湖南省长沙市2023届九年级下学期中考模拟（二）数学试卷(含解析)

绝密★启用前

2023年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（二）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在数轴上表示下列四个数：，，，，则距离原点最远的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  碳纳米管是一种一维量子材料，与传统金属、高分子材料相比，碳纳米管的电、热力学性能优异，凭借突出性能，碳纳米管逐渐成为场发射电子源中最常用的纳米材料，我国已具备研制直径为米的碳纳米管数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，直线，平分，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，点，，都在上，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图是由个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在空白部分的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  “喜迎二十大，永远跟党走，奋进新征程”在中国共产主义青年团成立周年之际，为响应共青团中央号召，长沙某校团委开展了“青年大学习”活动为了解学习情况，学校随机抽取了部分学生进行了问卷调查，统计了他们在某一个月的学习时长，整理成如下表格：

则关于这组数据的结论正确的是(    )

A. 中位数是 B. 众数是
C. 平均数是 D. 学习时长的人数占

8.  如图，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，菱形的面积为，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  九章算术中记载：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤问玉、石重各几何？大意是：若有玉立方寸，重两；石立方寸，重两今有石为棱长寸的正方体体积为立方寸，其中含有玉，总重斤注：斤两问玉、石各重多少？若设玉重两，石重两，则可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在正方形中，按如下步骤作图：连接，相交于点；分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点；连接交于点；连接交于点若，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  分解因式： ______ ．

12.  已知近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例关系，且度近视眼镜镜片的焦距为米小慧原来戴度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为米的眼镜了，则现在小慧所戴的眼镜为______ 度

13.  某校举行了“珍爱生命，预防漏水”为主题的演讲比赛，提高学生的安全意识演讲者的最终比赛成绩按照演讲内容、现场效果、外在形象三项得分分别占，，的比例折算已知李明同学的三项原始得分分别是分，分，分，那么李明同学最终比赛成绩为______ 分

14.  如图，在▱中，，与它的边，相切，射线交边于点当，时，的长等于______ ．

15.  为了健康和环保，某超市提供了一种尖底圆锥形纸杯供顾客饮水，如图所示经过测量，纸杯口的直径为，母线长为，则生产个这种纸杯需要原纸______ 结果保留

16.  如图，点是矩形的边的中点，点是边上的动点，将矩形沿折叠，点，的对应点分别是点，，且点在矩形内部，过点作分别交，于点，，连接．
若，则 ______ ；
若，，当，，三点在同一条直线上时，的长为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，在网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别是，，．
在坐标平面内画，使得≌，且点在第一象限，并写出点的坐标；
在坐标平面内画关于成轴对称的，并直接写出四边形的周长．

20.  本小题分
大数据时代下初中生信息素养的提升，是实施国家信息化战略、参与国际市场上人才竞争的一项基础性工程，某校为了解本校学生信息素养情况，从本校全体学生中，随机抽取部分学生，进行了在线测试，并将测试成绩满分分收集，分成五组用分表示：组为“”，组为“”，组为“，组为“”，组为“”将收集的数据整理后，绘制了如下两幅不完整的统计图．

这次调查的样本容量是______ ， ______ ，请补全条形统计图；
在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角度数是多少度？本次调查成绩合格的学生人数所占的百分比是多少？注：成绩大于或等于分为合格
若该校学生有人，请你估计该校学生信息素养水平不低于分的学生人数，并对该校学生的信息素养提升提出合理化建议．

21.  本小题分
如图，将沿着直线向右平移，得到，点，，的对应点分别是点，，，且点是边的中点．
求证：与互相平分；
连接，当，时，求四边形的面积．

22.  本小题分
年秋季，中小学开始实施义务教育劳动课程标准年版，传递了“双减”背景下加强劳动教育的鲜明信号，某校准备利用学校劳动实践基地，开展劳动教育现欲购进甲、乙两种菜苗供学生栽种已知用元购进甲种菜苗的数量比用元购进乙种菜苗的数量多棵，单独购一棵甲种菜苗和一棵乙种菜苗共需元．
求购进一棵甲种菜苗和一棵乙种菜苗各需要多少元；
学校准备购进两种菜苗共棵，甲种菜苗不少于棵，不多于棵，则购买总费用最少需要多少元？

23.  本小题分
如图，点，，是上三点，且点是弦所对优弧的中点，过点作．

如图，求证：是的切线；
如图，作射线交于点，交于点，交直线于点，当，时，求的值．

24.  本小题分
定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”．

如图，在中，，是上任意一点，则与 ______ “融通三角形”；填“是”或“不是”
如图，与是“融通三角形”，其中，，，则 ______ ．
若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数．
如图，在四边形中，对角线，，，，且与是“融通三角形”，，求的长．

25.  本小题分
如图，二次函数与轴相交于点，，点在轴负半轴，过点的直线交该抛物线于另一点，交轴正半轴于点．

如图，若，求该抛物线的解析式；
如图，若点是线段上一点，当时，求点的坐标用含的代数式表示；
如图，在的条件下，设抛物线交轴于点，过，，三点作，经过点的直线交于点，，交抛物线于点，当时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

