湖南省长沙市2023届九年级下学期中考模拟（五）数学试卷(含解析)

这是一份湖南省长沙市2023届九年级下学期中考模拟（五）数学试卷(含解析)，共28页。试卷主要包含了选择题，四象限内，则的取值范围是，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数为无理数的是( )
A. B. C. D.
2. 湖南卫视芒果跨年晚会赋予了“跨年”更深刻的涵义：跨过困难，跨出可能“跨”包含着主动经历、克服与改变，“跨”过之后，迎接美好的前景据统计，各卫视跨年晚会收视出炉，湖南卫视以平均收视率夺冠，若以人口估算，约有人守在电视机前欣赏，全面体现出观众网友的喜爱和肯定，数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 下列各图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 长沙市某学校篮球集训队名队员进行定点投篮训练，将名队员在分钟内投进篮筐的球数由小到大排序后为，，，，，，，，，这组数据的众数和中位数分别是( )
A. ，B. ，C. ，D. ，
7. 若函数的图象在第二、四象限内，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 在中，已知，，，那么边的长是( )
A. B. C. D.
9. 现有，两个不透明的盒子，盒里有两张卡片，分别标有数字，，盒里有三张卡片，分别标有数字，，，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分握匀，从盒、盒里各随机抽取一张卡片，则抽到的两张卡片上标有的数字之积大于的概率为( )
A. B. C. D.
10. 如图，将沿弦折叠，交直径于点，若，，则的长是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 已知甲、乙两支篮球队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，则身高比较整齐的篮球队是______ 填“甲”或“乙”
12. 分解因式： ．
13. 若一个扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的半径是______ ．
14. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______ ．
15. 如图，与位似，点为位似中心，点为的中点，则与的周长比为______ ．
16. 如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心、任意长为半径作弧，分别交，于点和；分别以，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交于点；延长至，使，连接，若，，则的周长为______ ；的面积为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
19. 本小题分
如图，点，，，在一条直线上，与相交于点，，，．
求证：≌；
若，，求的度数．
20. 本小题分
为庆祝二十大胜利召开，某校举行了党史知识竞赛，赛后随机抽取了部分学生的成绩，并绘制了如下两幅不完整的统计图表．
学生党史知识竞赛成绩统计表
请你根据统计图表提供的信息解答以下问题：
本次调查一共随机抽取了______ 名学生的成绩；
表中 ______ ；
所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是______ ；
若全校共有名学生参加了此次知识竞赛，请你估计该校竞赛成绩达到分以上的学生人数．
21. 本小题分
某海域有，两个航标，航标在航标北偏西方向上，距航标海里，有一艘巡航船从航标出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于航标南偏东方向的航标处．
填空： ______ ， ______ ；
求该船与航标之间的距离，即的长结果保留根号．
22. 本小题分
某超市用元购进了甲、乙两种文具，已知甲种文具进价为每个元，乙种文具进价为每个元，超市在销售时甲种文具售价为每个元，乙种文具售价为每个元，全部售完后共获利元．
求这个超市购进甲、乙两种文具各多少个；
若该超市以原价再次购进甲、乙两种文具，且购进甲种文具的数量不变，而购进乙种文具的数量是第一次的倍，乙种文具按原售价销售，而甲种文具降价销售，当两种文具销售完毕时，要使再次购进的文具获利不少于元，则甲种文具的最低售价每个应为多少元？
23. 本小题分
如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．
求证：四边形是矩形；
若，，求的值．
24. 本小题分
若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“极差函数”．
函数；；，其中函数______ 是在上的“极差函数”；填序号
已知函数：．
当时，函数是在上的“极差函数”，求的值；
函数是在为整数上的“极差函数”，若为整数，求的值．
25. 本小题分
如图，为的直径，弦于点，且为的中点，交于点，若，，动点是上一点，过点作的切线，交的延长线于点．
求的长；
连接，求证：；
当动点在的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．
答案和解析
1.【答案】
解析：解：、是分数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
B、是无理数，故此选项符合题意；
C、是整数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
D、是有限小数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
故选：．
无限不循环小数叫做无理数，根据无理数的定义选择即可．
本题考查无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
2.【答案】
解析：解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为的形式，其中，为整数是关键．
3.【答案】
解析：解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，整式的除法的法则，完全平方公式，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】
解析：解：、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形；故A不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形；故B符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故C不符合题意；
D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；故D不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
5.【答案】
解析：解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6.【答案】
解析：解：出现了次，出现的次数最多，
这组数据的众数是；
把这些数从小到大排列为，，，，，，，，，
中位数是；
故选：．
根据中位数和众数的定义求解可得．
本题主要考查众数和中位数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7.【答案】
解析：解：函数的图象在第二、四象限，
，
解得．
故选：．
先根据函数的图象在第二、四象限列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时，函数的图象在第二、四象限是解答此题的关键．
8.【答案】
解析：解：，，，
，
即，
解得，
故选：．
根据，，，可以得到，然后即可求得的长．
本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
9.【答案】
解析：解：列表如下：
由表知，共有种等可能结果，其中数字之积大于的有种结果，
所以数字之积大于的概率为，
故选：．
列表求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上标有的数字之积大于的情况，再由概率公式即可求得答案．
本题考查了列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
10.【答案】
解析：解：弧沿弦折叠交直径于点，
，
，
在中，，
，
，
过点作于，
则，
，
是直径，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
在中，．
故选：．
根据折叠的性质可得，再根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，从而得到，根据等角对等边可得，过点作于，根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后利用和相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出，在中，利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考查圆周角定理，翻折变换的性质，勾股定理的应用及相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形和直角三角形是解题的关键，难点在于求出．
11.【答案】乙
解析：解：甲、乙两支篮球队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，
乙篮球队的方差小于甲队，
身高比较整齐的篮球队是乙．
故答案为：乙．
根据方差的意义求解即可．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12.【答案】
解析：
解：
．
故答案为：．
13.【答案】
解析：解：设扇形的半径为，
由题意，，
，
此扇形的半径是，
故答案为：．
设扇形的半径为，利用弧长公式求出半径，再利用扇形的面积公式求解即可．
本题考查弧长公式，扇形的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14.【答案】
解析：解：点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
15.【答案】：
解析：解：与位似，
∽．
点为的中点，
：：．
与的位似比为：，
与的相似比为：，
与的周长比为：．
故答案为：：．
由位似比可推出两个三角形的相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比即可选择．
本题考查位似图形的概念和性质，掌握位似图形的位似比等于相似比、相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
16.【答案】
解析：解：过作于点，过作于，

