝FG＝15（cm），
∴CD＝CG+DG＝15+15（cm），
∵CE：CD＝1：3，
∴CE＝CD＝×（15+15）＝5+5（cm），
∴DE＝EC+CD＝5+5+15+15＝20+20（cm），
∵DE＝BC＝AB，
∴AC＝AB+BC＝2DE＝2×（20+20）＝40+40（cm），
即AC的长度为（40+40）cm．
（2）作AH⊥ED延长线于H，
在Rt△AHC中，
∵∠ACH＝45°，
∴AH＝AC•sin45°＝（40+40）×＝20+20（cm），
故答案为：（20）．

【点睛】本题考查了解直角三角形应用题，一般步骤为（1）弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型（2）将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题．当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形．（3）寻找直角三角形，并解这个三角形．
33．(1)此刻楼的影子落在楼的第层；
(2)当太阳光线与水平面的夹角为度时，楼的影子刚好落在楼的底部．

【分析】（1）延长，交于点，过作于，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可；
（2）连接，利用利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．
【详解】（1）解：延长，交于点，过作于，

由图可知，，
∵，
在中，≈，
≈，
答：此刻楼的影子落在楼的第层；
（2）解：连接，∵，
∴，
答：当太阳光线与水平面的夹角为度时，楼的影子刚好落在楼的底部．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，难度一般，解答本题的关键是利用利用直角三角形的性质和三角函数解答．