解析：解：，，，，
，
距离原点最远的数是，
故选：．
先求出绝对值，再根据有理数的大小比较法则比较大小，再得出答案即可．
本题考查了实数与数轴，绝对值，估算无理数的大小等知识点，能求出每个数的绝对值是解此题的关键．
 

2.【答案】 

解析：解：，故此选项不合题意；
B.无法合并，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用二次根式的加减运算法则以及合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方法则分别判断得出答案．
此题主要考查了二次根式和整式的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

解析：解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

解析：解：，，
，
平分，
，
，
，
故选：．
先利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，然后再利用平行线的性质进行计算，即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

解析：解：，，
，
，
．
故选：．
由，，根据等腰三角形的性质，可求得的度数，继而求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数．
此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

6.【答案】 

解析：解：由图知，空白部分的面积占图案面积的，即这个点取在空白部分的概率是．
故选：．
根据空白部分的面积所占比例得出概率即可．
本题考查几何概率．熟练掌握几何概率的计算方法，是解题的关键．
 

7.【答案】 

解析：解：从频数率分布表可得这组数据的中位数为，无法得到众数，
这组数的平均数组中值为，
学习时长的人数占．
故选：．
从频数率分布表得出这组数据，再分别计算这组数据的平均数，中位数，众数，进而得出结论即可．
本题考查频数率分布表，平均数、中位数、众数，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是得出正确答案的前提．
 

8.【答案】 

解析：解：在菱形中，，
，
菱形的面积为，点在轴的正半轴上，
的面积为，
的面积为，
，
，
，
．
故选：．
根据菱形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，根据菱形的面积可得的面积，根据反比例函数系数的几何意义可得的值．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，菱形的性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义和菱形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

解析：解：石头总重斤，
，即；
石头的体积为立方寸，
．
根据题意可列出方程组．
故选：．
根据石头的总重及体积，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

10.【答案】 

解析：解：四边形是正方形，
，，，
，
，
由作图可知垂直平分线段，
，
，
，，
，
．
故选：．
证明，，求出，可得结论．
本题考查正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

11.【答案】 

解析：解：


．
故答案为：．
根据平方差公式分解因式，再得出答案即可．
本题考查了分解因式，能熟练掌握分解因式的方法是解此题的关键，分解因式的方法有提取公因式法，公式法，十字相乘法等．
 

12.【答案】 

解析：解：设函数的解析式为，
度近视眼镜镜片的焦距为米，
，
解析式为，
当时，，
小慧原来戴度的近视眼镜，
小慧所戴眼镜的度数降低了度．
故答案为：．
设函数的解析式为，由时，可求，进而可求函数关系式，然后求得焦距为米时的眼镜度数，相减即可求得答案．
本题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数的解析式是解答本题的关键．
 

13.【答案】 

解析：解：李明的最终成绩为分，
故答案为：．
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
 

14.【答案】 

解析：解：如图，过分别作于，于，
与它的边，相切，
，
平分，
，
四边形为▱，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
如图，过分别作于，于，利用切线的性质证明平分，然后利用平行线的性质可以证明，最后利用等腰三角形的判定即可求解．
此题主要考查了切线的性质，同时也利用了平行四边形的性质及等腰三角形的判定，有一定的综合性．
 

15.【答案】 

解析：解：纸杯口的直径为，
纸杯口的周长为，
母线长为，
纸杯展开后所得扇形的面积，
生产个这种纸杯需要原纸为
故答案为：．
先求出纸杯口的周长，再求出纸杯展开后所得扇形的面积，再求出答案即可．
本题考查了圆锥的计算，能熟记弧长公式和扇形的面积公式是解此题的关键，已知扇形的圆心角为，半径为，那么扇形所对弧的长度，扇形的面积．
 

16.【答案】   

解析：解：将矩形沿折叠，点，的对应点分别是点，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
如图，

点是矩形的边的中点，
，
，，
，
，
，
将矩形沿折叠，点，的对应点分别是点，，
，
，
，
，
过作于，
则四边形是矩形，，
，，
，
故答案为：．
根据折叠的性质得到，，求得，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形外角的性质即可得到结论；
如图，根据线段中点的定义得到，根据勾股定理得到，求得，过作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

解析：分别根据绝对值的性质、零指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则计算出各数即可．
本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质、零指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

18.【答案】解：



，
当时，原式． 

解析：先化简括号内的式子，然后计算括号外的除法，最后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：≌，
，．
如图，即为所求．
点坐标为．
如图，即为所求．
由勾股定理得，，，
四边形的周长为． 

解析：根据已知条件可得，点满足，，由此可得点的位置，即可得出答案．
根据轴对称的性质作图即可，再利用勾股定理可得答案．
本题考查作图轴对称变换、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解答本题的关键．
 