由作图得；平分，
，，
，
，
，，
≌，
，
的周长为：，
设，
，
即：，
解得：，
的面积为：，
故答案为：，．
先过作于点，过作于，得，再证明三角形全等，把线段进行转化，最后根据三角形的面积公式求解．
本题考查了复杂作图，掌握角平分线的性质和三角形的面积公式是解题的关键．
17.【答案】解：


．
解析：先计算零次幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法．
18.【答案】解：



，
当时，原式．
解析：原式先根据多项式乘多项式法则、完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后将的值代入计算即可求解．
本题主要考查整式的混合运算化简求值，熟练掌握多项式乘多项式法则和完全平方公式是解题关键．
19.【答案】证明：，
，
．
，
在和中，
，
≌，
，
；
解：由得，，
，，
在中，，
．
．
解析：由得，根据得，可证明≌，根据全等三角形的性质和平行线的性质即可证得结论；
由全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理即可求出．
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，根据判定三角形全等的方法证得≌是解决问题的关键．
20.【答案】
解析：解：名．
故答案为：．
名．
故答案为：．
个数据的中位数是第和第个数据的平均数，
题中的两个数据均在组，
中位数在组．
故答案为：．
名．
答：全校名学生参加此次知识竞赛成绩达到分以上的学生约为名学生．
利用个体及所占百分比求总体，用中位数的概念求中位数，用样本估计总体．
此题考查了如何用频数计算样本数，如何用样本计算总体，中位数的求法，将统计的知识点应用于实际．解题关键是要善于从图、表中获得有用的已知条件．
21.【答案】
解析：解：如图，，，
，
又，
，
又，
；
故答案为：，；
如图，作于．
在中，，海里，
海里，
在中，，海里，
海里，
海里．
答：的长为海里．
由平行线的性质以及方向角的定义得出，，那么，又根据方向角的定义得出，利用三角形内角和定理求出；
作交于点，解，得出，解，得出，进而得出．
本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，平行线的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，构造直角三角形，利用三角函数求出线段与的长度是解题的关键．
22.【答案】解：设这个超市购进甲种文具个，乙种文具个，
根据题意得：，
解得：．
答：这个超市购进甲种文具个，乙种文具个；
设甲种文具的售价为每个元，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：甲种文具的最低售价每个应为元．
解析：设这个超市购进甲种文具个，乙种文具个，利用进货总价进货单价进货数量及总利润每个的销售利润销售数量进货数量，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出这个超市购进甲、乙两种文具的数量；
设甲种文具的售价为每个元，利用总利润每个的销售利润销售数量进货数量，结合总利润不少于元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
是的中点，
是的中位线，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，
，四边形是矩形，
，，，
是的中点，
，
在中，由勾股定理得：，
，
的值为．
解析：根据菱形的性质得，，再由三角形中位线定理得，得四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；
由矩形的性质得，，，然后由勾股定理求出的长，即可得出的长，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理，证明四边形为矩形是解题的关键．
24.【答案】
解析：解：当时，
对函数，当时，，当时，，
，
函数是在上的“极差函数”；
对函数，当时，，当时，，
，
函数不是在上的“极差函数”；
对函数，当时，，当时，，
，
函数不是在上的“极差函数”；
故答案为：；
当时，，
抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，
当，即时，，，
，
解得；
当时，，，
，
解得舍去或舍去；
当时，，，
，
解得舍去或舍去；
当时，，，
，
解得；
综上所述，的值为或；
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
函数：在为整数上的“极差函数”，
，，
，即Ⅰ，
为整数，
为整数，
即为整数，
，且为整数，
是的因数，
又，
或，
而时，不符合题意，舍去，
，
把代入Ⅰ得：
，
解得：．
的值是．
当时，分别计算出三个函数的，和，根据新定义判断即可；
当时，，可得抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，分，，，和四种情况，分别列方程可解得的值；
求出的对称轴为直线，由，知，根据函数：在为整数上的“极差函数”，求出，，可得，即Ⅰ，又为整数，可得是的因数，即可求得，代入Ⅰ即得的值是．
本题考查二次函数的综合应用，涉及新定义，解题的关键是分类讨论思想的应用．
25.【答案】解：为的中点，弦于，
，
，
，
，
证明：连接，，，交于点，

，
，
，，
，，
，
，
，
是的中位线，
，
为的直径，
，
；
解：的值不变．
理由：如图，连接，则，，

，，
∽，
同理∽，
则，
，
由知，
设，则，
故，
解得：，故F，
即，
．
当点与点重合时：，
当点与点重合时：，
当点不与点、重合时：连接、、、，
，
，
，
，
∽，
．
综上所述，的比值不变，比值为．
解析：由垂径定理得出，证出，则可得出答案；
利用圆周角定理得出，，进而得出，再利用三角形中位线定理得出答案；
分别利用当点与点重合时：，当点与点重合时：，当点不与点、重合时，得出∽，分别得出答案．
本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
组别
分数分
频数