20.【答案】   

解析：解：这次调查的样本容量是，
组人数为人，
所以，即，
补全条形图如下：

故答案为：，；
组所在扇形的圆心角度数，
本次调查成绩合格的学生人数所占的百分比是；
人，
答：估计该校学生信息素养水平不低于分的学生人数大约为人，建议学校加大对学生的信息素养提升力度，把学生信息素养水平提高一个层次．
用组的人数除以组所占百分比可得样本容量；用样本容量分别减去其他四组的人数，可得组人数，再用组人数除以样本容量，可得的值；根据组人数补全条形统计图即可；
用乘组所占比例可得组所在扇形的圆心角度数；用样本中成绩合格的学生人数除以样本容量可得本次调查成绩合格的学生人数所占的百分比；
用该校学生人数乘样本中不低于分的学生人数所占比例解答即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】证明：如图，连接、，

由平移的性质得：，，
点是边的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
与互相平分；
解：由平移的性质得：，，
四边形是平行四边形，
，
如图，过作于点，

设，则，
在和中，，，
，
解得：，
，
，
，
． 

解析：连接、，证四边形是平行四边形，即可得出结论；
证四边形是平行四边形，得，过作于点，设，则，在和中，由勾股定理得出方程，求出，然后由梯形面积公式列式计算即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、平移的性质、勾股定理以及梯形面积公式等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：设购进一棵甲种菜苗需要元，则购进一棵乙种菜苗需要元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
经检验，，均为所列方程的解，符合题意，不符合题意，舍去，
．
答：购进一棵甲种菜苗需要元，一棵乙种菜苗需要元；
设购进甲种菜苗棵，购买总费用为元，则购买乙种菜苗棵，
根据题意得：，
即．
，
随的增大而减小，
又，
当时，取得最小值，最小值为．
答：购买总费用最少需要元． 

解析：设购进一棵甲种菜苗需要元，则购进一棵乙种菜苗需要元，利用数量总价单价，结合用元购进甲种菜苗的数量比用元购进乙种菜苗的数量多棵，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出购进一棵甲种菜苗所需费用，再将其代入中，即可求出购进一棵乙种菜苗所需费用；
设购进甲种菜苗棵，购买总费用为元，则购买乙种菜苗棵，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

23.【答案】证明：如图，连接，，，
点是弦所对优弧的中点，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：如图，连接，并延长交于，
，，
，
，
，∽，
，
，
，
∽，
，
，

． 

解析：连接，，，可以证明≌，得到，应用等腰三角形的性质得到，由，即可解决问题；
连接，并延长交于，由相似三角形的性质得到，由锐角的正弦定义即可求解．
本题考查切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是通过作辅助线构造全等三角形；应用转化思想求．
 

24.【答案】是   

解析：解：，
．
又，
与是“融通三角形”，
故答案为：是；
如图，在线段上取点，使，连接．

由题意可知在和中，
，
≌，
，．
又，
，
．
，
，
故答案为：；
由题意可知，，，

在线段上取点，使，连接．
由可知≌，
，，，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
“融通角”是．
故答案为：；
分两种情况：当时，如图，

，，
．
，
，
，
，，
符合题意，
；
当时，
如图，过点作于点，

，，
，
，，
又，
，
，符合题意．
设，则，
，即，
，
，
．
综上可知的值为或．
由题意得出，，由“融通三角形”的定义可得出结论；
在线段上取点，使，连接证明≌，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论；
在线段上取点，使，连接由可知≌，得出，，，设，由等腰三角形的性质证出，由三角形内角和定理得出，求出，则可得出答案；
分两种情况：当时，求出；当时，过点作于点，由直角三角形的性质可得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了新定义“融通三角形”，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，学会添加常用的辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键．
 

25.【答案】解：，
，
把代入，得，
，
令，得，
解得：，
，
把代入，得，
解得：，
，
即该抛物线的解析式为；
在中，令，得，令，得，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
如图，设，过点作于点，

则，，
和均为等腰直角三角形，
，，
由和联立，
得：，
整理得：，
，
，
，
即，
，
，
，，
点的坐标为；
由题意得：，，
当时，，
解得：，，
，，
经过、、三点，
点在线段的垂直平分线上，即点的横坐标为，
点也在线段的垂直平分线上，，
点在第二、四象限角平分线上，即点的横纵坐标互为相反数，
，
如图，过点作轴于点，连接，

则，，
，
，
，，
，
，即，
，
直线经过点，
，
，
，与联立，
得，
整理得：，
，，
，，




，
，
，
． 

解析：根据直线与坐标轴的交点特征可得，代入，即可求得抛物线的解析式；
先证得是等腰直角三角形，得出，，设，过点作于点，由和联立，可得，根据根与系数关系可得：，得出，即，再由，建立方程求解即可得出答案；
根据经过、、三点，可得，过点作轴于点，连接，运用勾股定理可得，再由，，可推出，由，与联立，可得：，，进而推出，即可求得答案．